机器人控制工程 教案 第二章 控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型

单元

§2.1控制系统的微分方程（2学时）

学

教

的

』能够对组成系统各环节的运动机理进行分析，根据各环节所遵循的物理学定

求

律'化学定律等来列写控制系统运动方程式O

重点重点：控制系统运动方程式

难点难点：环节间的负载效应

考核方法过程考核

本章我仅将讨论控制系统的数学建模问题。对于给定的系统，

由于所研究的问题不同，可以有不同的数学模型。因此，系统的数学

模型不是唯一的，一个系统可以有多个数学模型。因此，建立合理的

数学模型是分析与设计控制系统的最重要工作。

建立控制系统数学模型的方法有分析法和实验法两种。本章介思政：由

绍用分析法建立系统数学模型的方法。辩证唯物

一个系统的数学模型可以有多种形式。对于具体的系统或研究

主义中的

方法，一种数学模型可能比另一种更为合适。

认识论，

1.控制系统的运动方程式

阐述如何

控制系统的运动方程式是用微分方程的形式描述系统运动过

程中各变量之间的相互关系，它既定性又定量地描述整个系统的运发现科学

动过程。问题，进

求取控制系统的运动方程式的步骤：

而如何认

1.分析系统的工作原理及各变量之间的关系，找出系统的输入

识自我，

量和输出量；

教学进程

由模型的

（教学内容2根.据描述系统运动特性的基本定律，从系统的输入端开始依次

教学方法写出各元件的运动方程，并要考虑各相联元件之间的负载效应；抽象建

辆助手段3.在上述方程中消去中间变量，求取只含有系统输入、输出变立，谈自

师生互动量及其各阶导数的方程式，并将其化为标准形式。

时间分配我认知与

板书设计）

【例题2-1】机械系统：设有由弹簧-质最-阻尼器构成的机械系统提升，进

加图2-1-1所示.试训写以///』J//而，如何

V

力/⑺为输入变量、以位移做一个到

*1

八，＞内外兼

）"）为输出变量的系统运

动方程式。修，知行

▼_v<r>

统一的理

■■

工人。

//77/，

2-1-1机械平移系统

【例题2-2】电气系统：设有由电阻R、目感人和电容C组成的

RLC电路如图2-1-2所示，试列写以电源电压〃为输入变量，电容

两端电压4为输出变量的系统运动方程式。

RL

图2-1-2RLC

对于例2-1和例2-2,若适当选择系统参数，从数学角度来说,

可以得到完全相同的运动方程式。如果系统加上相同的输入信号，

会得到相同的输出响应。这种性质称为机械系统与电气系统在数学描

述上的相似性。

【例题2-3】机电系统：设有带载直流电动机控制系统如图2-2-

3所示，假设电动机空载。试列写(1)以电动机力矩M为输入变

量，分别以电动机输出轴角速度0及角位移e为输出变量时系统的

运动方程式。(2)以电枢电压〃为输入变量，分别以电动机输出轴

角速度3及角位移。为输出变量时系统的运动方程式。

图2-1-3带载直流电动机系统

【例题2-4］根据图27-4所示电动机转速控制系统，试列写以参

考输入电压"，为输入变量，以电动机输出角速度0为输出变量

时控制系统的运动方程式。

百

图2-1-4电动机转速控制系统的方框图

教学设计：课堂讲授，给出思考题，案例建模

思考题：中学物理是如何求粘性摩擦力的？

作业布置筋作业题：习题2-5,2-6

习复习内容预习：传递函数

复习：拉普拉斯变换

2

第二章控制系统的数学模型

§2.2传递函数及matlab建模(4学时)

孝

攵学

目

的

要

和

求要求学生理解传递函数的定义及性质♦掌握传递函数的求取方法

重点重点：传递函数的定义及性质

难点难点：控制系统的传递函数

考核方法过程考核'期末考试

应用拉氏变换求解线性定常系统的微分方程时，可以得到控制

系统在复数域中的数学模型——传递函数。传递函数不仅能表征

系统动态性能，而且可以用来研究系统结构参数发生变化时系统动态

性能的变化情况。古典控制理论中的分析与设计的方法，如频率法、

根轨迹法，均是以传递函数作为数学模型。因此，传递函数是控制理

论中最重要的基本概念。

1.传递函数的定义及性质

1.传递函数的定义

在零初始条件下，线性定常系统输出变量的拉氏变换X2($)与思政：数

输入变量的拉氏变换X(s)之比，称为该系统的传递函数。学变换与

传递函数通常记为g——

等效传递

G(S)3AG(S)A

函数求取

X>(s)------------

过程中，

教学进程图2-2-1传递函数

(教学内容如图2-2-1所示。上述定义也适用于线性元部件。蕴含的诚

教学方法【例题2・5】试求取图2-1-1所示机械平移系统的传递函数，信、平等

辅助手段

师生互动的社会主

时间分配【例题2-6】设有二级RC滤波网络如图2-2-2所示。以电压〃为输义核心价

板书设计)

入变量，电容器G两端电压〃，为输出变量，试求该滤波网络的传值观。

U(s)

递函数一£r£2

图2-2-2二级RC滤波网络

【例题2-7］求如图2-1-3所示带载直流电动机控制系统的传递函

数")=〃⑶及G%(S)=M.

3

函数形式

【例题2-8】已知系统传递函数为

G(s)=7—3)

5(35+45+1)

建立系统的传递函数模型和零极点模型。

课堂演示I28.m•讲解matlab程序并显示运行结果。

2.系统典型联接时等效传递函数的求取

1.串联环节等效传递函数的求取

图2-8串联环节的方框图

结论：串联环节的等效传递函数等于每个串联环节传递函数的乘

积v

2.同向并联环节等效传递函数的求取

G(s)

图2-9并联环节的方框图

结论：同向并联环节的等效传递函数等于每个并联环节传递函数

的代数和。

图270反馈回路的方框图

结论：负(正)反馈回路的等效传递函数为一分式，其分子为

前向通道的传递函数，其分母为1力吐(减去)前向通道和反馈通

道传递函数的乘积。

4.MATLAB求双等效传递函数

5

【调用格式】

sys=series(sysl,sys2)%系统的串联

与系统的并联

sys=parallel(sysl#sys2)

%系统的反馈

sys=feedback(sysl/sys2,sign)

【说明】

1.sysl为前向通道的数学模型，sys2为反馈通道的数学模

型。

2.sign为反馈的极性，sign=l为正反馈连接，signal为负反

馈连接(缺省值r

【例题2-9】已知两个线性系统的传递函数分别为

12s+4〃/、s+6

G(s)=________，G(s)=________

152+55+22r+75+l

分别应用seriesOsparallel()>feedback。三个函数进行系统的

串联、并联和负反馈连接。

课堂演示I29.m,讲解matlab程序并显示运行结果。

3.控制系统的传递函数

控制系统方框图的一般形式如图2-2-6所示。图中R(s)为参

考输入信号的拉式变换式，尸⑸为扰动信号的拉式变换式，C(5)

为输出信号的拉式变换式，£(s)为偏差信号的拉式变换式。

G(s)G(s)为前向通道的传递函数，”(s)为反馈通道的传递函数。

图2-2-6控制系统方框图

在反馈控制系统中，定义前向通道传递函数与反馈通道传递函数

的乘积为系统的开环传递函数，通常记为G(s)。根据定义，图2-

2-6所示系统的开环传递函数为

G(5)=G,(5)G2(5)H(S)

1.输出信号。⑺对于输入信号N/)的闭环传递函数

令f⑴=0,①(s)=Q^=GO

R(s)1+G(s)

对于单位反馈系统，由于“(s)=l,所以系统的开环传递函数

为G⑸=G($)G(5)，则①(s)=-^-

21+G(s)

2.输出信号c⑺对于干扰信号/⑺的闭环传递函数

令4)=0,6(s)="工吧—

F(s)I+G(s)

6

若/•(/)/()、/⑺工0时，即输入信号和干扰信号同时作用于系

统时，可以求得此时系统输出为

C(S)=^)G(S)R(S)+_SI^./(s)=①㈤R(s)+①(5)F(5)

1+G(s)1+G(s)1

3.偏差信号£(。对于输入信号Nf)的闭环传递函数

令f(t)=O,①£(s)=一立=』

R(s)1+G(s)

对于单位反馈系统，有①

4.偏差信号对干扰信号/(r)的闭环传递函数

令4)=0,M(s)=如」空迦也

'户(s)1+G(6)

同理，当/•⑺wo,f(t)工0时，则专

«)=_!_R(S)_G2(S)H4G)

1+Gto1+G(s)

=0,/?(5)+0>^(5)F(5)

方程1+G(s)=0称为反馈系统特征方程。

教学设计：课堂讲授，给出思考题

思考题：传递函数的参数与运动方程式的参数有何关系？

作业题：1.习题2-5、2-6,求传递函数。

僦布置及将

2.练习用MATLAB建立传递函数模型tf,零极点增益模型zpko

预习：控制系统的方框图及其简化

复习：系统典型联接时等效传递函数的求取

7

第二章控制系统的数学模型

§2.3控制系统的方框图及Simulink仿真（4学时）

孝攵学

目的

要

和求要求学生掌握控制系统方框图的简化以及Simulink仿真

重点重点：控制系统方框图的简化方法

难点难点：方框图的绘制

考核方法过程考核、期末考试

方框图是控制理论中广泛采用的一种数学模型，是从具体系统

中抽象出来图形化的数学模型。用方框图表示控制系统，可以直观

地了解系统的构成及信号的传递方向，并且可以清楚地表明信号在

传递过程中的数学关系。

L方框图的构成

控制系统的方框图又称方块图或结构图，图2-3-2所示。

思政：从

哲学的角

图2-3-2控制系统方也图

度谈，方

教学进程控制系统的方框图一般由四种基本单元组成。框图化简

（教学内容1.函数方框这样一种

教学方法2.信号线透过现象

辅助手段

3.相加点

师生互动看本质，

时间分配4.分支点凡事找规

板书设计）2.方框图的绘制律，抓住

方框图绘制步骤：

事物的本

1.写出组成系统各环节的微分方程；

质和主要

2.求取各环节的传递函数，绘制各环节的方框图：

矛盾。

3.从输入端入手，按信号流向依次将各环节方框图用信号线连接

成整体，即得控制系统方框图。

【例题2-101绘制如图2-3-3所示RC电路的方框图。

3.方框图的简化

控制系统方框图往往比较复杂，具有多条反馈回路。为了便于

8

对系统进行分析，经常需要根据等效原则进行适当变换，是复杂的方

框图得到简化。

1.分支点的移动规则

根据分支点移动前后所得的分支信号保持不变的等效原则，可

将分支点顺着信号流向或逆着信号流向移动。

(1)前移

(2)后移

2.相加点移动规则

根据保持相加点移动前后总的输出保持不变的等效原则，可以将相

加点前后移动。

(1)前移

(2)后移

3.等效单位反馈变换规则

4.交换或合并比较点原则

5.内反馈线消除规则

应用上述各项基本规则，可将包含许多反馈回路的复杂方框图进

行简化，但在简化过程中，一定要记住下列两条原则：

1.前向通道中传递函数的乘积保持不变；

2.反馈回路中传递函数的乘积保持不变。

【例题2-11】试简化图2-3-13(a)所示系统方框图，并求系统的

C(s)

闭环传递函数—O

R3

图2-3-13(a)方框图简化

【例题2-12］两级RC滤波网络的方框图如图2-3-14所示。试将

其加以简化，并求①(s),59。

图2-3-14RC两级滤波网络的方框图

课堂演示I212.m以及T2319.slx♦讲解matlab程序并显示运

行结果。

4.Simulink建模与仿真

9

使用Simulink对复杂系统建模可以不用进行方框图化简，直

接求取线性系统的传递函数模型，并进行仿真。

【调用格式】

[num,den]=linmod('model')%工作点附近求取传递函数模

型

[t,y]=sim('model',timespan,option,ut)%动态系统仿真

【说明】

1.'model'为Simulink生成的模型文件名；

2.timespan为仿直时间设置，可指定终止时间和起止时间：

3.option是用于设置初始条件、步长与容许误差等值；

4.ut为外部输入信号，y为仿真输出。

【例题2-13]例2-2中当/?=1.6。,七=2.1H。=0.30/时，

求取RLC网络的传递函数并进行Simulink仿真。

课堂演示I213.ni以及T232i.slx•讲解matlab程序并显示运

行结果。

教学设计：课堂讲授，给出思考题

思考题：对于图1-3所示电动机转速控制系统，画出方框图是否比推导运动方

程更直观易懂？

作业布置及刊作业题：1.习题2-7>2-8>2-9

2.练习用MATLAB对系统进行串联、并联、反馈连接

预习：信号流图

复习：方柩图的绘制

10

第二章控制系统的数学模型

单元

§2.4脉冲响应(2学时)

孝教学

目

的

要

和掌握脉冲响应与传递函数之间的关系

求

重占

/1\\重点：脉冲响应与传递函数之间的关系

难点难点：理想单位脉冲函数的定义

考核方法过程考核

在初始条件为零的条件下，线性定常系统的输入信号为理想单

位脉冲函数时，系统的输出信号称为控制系统的脉冲响应。

1.理想单位脉冲函数的定义及性质

1.理想单位脉冲函数的定义

理想单位脉冲函数5(。的定义为

°Z*°广帅波=1

00/=0Jy