八年级数学变量关系课后培优练习题

八年级数学变量关系课后培优练习题变量关系是八年级数学的核心内容之一，也是后续学习函数（一次函数、反比例函数等）的基础。本套培优练习题围绕概念辨析、图表转换、实际应用三大板块设计，梯度从基础到拓展再到思维挑战，旨在深化对变量、函数的理解，提升应用能力与逻辑思维。**一、基础巩固：夯实概念根基**目标：掌握变量与常量的区分、函数的定义（唯一对应性）、列表/图像的基本解读。**1.变量与常量辨析**指出下列关系式中的变量（随情境变化的量）与常量（固定不变的量）：（1）正方形的周长\(C=4a\)（\(a\)为边长）；（2）匀速直线运动中，路程\(s=vt\)（\(v\)为速度，\(t\)为时间）；（3）圆锥的体积\(V=\frac{1}{3}\pir^2h\)（\(r\)为底面半径，\(h\)为高，\(\pi\)为圆周率）。解题思路：变量是“变化的量”，常量是“固定的量”。（1）变量：\(C,a\)；常量：\(4\)；（2）变量：\(s,t\)（\(v\)固定）；常量：\(v\)；（3）变量：\(V,r\)（若\(h\)固定）；常量：\(\frac{1}{3}\pih\)。培优点拨：判断时需明确“情境中的固定条件”（如“匀速”意味着\(v\)不变，“圆锥高固定”意味着\(h\)不变），避免混淆变量与常量。**2.函数的定义判断**下列关系式中，\(y\)是\(x\)的函数吗？为什么？（1）\(y=2x-3\)；（2）\(y=\sqrt{x}\)（\(x\geq0\)）；（3）\(x=y^2\)；（4）\(y=\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)）。解题思路：函数的核心是“唯一对应”——对于\(x\)的每一个确定值，\(y\)有且仅有一个值与之对应。（1）是：每个\(x\)对应唯一\(y\)；（2）是：\(x\geq0\)时，\(\sqrt{x}\)唯一；（3）否：如\(x=4\)，\(y=2\)或\(y=-2\)，不唯一；（4）是：\(x\neq0\)时，\(\frac{1}{x}\)唯一。培优点拨：即使\(y\)是多个\(x\)的对应（如\(y=|x|\)中\(x=1\)和\(x=-1\)都对应\(y=1\)），只要“一个\(x\)对应一个\(y\)”，就是函数。**3.列表法解读**下表是某植物生长高度\(h\)（厘米）与种植时间\(t\)（周）的关系：\(t\)（周）12345\(h\)（厘米）510152025（1）自变量是______，因变量是______；（2）种植3周后，植物高度是______厘米；（3）预测种植6周后，植物高度是______厘米。答案：（1）\(t\)，\(h\)；（2）15；（3）30。培优点拨：列表法中，自变量是“主动变化的量”（如时间），因变量是“随自变量变化的量”（如高度）；预测值需根据规律（此处\(h=5t\)）推断。**二、能力提升：灵活应用表示方法**目标：掌握列表、解析式、图像三种表示方法的转换，能计算函数值与自变量值。**4.列表转解析式**某商店销售某种商品，每件利润为5元，销售数量为\(x\)（件）时，总利润为\(y\)（元），下表是部分数据：\(x\)（件）10203040\(y\)（元）50100150200（1）写出\(y\)与\(x\)的函数解析式；（2）求销售100件时的总利润；（3）若总利润为350元，求销售数量。解题思路：（1）观察表格，\(x\)每增加10，\(y\)增加50，故\(y=5x\)（每件利润×数量）；（2）代入\(x=100\)，\(y=5×100=500\)（元）；（3）代入\(y=350\)，\(350=5x\)，解得\(x=70\)（件）。培优点拨：列表转解析式的关键是寻找“变量间的规律”（如正比例、线性关系），通常计算“增量比”（\(\Deltay/\Deltax\)）是否为定值（此处为5）。**5.图像转信息**如图是某汽车行驶过程中路程\(s\)（千米）与时间\(t\)（小时）的函数图像，请回答：（1）汽车在第______小时到第______小时处于静止状态；（2）汽车在0~2小时的速度是______千米/小时；（3）汽车行驶的总路程是______千米。（注：图像为折线图，0~2小时上升，2~3小时水平，3~5小时上升，5小时后水平。）解题思路：（1）静止状态对应水平线段（\(s\)不变），故2~3小时；（2）速度=路程/时间，0~2小时行驶了40千米（假设图像起点0，2小时到40千米），故速度=40/2=20千米/小时；（3）总路程是最后时刻的\(s\)值（假设5小时后到80千米），故80千米。培优点拨：图像分析的“三步骤”：①看横纵轴含义（\(t\)是时间，\(s\)是路程）；②析线段趋势（上升=行驶，水平=静止）；③算关键值（速度=斜率=\(\Deltas/\Deltat\)）。**6.解析式转图像**已知函数\(y=-2x+4\)（\(x\geq0\)），请画出其图像，并回答：（1）当\(x=1\)时，\(y=\)______；（2）当\(y=0\)时，\(x=\)______；（3）图像与\(y\)轴的交点坐标是______。解题思路：（1）代入\(x=1\)，\(y=-2×1+4=2\)；（2）代入\(y=0\)，\(0=-2x+4\)，解得\(x=2\)；（3）与\(y\)轴交点即\(x=0\)，此时\(y=4\)，故交点为\((0,4)\)。图像绘制：取两点（如\((0,4)\)、\((2,0)\)），连接成直线（\(x\geq0\)部分）。培优点拨：一次函数（\(y=kx+b\)）的图像是直线，只需找两个点即可绘制；与\(y\)轴交点为\((0,b)\)，与\(x\)轴交点为\((-b/k,0)\)（\(k\neq0\)）。**三、拓展应用：联系实际问题**目标：将变量关系应用于行程、工程、几何等实际场景，解决具体问题。**7.行程问题：相遇与追及**A、B两地相距150千米，甲从A地出发，以30千米/小时的速度向B地行驶；乙从B地出发，以20千米/小时的速度向A地行驶，两人同时出发。（1）写出两人相遇前，相距距离\(d\)（千米）与时间\(t\)（小时）的函数关系式；（2）求相遇时间\(t\)；（3）相遇后，两人继续行驶，写出相距距离\(d\)与\(t\)的函数关系式（\(t\geq\)相遇时间）。解题思路：（1）相遇前，\(d=150-(30+20)t=150-50t\)（总距离减去两人行驶的路程和）；（2）相遇时\(d=0\)，故\(150-50t=0\)，解得\(t=3\)小时；（3）相遇后，\(d=(30+20)(t-3)=50(t-3)\)（两人行驶的路程和）。答案：（1）\(d=150-50t\)（\(0\leqt<3\)）；（2）3小时；（3）\(d=50(t-3)\)（\(t\geq3\)）。培优点拨：相向而行的行程问题，相遇前距离随时间减小（\(d=总距离-速度和×时间\)），相遇后距离随时间增大（\(d=速度和×(时间-相遇时间)\)），分段函数是关键。**8.工程问题：工作量与时间**某工程队修一条公路，原计划每天修\(x\)米，12天完成。实际每天多修30米，结果提前2天完成。（1）写出原计划工作量与实际工作量的关系式；（2）求原计划每天修多少米。解题思路：（1）原计划工作量=12x，实际工作量=(12-2)(x+30)=10(x+30)，因工作量相同，故\(12x=10(x+30)\)；（2）解方程：\(12x=10x+300\)，得\(x=150\)米/天。答案：（1）\(12x=10(x+30)\)；（2）150米。培优点拨：工程问题的核心是“工作量=工作效率×时间”，抓住“工作量不变”建立等式是解题关键。**9.几何问题：面积与边长**一个长方形的长为8厘米，宽为\(x\)厘米，将宽增加2厘米后，得到一个新长方形。（1）写出新长方形面积\(S\)（平方厘米）与\(x\)（厘米）的函数关系式；（2）求\(x\)的取值范围；（3）当\(x=5\)时，新长方形面积比原长方形大多少？解题思路：（1）原面积=8x，新宽=x+2，故新面积\(S=8(x+2)=8x+16\)；（2）宽为正，故\(x>0\)，新宽=x+2>0（自动满足），故\(x>0\)；（3）代入\(x=5\)，原面积=8×5=40，新面积=8×(5+2)=56，故大16平方厘米（56-40=16）。答案：（1）\(S=8x+16\)；（2）\(x>0\)；（3）16平方厘米。培优点拨：几何图形中的变量关系，需先明确“图形变化后的边长”，再用几何公式（如长方形面积=长×宽）写出关系式，取值范围要符合“边长为正”的实际意义。**四、思维挑战：深化逻辑与逆向思维**目标：综合应用变量关系，解决逆向问题、多变量问题，培养思维深度。**10.逆向问题：图像转解析式**如图是某蓄水池注水过程中水位高度\(h\)（米）与时间\(t\)（分钟）的函数图像，已知注水前水位高度为0.5米，注水10分钟后水位高度为2.5米。（1）写出\(h\)与\(t\)的函数关系式；（2）求注水20分钟后的水位高度；（3）若水位高度达到4.5米时停止注水，求注水时间。解题思路：（1）设函数关系式为\(h=kt+b\)（线性关系，因注水速度均匀），代入已知点：\(t=0\)时，\(h=0.5\)，故\(b=0.5\)；\(t=10\)时，\(h=2.5\)，故\(2.5=10k+0.5\)，解得\(k=0.2\)；因此，\(h=0.2t+0.5\)（\(t\geq0\)）。（2）代入\(t=20\)，\(h=0.2×20+0.5=4.5\)米；（3）代入\(h=4.5\)，\(4.5=0.2t+0.5\)，解得\(t=20\)分钟。培优点拨：逆向问题（图像转解析式）的关键是“设关系式（如线性函数\(y=kt+b\)）→找已知点代入→解系数”，适用于均匀变化的场景（如匀速注水、匀速运动）。**11.多变量问题：体积与半径**一个圆柱的高为5厘米，底面半径为\(r\)（厘米），体积为\(V\)（立方厘米）。（1）写出\(V\)与\(r\)的函数关系式；（2）求\(r\)的取值范围；（3）当\(r\)扩大到原来的3倍时，\(V\)如何变化？解题思路：（1）圆柱体积公式\(V=\pir^2h\)，代入\(h=5\)，故\(V=5\pir^2\)；（2）半径为正，故\(r>0\)；（3）\(r\)扩大到3倍，即\(r'=3r\)，此时\(V'=5\pi(3r)^2=5\pi×9r^2=9×5\pir^2=9V\)，故\(V\)扩大到原来的9倍。答案：（1）\(V=5\pir^2\)；（2）\(r>0\)；（3）扩大到9倍。培优点拨：多变量问题中，需固定“不变量”（如高5厘米），再研究“变量间的关系”（\(V\)与\(r\)）；对于二次函数（\(V=5\pir^2\)），自变量扩大\(n\)倍，因变量扩大\(n^2\)倍（如\(r\)扩大3倍，\(V\)扩大9倍），这是二次函数的重要性质。**12.实际约束问题：自变量取值范围**某商店销售某种玩具，每个玩具成本为10元，售价为\(x\)元（\(x>10\)），每天销量为\(y\)个，且\(y=-2x+50\)（\(x\)为整数）。（1）写出每天利润\(W\)（元）与\(x\)（元）的函数关系式；（2）求\(x\)的取值范围；（3）当售价为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？解题思路：（1）利润=（售价-成本）×销量，故\(W=(x-10)y=(x-10)(-2x+50)=-2x^2+70x-500\)；（2）销量\(y\geq0\)，故\(-2x+50\geq0\)，解得\(x\leq25\)，结合\(x>10\)且为整数，故\(11\leqx\leq25\)（\(x\)为整数）；（3）\(W=-2x^2+