线代测试技术试题及答案

线代测试技术试题及答案线性代数测试题一、选择题（每题3分，共15分）1.设\(A\)为\(3\)阶方阵，且\(\vertA\vert=2\)，则\(\vert2A\vert\)的值为（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(8\)D.\(16\)2.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\)为（）A.\(\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&3\\-2&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&3\\-2&4\end{pmatrix}\)3.设向量组\(\alpha_1=(1,1,0)^T\)，\(\alpha_2=(1,0,1)^T\)，\(\alpha_3=(0,1,1)^T\)，则该向量组的秩为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)4.若齐次线性方程组\(Ax=0\)的基础解系含有\(2\)个解向量，且\(A\)为\(4\)阶方阵，则\(r(A)\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)5.设\(A\)是\(n\)阶实对称矩阵，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的两个不同的特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分别是属于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，则\(\xi_1\)与\(\xi_2\)（）A.线性相关B.线性无关且正交C.线性无关但不一定正交D.线性相关且正交二、填空题（每题3分，共15分）1.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值为______。2.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)，则\(A^2\)=______。3.已知向量\(\alpha=(1,2,3)^T\)，\(\beta=(1,1,1)^T\)，则\(\alpha^T\beta\)=______。4.若矩阵\(A\)满足\(r(A)=3\)，且\(A\)为\(4\times5\)矩阵，则齐次线性方程组\(Ax=0\)的基础解系所含向量个数为______。5.设\(A\)是\(3\)阶矩阵，其特征值为\(1,1,2\)，则\(\vertA\vert\)=______。三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式\(\begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}\)。2.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A^{-1}\)。3.求向量组\(\alpha_1=(1,1,2,4)^T\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)^T\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)^T\)，\(\alpha_4=(1,2,2,0)^T\)的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。4.求解非齐次线性方程组\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1x_2+3x_3=4\\4x_1+x_2+9x_3=16\end{cases}\)。5.设矩阵\(A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}\)，求\(A\)的特征值和特征向量。四、证明题（每题10分，共20分）1.设\(A\)是\(n\)阶可逆矩阵，证明\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)。2.设向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，证明向量组\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)，\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)，\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)也线性无关。答案一、选择题1.对于\(n\)阶方阵\(A\)，\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)，已知\(n=3\)，\(\vertA\vert=2\)，\(k=2\)，则\(\vert2A\vert=2^3\times2=16\)，答案选D。2.若\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，则\(A^=\begin{pmatrix}d&b\\-c&a\end{pmatrix}\)，对于\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(A^=\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}\)，答案选A。3.对矩阵\((\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix}\)进行初等行变换，\(r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=3\)，答案选C。4.根据\(nr(A)\)等于基础解系所含向量个数，已知\(n=4\)，基础解系含有\(2\)个解向量，则\(r(A)=42=2\)，答案选B。5.实对称矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关且正交，答案选B。二、填空题1.\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times42\times3=-2\)。2.\(A^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)。3.\(\alpha^T\beta=(1,2,3)\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}=1\times(-1)+2\times1+3\times1=4\)。4.齐次线性方程组\(Ax=0\)中，基础解系所含向量个数为\(nr(A)\)，\(n=5\)，\(r(A)=3\)，则基础解系所含向量个数为\(53=2\)。5.矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积，所以\(\vertA\vert=1\times(-1)\times2=-2\)。三、计算题1.\[\begin{align}\begin{vmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{vmatrix}&=2\times\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}+(-1)\times\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}\\&=2\times(41)-1\times(2+1)-1\times(1+2)\\&=63-3\\&=0\end{align}\]2.因为\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(\vertA\vert=1\times42\times3=-2\neq0\)，\(A^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A^=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。3.设\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&0&3&1\\-1&3&0&2\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\)，进行初等行变换：\[\begin{pmatrix}1&0&3&1\\-1&3&0&2\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&3&3&3\\0&1&1&4\\0&2&2&4\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&1\\0&0&0&5\\0&0&0&6\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&1\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\]极大线性无关组为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4\)，设\(\alpha_3=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_4\)，解方程组可得\(\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2+0\alpha_4\)。4.增广矩阵\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&1&3&4\\4&1&9&16\end{pmatrix}\)，进行初等行变换：\[\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&1&3&4\\4&1&9&16\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&3&1&2\\0&3&5&12\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&3&1&2\\0&0&4&10\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&3&1&2\\0&0&1&\frac{5}{2}\end{pmatrix}\]回代求解得\(x_3=\frac{5}{2}\)，\(x_2=\frac{1}{2}\)，\(x_1=-2\)，方程组的解为\(x=\begin{pmatrix}-2\\\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}\end{pmatrix}\)。5.先求特征值，\(\vert\lambdaEA\vert=\begin{vmatrix}\lambda&1&1\\-1&\lambda&1\\-1&1&\lambda\end{vmatrix}=(\lambda2)(\lambda+1)^2\)，特征值为\(\lambda_1=2\)，\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)。当\(\lambda_1=2\)时，\((2EA)X=0\)，\(2EA=\begin{pmatrix}2&1&1\\-1&2&1\\-1&1&2\end{pmatrix}\)，基础解系为\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\)，属于\(\lambda_1=2\)的特征向量为\(k_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}(k_1\neq0)\)。当\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)时，\((-EA)X=0\)，\(-EA=\begin{pmatrix}-1&1&1\\-1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix}\)，基础解系为\(\xi_2=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\)，\(\xi_3=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\)，属于\(\lambda_2=\lambda_3=-1\)的特征向量为\(k_2\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+k_3\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}(k_2,k_3\)不同时为\(0)\)。四、证明题1.因为\(AA^{-1}=E\)，两边取转置得\((AA^{-1})^T=E^T=E\)，根据\((AB)^T=B^TA^T\)，则\((A^{-1})^TA^T=E\)，所以\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)。2.设\(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0\)，即\(k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0\)，整理得\((k_1+k_3)\alpha_1+(k_