专题1.2.1矩形的性质与判定2025~2026学年九年级数学上册专项练习（北师大版）

【要点说明】矩形定义的两个要素：①是平行四边形；@有一个角是直角．即矩形首先是（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对）．可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．【特别说明】序号前带“*”难度系数0.85，“**”难度系数0.65，“***”难度系数0.4．*【题型一】矩形性质的理解1．下面性质中，矩形不一定具有的是().*【变式1】2．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是()*【变式2】3．下列性质中矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()*【例题2】A．25°B．45°*【变式1】5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD，以点B为圆心，BA长为半径作弧．交AC于点E，再分别以点A、E为圆心，大于AE长为半径作弧，两弧交点为M，作射线BM与AC*【变式2】6．如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图@是它*【例题3】7．已知矩形的两边长分别为6，8，那么该矩形的对角线的长为()*【变式1】8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE丄BAE=3，DE=3BE，则AD的长为()*【变式2】BEC，且上BEC=90°,点F为DC的中点，则EF的最大值为．*【例题4】10．已知：如图，上A=90°,点D、E、F分别是△ABC各边的中点．(1)求证：四边形ADEF是矩形；(2)若AB=3，AC=4，则四边形ADEF的面积为____*【变式1】11．如图，在矩形ABCD中，O为对角线交点，ÐDAB的平分线交BD于点F，交CD于点*【变式2】12．如图，ABCD，AEFC都是矩形，而且点B在边EF上，其中AB=2，BC=2AB，则矩形AEFC的面积为．*【例题5】13．如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，BE平分上PBC交边CD于点E，ÐDPE=ÐABP，延长AD、BE交于点F，连接CF．求证：四边形BCFP是菱形．*【变式1】14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DEPAC交BC的延长线于点E，下列结论不一定正确的是()*【变式2】15．如图，在矩形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，BF，添加下列条件之..*【例题6】交BE的延长线于点F，连接DF交AC于点O．(1)求证：DF^AC；*【变式1】*【变式2】(2)取BC的中点G，连接DG．若CD=6，DG=5，求EF的长．*【例题7】19．满足下列条件的四边形是矩形的是()*【变式1】20．能够判定一个四边形是矩形的条件为()*【变式2】*【题型八】证明四边形是矩形*【例题8】*【变式1】*【变式2】24．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列三组条件：①AB∥*【例题9】25．如图，在□ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，DE交BC于点O，连接EC．*【变式1】26．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则添加下列选项的条件后，能判定□ABCD是矩形的是()*【变式2】27．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF是矩形，则该条件可以*【题型十】根据矩形的性质与判定求角度28．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且，求ÐADB的度数．*【变式1】的度数为()*【变式2】30．如图，在YABCD中，E为边BC上一点，以AE为边作矩形AEFG．若上BAE=40°,*【变式1】中点，连接AE．若AB丄AE，则AE的长是()*【变式2】33．如图，在矩形ABCD中，AB=6A—B—C—D—A运动，连接BE，EP，BP，当△BEP为直角三角形时，EP的长*【例题12】34．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DETAB于点E，CF=AE，连接AF．(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若AF平分7DAB，CF=6，DF=10，求四边形BFDE*【变式1】35．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFⅡBC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=5，则图中阴影部分的面积为()*【变式2】D,F,AE丄DF交DF的延长线于点E，若DF=1，则四边形ACDE的面积是**【例题13】BE折叠后点A落在点F处，ÐCBF的平分线BM交直线CD于点M，交EF的延长线于点(1)求ÐEOG的度数．**【变式1】38．如图，在长方形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4,BC=6，则CF的长为()**【变式2】39．在矩形ABCD中的中点，点M在线段AD上，点N在直线AB上，将△AMN沿MN折叠，使点A与点E重合，连接MN．当时，AD的**【例题14】40．已知：在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形FECG，且点E落在AD边上，连接BG交CE于点H．(1)如图1，连接BE，求证：BE平分ÐAEC；(2)如图2，连接FH，若FH平分上EFG，判断CH与AE之间的数量关系，并说明理由．**【变式1】41．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴转，每次旋转90°,则第2026次旋转结束时，点C的坐标是()A．(6,4)B．(-4,6)C．(-6,-4)D．(4,-6)**【变式2】42．如图，在矩形ABCD中，AB=2点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°,点N旋转到点N¢,则△MBN¢周长的最小值**【例题15】(2)如图2，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使得点A落在点E处，BE交y轴于点F．点G是对角线BD上一动点，求GE+GF(3)点P为x轴负半轴上一动点，Q是平面内一点，若以B，D，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出Q点坐标________．**【变式1】数图像如图2，则AD的长为()**【变式2】45．如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=10,E是边AD的中点，F是边BC上的动点，连接**【例题16】初步分析1）求线段CD的长；拓展延伸3）将△BCD从图1的位置开始绕点B顺时针旋转，得到△BEF（点C，D的使点E到A，D两点的距离相等？若存在，请直接写出此时点E到直线AC的距离；若不存同学所得的结论中正确的个数是()主题矩形ABCD纸片折叠后相关结论探究方案如图，沿折痕MN折叠纸片，使点B恰好落在AD边上的E点，点A的对应点为点F．结论（1）7AMN=7FMN2）CD=EF3）△MEN为等腰三角形4）若**【变式2】EF交BC于点O，连接AO；将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP5．22°##22度出上FBC=56°,设AC与BD相交于点O，如图，根据【详解】解：由作法得BM垂直平分AE，:上FBC=90°-上ACB=56°,设AC与BD相交于点O，如图，:OB=OC，:上OBC=上OCB=34°,故答案为：22°.【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质:OB=OD=2x:BE=EO，:AB=AO，:AD=2AE=6．根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三【详解】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，:四边形ABCD是矩形，:点F是CD中点，点O是BC的中点，:点O是Rt△BCE的斜边BC的中点，:根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF，【分析】（1）由三角形中位线的性质可得DEⅡAC，E【详解】（1）解：:点D、E、F分别是△ABC各边的中点，:DE、EF是△ABC的中位线，:DEⅡAC，EF∥AB，:四边形ADEF是平行四边形，:四边形ADEF是矩形；（2）解：:DE、EF是△ABC的中位线，:四边形ADEF是矩形，故答案为：3．【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与等知识．根据矩形的性质证明△OAD是等边三角形得到上ADB=60°,再利用含30度角的直【详解】解：在矩形ABCD中，AE是ÐDAB的平分线，OA=OD，ABⅡCD，:AD=DE，AG=GF，:上DAC=60°,3:S△AOD=S△ADB=3【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握:BC=4，:四边形ABCD是矩形，:四边形AEFC是矩形，故答案为：8．【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定，掌握根据矩形的性质，结合题意得到上BPE=90°,由角平分线的定义，平行线Rt△BPE≌Rt△BCE(HL)，BP=BC，BC=PF，四边形BCFP是平行四边形，BP=又∵ÐDPE=ÐABP，:PE=CE，又∵BE=BE，:BP=BC，:PB=PF，:BC=PF，:四边形BCFP是平行四边形，又∵BP=BC，:四边形BCFP是菱形．:ACED是平行四边形，是解题关键．先根据矩形的性质可得AD=CB，AD∥CB，根据平行线的性质可得【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，:AD=CB，AD∥CB，:△ADE≌△CBF(SAS)；:△ADE≌△CBF(AAS)；:△ADE≌△CBF(ASA)；线定理等知识点，解决此题的关键是熟练掌握（1）根据题目条件先证明ABDF是平行四边形，再根据平行四边形的性质对边平行，即可（2）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半算出BC长度，再根据勾股定理即可:E是AD的中点，:AE=DE．:AF=BD．:AF∥BD，:四边形ABDF是平行四边形，:ABⅡDF，:DF丄AC．（2）解：:四边形ABDF是平行四边形，:在Rt△ABC中，根据勾股定理得:AE=EC，故答案为：13.:EF是△ABD中位线，:EFⅡBD，在Rt△BDC中∵E，F分别是AB，AD的中点，【详解】解：A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故该选项不符合题故选：C．212458）问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（245）（8）正确1367）不正确，即可得出结论．【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，:（1）不正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，:（2）正确7）不正确∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，:（3）不正确；∵有三个角是直角的四边形是矩形，:（4）正确；∵四边形的内角和等于360°,:四个角都相等的四边是矩形，:（5）正确6）不正确；:一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，:（8）正确；故答案为2458:△AEB≌△ADC(SAS)，∵△AEB≌△ADC，:EB=DC，:四边形EBCD是平行四边形，:EB∥DC，:平行四边形EBCD是矩形．23．6:AC=2OA,BD=2OB故答案为：6．24．②③##③②【详解】解：①如图，②如图，:四边形ABCD是平行四边形，:四边形ABCD是矩形；故②能判定这个四边形是矩形；③如图，取BD中点M，连接AM,CM，则:AM=BM=DM，:CM=AM=BM=DM，:O,M重合，）；:AB=BE，:BE=AB，A,B,E共线，:四边形BECD是平行四边形，:四边形BECD是矩形，B、:四边形ABCD是平行四边形，添加AC丄BD，则四边形ABCD是菱形，不能证明平行C、:四边形ABCD是平行四边形，添加AO=AD，不能证明平行四边形ABCD是矩形，故D、:四边形ABCD是平行四边形，添加AC=BD，则四边形ABCD是矩形，故该选项符合27．BD=EF（答案不唯一）【详解】解：BD=EF，:AO-AE=CO-CE．即EO=FO．:四边形BEDF为平行四边形，:四边形BEDF是矩形．故答案为：BD=EF（答案不唯一【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识.首先证明四边形ABCD是矩形，利用矩形的性质即可解决问题.:四边形ABCD是矩形，【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据:四边形ABCD是矩形，【详解】解：Q四边形AEFG是矩形，:上AEF=90°,:上AEB=180°-90°-10°=80°,:△ABC,△CDE都是直角三角形，:BC=8-x，在Rt△ABC,Rt△CDE中，过A作AF丄DE交ED的延长线于F，:AF∥BD，:ÐB=ÐBDF=ÐF=90°,:四边形ABDF是矩形，F，过点F作FG丄AB于点G，连接EF，先利用勾股定理和三角形的面积公式求出FG的长，再利用矩形的判定证明AEFG是矩形，得出AE=FG即可求解，正确作出辅助线是解题【详解】解：如图，取BC的中点F，过点F作FG丄AB于点G，连接EF，∵点E是CD的中点，点F为BC中点，:EF是△BCD的中位线，:EFⅡBD，:四边形AEFG是矩形，故选：B．关键是要分类讨论．当△BEP为直角三角形时，有三种情况能组成直角三角形，画出【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，:DE=CE=3，:四边形EPBC是矩形，:EP=BC=4；22，综上，当△BEP为直角三角形时，EP的长为4或3或．握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角:DFⅡEB，AB=CD，:DF=BE，:四边形ABCD是平行四边形，∵DETAB，:四边形BFDE是矩形．（2）解：∵AF平分7DAB，DC∥AB，【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性过点P，作PM丄AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形BEPN都是矩形，根据矩形的性质得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形BEPN都是矩形，:S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，:S矩形PEBN=S矩形MPFD:四边形ACDE是矩形，CD=BD，:△AEF≌△BDF，:AF=BF，:四边形ACDE的面积为：AC.CD=2×=2．故答案为：2．(2)存在，22.5°（2）分三种情况考虑：当OM=ON时；当OM=MN当OM=ON时，ÐOMN=ÐONM=67.5°,当ON=NM时，上ONM=90°,不合题意．积法求出的长是解题的关键．连接BF交AE于点G，根据翻折的性质知BE=CE，AE垂直平分BF，利用等积法求出BG的长，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：连接BF交AE于点G，如图，由折叠的性质可得，AE垂直平分BF，即AE丄BF,BG=FG，:在Rt△ABE中解得BG=2.4,:BF=2BG=4.8，:AE垂直平分BF，:BE=FE，:BE=CE=FE，:在Rt△BFC中39．8或4种情况进行分析，①当点N在AB的延长线上时；②当点N在线段AB上时，③当点N在线段BA的延长线上，三种情况讨论求解即可．:点E是CD的中点，:四边形ABCD是矩形，:四边形BCEH是矩形，:在Rt△EHN中，由勾股定理得②当点N在线段AB上时，过点E作EG丄AB于G，在Rt△EGN中，由勾股定理，得③当点N在BA延长线上时，将△AMN沿MN折叠，点A与点E不可能重合，此种情形不综合上述，AD的长为8或4；故答案为：8或4．（2）连接BE，过点B作BI丄CE于点I，由旋转的性质可得FE=AB，EC=BC，ED22(2n)22:ADⅡBC，:BE平分ÐAEC；如图2，连接BE，过点B作BI丄CE于点I，Q四边形ABCD和FECG是矩形，ïï:△IEB≌△AEB(AAS)，:IE=AE，IB=AB=FE=CG，22:FE=HE，:△BHI≌△GHC(AAS)，:IH=CH，:EC-IE=AD-AE，:IC=ED，:根据勾股定理可得：ED222:CH=2AE．定理等知识点，熟练在掌握相关知识点，添加辅助【分析】过点C作CE丄x轴于点E，结合矩形性质，等腰三角形性质，勾的坐标，将OC绕点O逆时针旋转90°得到OC¢,结合全等三角形性质和判定，得到第1次【详解】解：过点C作CE丄x轴于点E，:上ABC=90°,:上CBE=180°-90°-45°=45°,:BE=CE，:BE2+CE2=2BE2=BC2=32，:C(6,4)，:C¢(-4,6)，同理可得，第2次旋转后点C的坐标是(-6,-:第2026次旋转结束时，点C的坐标是(-6,-4)，线EF于点N¢,此时△MBN¢周长取得最小值，由勾股定理可求解．【详解】解：过点N¢作EFⅡAB，交AD、BC于E、F，过点M作MG丄EF垂足为G，:ABⅡCD，:ABⅡEFⅡCD，:四边形AMGE和BMGF是矩形，作点M关于直线EF的对称点M¢,连接MB¢交直线EF于点N¢,判定和性质，含30度角的直角三角形的（1）利用矩形的性质和含有30°角的直角三角形求出AB即可得解；（2）过点E作EM丄x轴于点M，作EN丄y轴于点N，在Rt△DEN中，得出BF=2，过点F作FH丄BD于点H，并延长交AP于点P，连接GP，根据折叠可得勾股定理求得PE，即可求解．【详解】（1）解：如图，设AB与x-3,):AD=3，AK=:BK=AB-AK=2:B(-3,-2)故答案为：(-3,-2)．过点E作EM丄x轴于点M，作EN丄y轴于点N，:BF=2过点F作FH丄BD于点H，并延长交AP于点P，连接GP，:△PBH≌△FBH(ASA):PH=FH，BP=BF=2，P(-3,0):GF=GP（3）①若DP、BP为边，BD为对角线，则作BD的垂直平分线交x轴负半轴于P1，即第（2）问的点P，②若BD、DP为边，BP为对角线，:A(-3,)，则D(0,)则以D为圆心，DB长为半径画弧，交x轴负半轴于点将点沿方向平移即向下平移个单位，向左平移个单位得到Q2，③若BD、BP为边，DP为对角线，则以B为圆心，BD长为半径画弧，交x轴负半轴于点P3(-2-3,0)将P3按BD方向平移，即向右平移3个单位向上平移3个单位得到Q3，:Q3-2,3)综上所述，Q点坐标为(0,-)或(--3,-3)或(-2,3)象与坐标的关系确定CD的长，再根据矩形的性质和【详解】解:由图象得:当点P运动到点C时，，:CD=2．在矩形ABCD中，在Rt△BCD中，BD2-BC2=CD2，此时AF+EF的值最小，运动过程中，当点F移动到点C