专题13锐角三角函数及其应用（80题）上海专用：2021~2025中考1年模拟数学真题专项试题

精确到0.1米）2．在平行四边形ABCD中，ÐABC是锐角，将CD沿直线l翻折至AB所在直线，对应点分3．如图，在eO中，弦AB的长为8，点C在BO延长线上，且cos上(1)求eO的半径；(2)求ÐBAC的正切值．A．9-3ABC的特征值是k，下列命题中假命题是()D．如果△ABC有一内角为30°,那么8．边长为a的正十边形的半径是()9．已知锐角A的正切值为，那么()A．15°B．30°12．在直角坐标平面xOy内有一点A(3,4)，那么射线OA与x轴正半轴的夹角的正弦值等于17．小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点P的俯角为37°,那么此时热18．如图，在直角梯形ABCD中，ADⅡBC，ÐD=90°,如果对角线AC丄AB，那么的值是()A．sinBB．cosBC．tanBD．cotB是()20．如图，点P是航拍飞机在某一高度时的位置，BH是地平线，PH丄BH，PC∥BH，AB是某大型建筑物的斜面．从点P观测点B的偏角是()24．在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是()图位置时，AE=3.1米，那么木箱端点F离地面AC的高度是米．30．如图，甲、乙两楼的楼间距AC为10米，小杰在甲楼楼底A处测得乙楼楼顶B的仰角上，小海测得塔的高度为米（小海的身高忽略不计，用含a、β的三角比和m的式33．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上．连接BF、FE，若34．如图，点A位于点C的北偏西60o方向，点B位于点C的东北方向，线段AB为一条东西向的公路的一部分，如果点C到公路AB的距离是100米，那么公路AB的长为．35．如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BC=2BD翻折，点A的对应点是点F，连接FD．如果FDⅡBE，那么点F到CD的距离为．么AD=．40．如图，斜坡BD的长为7米，在斜坡BD的顶部D处有一棵高为3米的小树AD（点A、的坡度为．41．如图，在Rt△ABC中，上ACB=90°,如果D、E分别是边AB，AC的中点，BC=4，42．如图，在Rt△ABC中，上是斜边AB上任意一点，点44．如图，已知在△ABC中，高AD、BE相交于点FBD=CE=6，那么EF么AB的长为48．如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有海里结果保50．如图，VABC中，AB=AC，AB的中垂线DE分别与AB、BC交于点E、D．如果51．已知矩形ABCD（AD>AB点E是边AD的中点，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在对角线AC上，那么tan上FBC=．52．如图，热气球探测器显示，从热气球A处楼的底部B处的俯角是60o，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是53．如图，货船A在灯塔P的北偏西60o方向，客船B在灯塔P的东北方向，客船B在货船A的正东方向，如果货船A与客船B相距50千米，那么客船B与灯塔P的距离约是59．在△ABC中，上C=90°,点D、E分别在边AB、AC上，且DE垂直平分AB．联结63．等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE分别是边AC、AB上的中线，且BD丄CE，64．在平面直角坐标系的第一象限内有一点P,OP=10，射线OP与x轴正半轴的夹角为a，65．如图，小明利用无人机测大楼的高度BC．在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角(1)求点P到地面AB的距离PE；与展板AB垂直时，称点P为“最佳观察点”．图1是被困人员所处的楼梯横断面示意图．楼梯斜坡用AB表示，转角平台用BC表示，地(2)如图2，当机器狗爬到斜坡AB上点M处时，探测仪P测得被困人员头顶G的仰角为15°,记作点Q．图2示意图中所有点均处于同一平面，PM=QN,PM丄AB,QN丄AB，垂足分别为M,N,GC=0.52米，PG=5米，求MN的长参考数据：69．如图，在△ABC中，BE为中线，AD平分ÐBAC，且AD丄BE，分别交BE、BC于点H、D，EF丄BE，交BC于点F，AB=5，tan上．(2)求tan上EBC的值．交边AC于点E．DE∥AB，交边BC于点E，求的值．72．小华（考虑为线段AB垂直于地面）家门口的一条笔直街道上有两棵竖直生长的树CD、EF．他站在街道上的A处抬头看点E，发现刚好能看到点C，此时仰角为18.5°,他73．九年级数学活动小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机飞到点D处，AD与底板BR平行，测得AD=11.6米，此时在点D处又测得坡道AB上的点C(2)已知地面QA、地下车库的顶板FG都与底板BR平行且它们到底板BR的距离相等，无人机从点A飞到点P处，AP丄AD，测得AP=16.4米，此时在点P处测得点F的俯角为45°,（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5）【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点C作CE丄AB于点E，由题意，得在Rt△ACE中QCD沿直线l翻折至AB所在直线，过F作AB的垂线交于E，2过F作AB的垂线交于E，股定理可得CE=，然后根据正切的定义即可得．【详解】（1）解：如图，延长BC，交eO于点D，连接AD，:ΘO的半径为（2）解：如图，过点C作CETAB于点E，:OB=5，则7BAC的正切值为<B=<D=<CEB=90°得AE=CE=CE×tanα=atanα而AB=AE+BE，:∆ABF~∆EDF，:∆ABH~∆GCH， ②联立①②得51）AC=62）:AB=10∵BF为AD边上的中线．:F是AD中点:FG//AC:FG是△ACD的中位线:在Rt△BFG中，tan上【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键【分析】根据题意，在Rt△ABD中得到BD=AB，在Rt△ABC中表示CD=BC-BD，求得结果．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直:BC=x，【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数，根据“特征值”的定义，腰三角形中角的度数求出它们的特征值，根据计算结果判断Q()222，:△ABC是直角三角形是直角三角形，故B选项：如下图所示，过A作AD丄BC::上B=30°,D选项：当这个角底角为30°时，由选项B:BG=2-，在Rt△BCG中过点O作OM丄AB交AB与点M，3【分析】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法【详解】解：设坡角为故选：A．:∠EAP=∠APC=37°,【详解】解：∵ÐD=90°,∵ADⅡBC，【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅过点B作BE丄AD于E，根据矩形的性质求出BE，根据题意求出AE，再根据坡比的概念【详解】解：如图，过点B作BE丄AD于E，则四边形BEDC:斜坡AB的坡比是：BE:AE=2:4=1:2,【详解】∵PC∥BH，BH是地平线，:从点P观测点B的俯角是上CPB，【分析】此题考查了解直角三角形，关键是熟练锐角三角函数的定义．画出图形，表示出再根据sinB的定义求解即可【详解】解：如图所示25．2.3【分析】本题考查的是坡度的含义，解直角三角形的应用，过F作FK丄AC于K，交AB于点Q，证明ÐEFQ=ÐBAC，结合坡度的含义求解EQ=0.5，再【详解】解：过F作FK丄AC于K，交AB于点Q，:ÐEFQ=ÐBAC，在Rt△AQK中设QK=5m，则AK=12m，:木箱端点F离地面的距离是2.3米；故答案为：2.3．:sin上BGO=sin上BOE=，:CF=24x=（分米:菱形的边长为：，CEⅡBD，交AD的延长线于E，根据平行四边形的性质求出CE，根据勾股定理求出AE，【详解】解：如图，过点C作CEⅡBD，交AD的延长线于E，:四边形BDEC为平行四边形，-10+10)【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在Rt△ABC和Rt△ADC中，利用三角函数的定义分别求得BC和AD的长，据此计算即可求解．:BC-AD=(10-10)米．故答案为：(10-10)．各边之间的联系，从而求解．在Rt△ADC中，ÐA的对边是CD，邻边是AC，则【详解】解：设CD=x米．Q在Rt△ADC中:AC=CD.cotA=xcota，:xcota-xcotβ=m，答：塔的高度约为米．故答案为：2．2222△ABF≌△CBE(SAS)得到BF=BE，则BG是EF的中线，得到FG=EG=1EF=5，22在Rt△BFG中由正切值的计算方法即可求解．【详解】解：:四边形ABCD是正方形，:DE=DF，222在Rt△ABF中如图所示，连接BE，过点B作BG丄EF于点G，:△ABF≌△CBE(SAS)，:BF=BE，:BG是EF的中线，故答案为：2+1．【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，从实际问题中抽象出直角三角Rt△DCB和Rt△DCA中解直角三角形即可解答．如图所示，过点D作DE丄AB于点E，过点C作CF丄AB延长线于点F，可得【详解】解：如图所示，过点D作DE丄AB于点E，过点C作CF丄AB延长线于点F，:BD是△ABC的中线，AC=6，22在Rt△ADE中:AE=2DE，:AD2=AE2+DE2=:AE=6，:△ADE∽△ACF，在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2=x2+9，:BC=2BD，在Rt△BCF中，BC2=BF2+CF2=(6-x)2+62，2，整理得，x2+4x-12=0，:BE=2，据题意画出图形，根据ADⅡBC，AG=FG，得出AE=DE，再通过相等的角的三角函数【详解】解：过点F作FP丄CD于点P，:ADⅡBC，AD=BC=6，当以AB为△ABC的底边时，对应的高为3，根据坡度坡面的垂直高度(h)和水平宽度(l)的比值，即坡角的正切值tana，其中a是斜坡故答案为：30．39．6:BD=4，:AD=6，故答案为：6．【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，设CD=x米，则:AC丄BC，在Rt△BCD中，BC2=BD2-CD2，:(x+3)2=72-x2，整理得：2x2+9x-11=0，的长，再结合△ADE的面积得出AE的长，进而得出AC的【详解】解：QD、E分别是边AB，AC的中点，:DE是△ABC的中位线，:DEⅡ:DE垂直平分AC，:DA=DC，:AC=2AE=10．再分别连接AE,BF并延长，根据重心的性质得出它们与CD的交点为同一点，最后得出解：在Rt△ABC中:BC=8，连接AE,BF并延长，分别交CD于点M，N，:E，F分别为△ACD和△BCD的重心，:点M为CD中点，点N为CD中点，:M，N重合．:点E为△ACD的重心，:AE=2EM，:S△ADE=2S△DEM，S△ACE=2S△CEM，的长，由勾股定理即可求出EF的长．【详解】解：Q在△ABC中，高AD、BE相交于点F，:AD丄BC，BE丄AC，【分析】本题主要考查了正弦的定义，等腰三角形的性质等知识，过点A作AH丄BC于点法求出CK，再根据三角形正弦的定义求解即可．【详解】解：如图，过点A作AH丄BC于点H，过点C作CK丄AB于点K．9【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据45°的正弦值等于求解即可．:=2sin45°,故答案为：2sin45°.:上ACD+上BCD=90°,:上CDB=90°,【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角【详解】解：过点A作AD丄PB于点D，:AD=PD，:AD=18+6，解得，AP=18+6．妨设AB=AC=3，BC=2，设CD=x，勾股定理:不妨设AB=AC=3，BC=2，则：AD=3-x，在Rt△ADB中，BD2=AB2-AD2，在Rt△CDB中，BD2=BC2-CD2，:AB2-AD2=BC2-CD2，即：32-(3-x)2=22-x2，求出BE的长，再在Rt△BED中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：连接AD，:AB=AC，:DE是AB的垂直平分线，直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当【分析】延长BF交CD于点G，连接EG，由矩形的性质可得AB=CD，ABⅡCD，【详解】解：如图，延长BF交CD于点G，连接EG，Q将△ABE沿BE翻折，点A落到点F处，:AE=FE，AB=FB，上BAE=上BFE=90°,:上BAF=上AFB，:FG=CG，:AE=DE，:DE=FE，:Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，:FG=DG，:DG=CG，:AB=2FG，:BF=2FG，:BG=3FG=3CG，【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的过点A作AD丄BC于点D，则AD=30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．在Rt△ADB中，tan上即这栋楼的高度BC是73.5米.25-25)在Rt△ACP中，tan上25-25故答案为：(25-25)．tan∠CAE=tanB，进而求出CD的长，再根据求出BE的长即可．:AC=3，:tan∠CAE=tanB，:BE=3．理求出AC的长，再利用正切求坡度即可得．【详解】解：由题意得：AB=3.2米，BC=0.4米，BC丄AC，故答案为：1:3．延长交BC于点E，在AE的延长线上取一点H，使EH=EO，连接AH，BH，延长CO交AB于点F，解Rt△BOC得OC=6，BC=10，证明四边形BHCO是矩形得CF∥BH，【详解】解：连接AO并延长交BC于点E，在AE的延长线上取一点H，使EH=EO，连接AH，BH，延长CO交AB于点F，如图所示：:在Rt△BOC中，tan上:AE，CF都是△ABC的中线，:BE=CE，AF=BF，又∵EH=EO，:四边形BHCO是平行四边形，:平行四边形BHCO是矩形，∵AF=BF，:点A、O的距离为10．QDE垂直平分AB，:AE=BE.设BC=a，AC=3a，:CE=3a-AE=3a-BE.在Rt△BCE中，CE2+BC2=BE2,:(3a-BE)2+a2=BE2,在Rt△BCE中， 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．根据垂直的定义得到上AEB=90°,根据三角函数的定义得到:上AEB=90°,:PE=16m,:PB=PE-BE=(16-8)m,:大坝底部应加宽(16-8)m．故答案为：16-8【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作PM丄k，则水平宽度为2k(k>0)，由勾股定理可得斜坡长度，再由余弦的定义求解即可．【详解】解：:坡度i=tana=1:2，:设斜坡的垂直高度为k，则水平宽度为2k(k>0)，:由勾股定理可得斜坡长度为，【分析】设BD与CE交于Q，连接AQ并延长交BC于点H，由题意得，点Q为△ABC的重心，则H为BC中点，AQ=2QH，则△QBH为等腰直角三角形，设QH=m，则【详解】解：设BD与CE交于Q，连接AQ并延长交BC于点H，:H为BC中点，AQ=2QH:AB=AC，:AH丄BC，:BD丄CE，H为BC中点:AH丄BC，:△QBH为等腰直角三角形，:设QH=m，则BH=m,AQ=2m，:点P(8,6)．（2）延长BC交MN于D点，如图所示，在Rt△APE中，解直角三角形求出AE，再由矩形的判定与性质得到相关线段长，最后在Rt△PCD中，解直角答：点P到地面AB的距离PE为40米；（2）解：延长BC交MN于D点，如图所示：:四边形PEBD为矩形，答：大楼的高度BC为30米．求点B到PQ的距离为50cmPO603【详解】解1）如图2，过C作CH丄QM于H，过B点作BN丄CH于N，作BG丄QM于Q在Rt△CHM中，CM=125cm，上CME:上NCB=37°,:在Rt△BCN中，CN=BC.sin上CBN=50×=40(cm)，:BG=NH=CH-CN=100-40=60(cm)，答：展板最低点B到地面EF的距离为60cm；（2）如图，过C点作CO丄PQ于O点，作BK丄PQ于K点，:BN=30cm，设BK=x，:PO=PQ-NH-CN=60cm，:x=50，:BK=50cm，答：当点P为“最佳观测点”时，求点B到PQ的距离为50cm．把m=+1代入，原式(2)MN的长1.56米．（2）过点P作PF丄CD交DC于点F，作PH丄BC交CB延长线于点H，根据题意可知HP=0.78米，根据坡比得到上HQP=上A=30°,在Rt△QHP:四边形BCDE是矩形，:DE=BC=2，在Rt△ABE中（2）解：过点P作PF丄CD交DC于点F，作PH丄BC交CB延长线于点H，如图：在Rt△GPF中，:上A=30°,在Rt△QHP中，QP=2HP=1.56米，:MN=QP=1.56米，:MN的长1.56米．线得到EH，即可得到答案；:AH=3，BH=4，:tan上BAH=，:AD平分ÐBAC，:E为AC中点，:EFⅡAD，:F为DC中点，:HD=1，（2）如图所示，过点E作EF丄AB于点F，求,然后解直角三角形求解即可．解得BC=6（2）如图所示，过点E作EF丄AB于点F:AF=【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形， ,得出AC=AF=5x，CB=12x，【详解】解：如图，延长CD交AB于点F，QAD平分ÐBAC，:AD=AD，:△CAD≌△FAD(ASA)，:AC=AF，CD=DF，在Rt△ABC中:设AC=AF=5x，则CB=12x，:FB=AB-AF=13x-5x=8x，:DE∥AB，:△CDE∽△CFB，72．树CD、EF的高分别为3.27m和4.60m题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．作AM丄EF于M交CD于N，连结EN．先求得EN=AN=5m，再由AM