2026年高考总复习优化设计一轮复习数学（广西版）-指点迷津(三)

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI指点迷津(三)第四章2026在导数应用中如何构造函数近几年高考数学客观题压轴题,多以导数为工具来证明不等式或求参数的取值范围,这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点,而构造函数是解决导数问题的基本方法,以下对在处理导数问题时构造函数的规律方法进行归类总结,并举例说明.一、具体函数的构造根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或者结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究该函数的性质从而解决问题.答案

BA.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.b<c<a答案D

A.a<c<b B.a<b<cC.c<a<b

D.c<b<a所以函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,因此,当x=1时,f(x)取得最大值,并且最大值为f(1)=0,二、抽象函数的构造1.利用f(x)与x(xn)构造①对于xf'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);②对于xf'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=;③对于xf'(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x);④对于xf'(x)-nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=.答案

B答案

ACD

(2)已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足f(x)>0,xf'(x)-f(x)<0,则对任意正数a,b,若a>b,则必有(

)A.af(b)<bf(a) B.bf(a)<af(b)C.af(a)<f(b) D.bf(b)<f(a)答案

B

2.利用f(x)与ex(或enx)构造

①对于f'(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x);②对于f'(x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=;③对于f'(x)+2f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e2xf(x);④对于f'(x)-2f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=.例3.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是(

)A.e2f(2)>e3f(3) B.e2f(2)<e3f(3)C.e2f(2)≥e3f(3) D.e2f(2)≤e3f(3)答案

A解析

令g(x)=exf(x),则g'(x)=ex(f(x)+f'(x))<0,

所以函数g(x)在R上单调递减,因此g(2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3),故选A.答案

A

解析

将f(x)+f'(x)>1两边同乘ex得,exf(x)+exf'(x)-ex>0,令g(x)=exf(x)-ex,则g'(x)=exf(x)+exf'(x)-ex>0,所以函数g(x)在R上单调递增,且g(0)=f(0)-1=3.又因为不等式exf(x)>ex+3等价于exf(x)-ex>3,即g(x)>g(0),所以x>0,故选A.对点训练3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1,其中f'(x)是函数f(x)的导数,f(0)=4,则不等式exf(x)>ex+3的解集为(

)A.(0,+∞)B.(-∞,0)∪(3,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(3,+∞)3.利用f(x)与sin

x,cos

x构造由于sinx,cosx的导函数存在一定的特殊性,且它们之间可以相互转化,所以在构造函数时要充分考虑这一点,具体有以下情形:①对于f'(x)sinx+f(x)cosx>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)sinx;②对于f'(x)sinx-f(x)cosx>0(或<0),构造函数F(x)=;③对于f'(x)cosx+f(x)sinx>0(或<0),构造函数