专题2.2圆的对称性2025~2026学年九年级数学上册（苏科版）

知识点（二）在同圆或等圆中，相等的圆心(2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣(1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有（分一一:AB=CDAB=CD.．=62°,则x值为何？()A．27B．31C．32D．377．如图，正方形ABCD内接于eO，M为弧AD中点，连接BM,CM．(2)若AB=2，求点M到BC的距离．8．如图所示，在圆O中，如果上AOB=2上AOC（均小于180°),那么正确A．AB=2ACB．AB>2ACC．AB<2AC9．如图，AB是eO的直径，弦MNⅡAB，分别过M、N作AB的垂线，垂足为C、D，③若四边形MCDN是正方形，则；④若M为弧AN的中点，则D为OB中点．垂足分别为E、F，若点E为OC的中点，弧CD一条圆弧，则弧AC所对的圆心角度数为．13．在“角、线段、直角梯形、锐角三角形、圆”中，一定是轴对称图形的是()【解题技巧点拨】运用垂径定理解题或证明时，常常“连半径，作垂线，构造直角三角形”，的长为半径画弧，两弧相交于点E,F，连接EF，交于点C，交弦AB于点D，经测量19．如图，eO的两条弦ABⅡCD（AB不是直径点E为AB中点，连接EC，ED．(2)求证：EC=ED．20．如图，A、B在eO上，连接OA，OB，AB．ÐAOB的平分线交AB于点C，交eO于点D，连接AD，BD．下列结论错误的是()OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；②分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；③连接OM,MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中不成立的是()（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分22．如图，AB是eO的直径，弦CD交AB于点E，点B是劣弧CD的中点．(1)求证：AC=AD．23．如图，A、B在eO上，连接OA，OB，AB．ÐAOB的平分线交AB于点C，交eO于点D，连接AD，BD．下列结论错误的是()25．如图，点A，B，C在eO上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=8dm,DC=2dm，则圆的半径为()A．5dmB．10dmC．4dmD．6dm27．如图，是eO的直径，CD是eO的弦，且CE=DE．若eO的半径为5,CD=8，则BE的长为()28．如图，AB是eO的直径，==圆上，若上AOB=上COD=上DOE，连接AB，DE和CE，则下列说法不正确的是(C．AB=2DE圆有通道和，且它们关于圆心O中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心O转动，被隔风玻璃OF，OG隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为()32．已知ΘO的直径为20cm，AB，CD是ΘO的两条弦，ABⅡCD，AB=16cm，34．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．35．如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，其中两条劣弧AC、BD的度数分别为38．如图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点．(1)求证：AC=BD；(1)求证：AC=BD；40．如图，圆内接四边形ABDC，AB是eO的直径，OD丄BC交BC于点E，(1)求证：点D为的中点；42．如图，AB是eO的直径，弦CD丄AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是()43．如图，A、B、C是eO上的点，OC丄AB，垂足为点D，BC的长为()44．如图，在eO中，点C是的中点，CD垂直平分半径OA，则该圆的半径为()45．如图，在直径为AB的半圆O中，C为半圆弧上的一点，连接AC，将劣弧AC沿弦AC折叠交直径AB于点D，取劣弧AD的中点为E，连接OE．已知AB=2，则点E与圆心O距离的最小值为()A．B．-1C．2-D．146．如图，在平面直角坐标系中，以点G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A,B两点，与y轴交于C,D两点，点E为eG上一动点，CF丄AE于点F，则点E在eG上运动过程中，线段FG的长的最小值为()47．如图，AB是eO的直径，点C、D在eO上，且CD丄AB，垂足为E．若AE=3BE，2=，连接AC，DC，在OC绕点O旋转的过程中，当CD取最小值时，△ACO的52．如图，M为x轴正半轴上一点，eM与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接AB，将△OAB绕顶点B逆时针旋转90°得到△CDB，此时点C恰在eM上，若eM53．如图，AD为直径，E为弦BC的中点，连接AB，AC．54．如图，AB是eO的直径，弦CD交AB于点E，点B是劣弧CD的中点．(1)求证：AC=AD．55．如图，AB是eO的弦，C是弧AB的中点．(1)连接OC，求证：OC垂直平分AB；56．如图1，在eO中，直径AC垂直弦BD于点G，=，连接AE交BD于点F．57．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB=40cm,CD=10cm，则圆形工件的半径为()A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm则BE的长为()59．如图，在eO中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则eO的半径长为60．如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=1m，CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为()62．如图，AB是eO的直径，AD^AB于点A，OD交eO于点C，AE丄OD于点E，交eO于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是()64．如图，AB是eO的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE^AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为．是轴对称图形的有①②③④⑤,是中心对称图形的有①③⑤.2．(1)a、b、c；a和c叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转180°,【分析】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据:xy的值最大时，△DEF的面积最大，:∠CEO=∠CDO=∠DOE＝90°,:四边形ODCE是矩形，:x2+y2≥2xy，:2xy≤4，:xy≤2，:xy的最大值为2，:△DEF的面积的最大值为2cm2:AB=BO，:弧BE的度数为96°.:点O到三角形三条边的距离相等即OE=OF=OG，故答案为：110°.:x的值为37．（2）先证明ME是线段BC的垂直平分线，再结合勾算出OB=，则MF=OM+OF=+1，即可作答．一一:AB=CD,AB=CD，QM为弧AD的中点，一一:AM=DM，:=，:BM=CM，:△MBC是等腰三角形．（2）解：如图，连接OB,OC，连接MO并延长交BC于点F，:MF是线段BC的垂直平分线，:2=OB，即点M到BC的距离为+1．【详解】解：取的中点D，连接AB,AD,BD,DO，:AD=BD，【分析】先证明四边形CMND是矩形，再证明Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，可得结论①②正:ÐOCM=ÐODN=90°,QMNⅡAB，:ÐCMN+ÐMCD=180°,:ÐCMN=90°,:四边形CMND是矩形，:CM=DN，:Rt△OMC≌Rt△OND(HL)，:OC=OD，ÐCOM=ÐDON，:=，故②正确，当四边形MCDN是正方形时，CM=CD=2OC，若M是的中点，连接BN，而=,:ÐAOM=ÐMON=ÐBON=60°,:OD=DB，故④正确．连接OD，交EF于点G，进而得出四边形OEDF是矩形，结合已知条件证明△OEG是等边:四边形OEDF是矩形，:点E为OC的中点，OC=OD，:弧CD的度数为60°,故答案为：60°.【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理；根据已知条件得到△AOC是等腰依题意，OC:AB=1:2:OC=AC:△AOC是等腰直角三角形，:优弧=360°-90°=270°:弦AB所分成的两条弧的度数比为1:3，勾股定理的逆定理，是求解的关键．作弦AB和BC的垂直平分线交于点O，根据线段垂直ÐAOC=90°.心，连接OC，:OA2+OC2=AC2，:ÐAOC=90°,:弧AC所对的圆心角度数为90°.故答案为：90°.直角梯形不是轴对称图形，若锐角三角形不是等腰三:AQ＝PBAB-PQ2（m折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个(2)100°可得上GOF=上HOF=20°,即上AOH=40°,进而得到上A=50°,最后由三角形的外角的一一:AB=AD．一一一一:AE=BD，（2）解：如图2，连接OB交AE于点H，:OB丄AE:OH=OG．:Rt△OHF≌Rt△OGF，:上AOH=40°,:上A=50°,【详解】解：如图：连接OC，在Rt△OCH中【详解】解：在EF上取一点O作为圆心，连接OB:OD=OC-CD=(r-10)cm，可得(r-10)2+302=r2，QEO过点O，E为AB的中点，:EO丄AB．（2）证明：延长EO交CD于F．:EF丄CD．QEF过点O，:CF=DF，:EF垂直平分CD，:EC=ED．【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推【详解】解：∵ÐAOB的平分线交AB于点C，OD是半径，一一B、连接ON，:ÐOMK=ÐONL，:OK=OL，:ÐOKL=ÐOLK，:ÐOKL=ÐOCD，:MN∥CD，故B不符合题意；C、连接DN，:=3，:MN不一定等于3CD，故C符合题意．:上MON=60°,:AC=AD．（2）解：如图，连接OC，:AO=OC，:CD=2CE=．【详解】解：∵ÐAOB的平分线交AB于点C，OD是半径，24．4理求出AD．:=，在Rt△AOM中，由勾股定理得AM2=OA2-OM2=62-22=32，在Rt△ADM中，由勾股定理得故答案为：4．【详解】连结OD,OA，如图，设半径为r，∵CD垂直平分AB于点D，:OD=r-2，在Rt△ADO中，解得：r=5，则圆的半径为5dm．由于ABⅡCD，易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和Rt△OCF中，利用勾股定理分别计算出OE与OF，然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OF+OE；当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离∵ABⅡCD，在Rt△AOE中在Rt△OCF中所以AB与CD的距离是14或2．【详解】解：QAB是ΘO的直径，CD是ΘO的弦，且CE=DE,:AB丄CD.:BE=5-3=2．【分析】本题考查圆心角与弧的关系，在同圆或等圆中，C、:大圆半径OA是小圆半径OC的2倍，:=，:CD=DE，:AB=2DE，故本选项说法正确，不符合题意；:AB=2DE，【分析】由题意得可得ÐAOB与上COD的最大值的和为120°,结合和关于圆心O中:ÐAOC与上BOD的最小值为120°:ÐAOB与上COD的最大值的和为120°:和关于圆心O中心对称:=在Rt△OBC中，由勾股定理可得与CD之间时，EF=OF-OE．在Rt△OAE中在Rt△OCF中33．6【分析】连接OD，由OD2=OC2+CD2可知当OC最小时，CD最大；又DE=OC最小时，DE最大；所以当OC丄AB时满足题意，据此即可求解．22，:当OC最小时，CD最大，:当OC最小时，DE最大，:当OC丄AB时，OC最小此时，点D与点B（或点A）重合，点E与:DE的最大值为6故答案为：6根据垂径定理的推理“垂直平分弦的直线经过圆心”，分别连接AB,AC，并作AB,AC的垂直平分线，两线的交点即为圆心，再结合坐标与图【详解】解：如图所示，连接AB,AC，分别作AB,AC的垂直平分线a,b交于点M，:M((2,0))，后根据勾股定理求出DE,CE，则答案可得．【详解】解：连接AO,CO,AC，:△ACO是等边三角形，:AE=4．【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB=10寸可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x寸，表示出OE的长，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程即可得到答案．在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：OA2=OE2+AE2:=．:AB=CD．(2)大圆的半径为4（2）连接OD,OB，在Rt△OBE和Rt△ODE中根据勾股定理得到OD2-DE2=OB2-BE2，AE=BE,CE=DE,:BE-DE=AE-CE,（2）解：如图，连接OD,OB，:BE=AE=4，DE=4-1=3OE22-DE2,OE2=OB2-BE2，:OD2-DE2=OB2-BE2，即52-32=OB2-42，:大圆的半径为4．:AF=BF，:CF=DF，:AF-CF=BF-DF，:AC=BD；（2）解：如图，连接OC，:ΘO的半径是:=，即点D为的中点．（2）解：QAB是eO的直径，OD丄BC，:BE=EC=4，:BC=8，【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定:eO的直径为20．【分析】通过审题，根据AB是eO的直径，弦CD丄AB，依据垂径定理即可解答问题．【详解】解：∵AB是eO的直径，弦CD丄AB，【分析】通过连接OB，利用垂径定理、平行线性质和等腰三角形性质，推导出OD与BC【详解】解：连接OB，:ÐAOD=ÐBCD=ÐBOD．:OC=BC=6故选：B．【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，即得△OAC和△OBC是等边三角形，可得上BCD=90°,再利用等边:AC=OC，:=，:AC=BC，:△OAC和△OBC是等边三角形，在Rt△BCD中，BC2+CD2=BD2，故选：A．【详解】解：把弧AEC的圆补全为ΘF，可知点F与点O关于AC对称，半径为1，:CFⅡAB，:E是弧AD的中点，:FE丄AB，:OE的最小值为-1，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，关键.连接AC，作GM丄AC，连接AG，由CF丄AE可知，点F在以AC为直径的圆M上移动，当点F在的MG延长线上时，FG的长最小，根据含30°角直角三角形及勾股定理求出FM，MG，即可得到答案.【详解】如图，连接AC，过点G作GM丄AC于点M，连接AG．:OA=OB．在Rt△AGO中，QGC=GA，\7GCA=7GAC．Q7AGO=7GCA+7GAC，:AC=2AO=2，:上AFC=90°,点F在以AC为直径的ΘM上运动，:FM=．当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FM-MG=-1．【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知,进而在Rt△OCE中根据勾股定理进行求解即可．:AB是ΘO的直径，:上 :在Rt△OCE中，OE2+CE2=OC2， 48．4理求出AD．:=，:点O为AB的中点，:eO的半径是6，在Rt△AOM中，由勾股定理得AM2=OA2-OM2=62-22=32，在Rt△ADM中，由勾股定理得故答案为：4．判断出在OC的旋转过程中，O,C,D三点共线时，CD最短，得出△AOD是等边三角形，由【详解】解：:BO=2，:AO=BO=2，:C为BO的中点，在OC绕点O旋转的过程中，当O,C,D三点共线时，CD的值最小，如图，n2n:AD=3AB，又AO=DO，:C为OD的中点，:△ACO的周长【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理．连接BC，根据题意再结合垂径定理得到【详解】解：如图，连接BC，:AD=BD,AF=CF,BE=CE，:DE,DF,EF是△ABC的中位线，:EF=10-6=4，过点M作BC的垂线，垂足为N，连接BM，利用垂径定理证明四边形BOMN是矩形，令【详解】解：过点M作BC的垂线，垂足为N，连接BM，则BN=CN，:BCⅡx轴，:MN∥y轴，:四边形BOMN是平行四边形，:四边形BOMN是矩形．在Rt△BOM中，(2x)2+x2=42，即即又:AD丄BC，BE=CE，:AB=AC，:△ABC为等腰三角形；（2）如图，连接OB，:BC=8，:BE=4，:AC=AD．（2）解：如图，连接OC，:CD=2CE=．（2）设OC与AB交于点D，由（1）知，OC垂直平分AB，得出根据勾:=，:AC=BC，:OC垂直平分AB；（2）解：设OC与AB交于点D，如图，由（1）知，OC垂直平分AB，2解得：r=5，:eO的半径为5．(2)100°一一1可得上GOF=上HOF=20°,即上AOH=40°,进而得到上A=50°,最后由三角形的外角的一一:AB=AD．一一一一:AE=BD，:AE=BD=4，:BG=BD=2．（2）解：如图2，连接OB交AE于点H，:OB丄AE:OH=OG．