第09讲多边形的面积(二)-讲义-教师版

第9讲多边形的面积（二）第9讲多边形的面积（二）探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式是《数学课程标准》空间与图形领域里测量的重要目标之一。这节课我们的要求是：利用方格纸或割补的方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。学生的自主探索、自己建构数学知识会是这节课的主要内容。 1．通过学习探究提高对三角形和梯形的认识；2．通过主动探究式学习，提高学生的独立/主动性，培养学生独立完成任务的意识；3．灵活利用公式，解决实际问题1.理解等底等高的三角形和平行四边形的关系并能够灵活运用2.理解题型的公式并能够用于解决实际问题3.能够对公式进行灵活变换在学生版讲义空出一行内容，内容较多，由老师在课上结合“情景导入”文档中的内容为学生介绍即可,文档中给出的导入方式不唯一，选择一种即可.探索三角形的面积把三角形转化为学过的图形旋转两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于三角形的底；平行四边形的高相当于三角形的高；平行四边形的面积等于三角形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以三角形面积=底×高÷2例1.用字母表示阴影部分的面积是（）A．ah B．ah+ah÷2 C．ah÷2 D．无法确定【答案】C【分析】由图形可以看出，阴影部分是一个三角形，三角形的底是a，高是h，根据三角形的面积公式进行解答即可．练习1.．三角形的面积和平行四边形的面积相比，三角形的面积（）A．比平行四边形大 B．比平行四边形小C．是平行四边形的一半 D．可能大，可能小，可能相等【答案】D【解析】三角形的面积是和等底等高的平行四边形面积的一半，当它们的高和底不相等时，则它们的面积的大小不一定．练习2.一个平行四边形面积是4.8m2，与它等底等高的三角形面积是（）A．4.8m2 B．2.4m2 C．9.6m2【答案】B解：4.8÷2=2.4（平方米）答：与它等底等高的三角形面积是2.4平方米；故选：B．【解析】因为三角形的面积等于与其等底等高的平行四边形面积的一半，据此即可求解．等底等高的三角形和平行四边形。三角形的面积是平行四边形的一半例2.一个三角形和一个平行四边形的高相等，面积也相等，平行四边形的底是10厘米，三角形的底是（）A．10厘米 B．5厘米 C．20厘米 D．15厘米【答案】C解：10×2=20（厘米）答：三角形的底是20厘米．【解析】根据平行四边形的面积=底×高，三角形的面积=底×高÷2，再根据“一个三角形和一个平行四边形的高相等，面积也相等”知道三角形的底是平行四边形的底的2倍，由此即可求出三角形的底．练习1.一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等．如果三角形的高是20厘米，则平行四边形的高是（）A．10厘米 B．20厘米 C．40厘米【答案】A【解析】解：三角形的面积是：S=ah1÷2，平行四边形的面积是：S=ah2，由面积相等得：ah1÷2=ah2，h1÷2=h2，因为三角形的高h1=20厘米，所以平行四边形的高是：20÷2=10（厘米），答：平行四边形的高是10厘米．故选：A．练习2.一个三角形和一个平行四边形面积相等，底也相等．如果平行四边形的高是12厘米，三角形的高就是（）厘米．A．6 B．12 C．24 D．无法确定【答案】C【解析】解：平行四边形的面积是：S=ah1，三角形的面积是：S=ah2÷2，所以ah1=ah2÷2h2=h1×2，三角形的高是：12×2=24（厘米）；答：三角形的高就是24厘米．故选：C．如果三角形和平行四边形等底等面积，那么三角形的高是平行四边形的2倍三角形的面积公式三角形的面积=底×高÷2用字母表示：s=ah÷2变形式：三角形的底=面积×2÷高（a=2s÷h)三角形的高=面积×2÷底（h=2s÷a)要点提示：①等底等高的三角形的面积相等。②等底等高的平行四边形和三角形，三角形的面积是平行四边形面积的一半。例1.一个三角形的底是21分米，高是10分米，这个三角形的面积是（）平方分米．A．210 B．105 C．21 D．10.5【答案】B．【解析】根据三角形的面积=底×高÷2代数计算即可．解：21×10÷2，=210÷2，=105（平方分米）．答：这个三角形的面积是105平方分米．练习1.一个三角形底是5cm，该底对应的高是4cm，它的面积是（）cm2．A．40 B．20 C．10【答案】C．【解析】据三角形的面积公式S=ah÷2，代入数值5×4÷2=10练习2.一个三角形比与它等底等高的平行四边形的面积少30平方厘米，则这个三角形的面积是（）平方厘米．A．30 B．15 C．60【答案】A【解析】根据等底等高的平行四边形的面积是三角形的面积的2倍，把三角形的面积看作1份，平行四边形的面积是2份，则平行四边形与三角形的面积相差（2﹣1）份，由此即可求出一份是多少．解：30÷（2﹣1）=30÷1=30（平方厘米）答：这个三角形面积是30平方厘米．三角形的面积=底×高÷2用字母表示：s=ah÷2例2.计算（如图）三角形面积的正确算式是（）A．6×5÷2 B．8×5÷2 C．7×5÷2【答案】C．【解析】由图可知，底是7cm，底边上的高是5cm，所以面积是：7×5÷2=35÷2=17.5（平方厘米）．答：它的面积是17.5平方厘米．练习1.求下面三角形的面积．（1）（2）（3）【答案】解：（1）25×30=375（平方厘米）答：这个三角形的面积是375平方厘米．（2）3.5×2=3.5（平方分米）答：这个三角形的面积是3.5平方分米．（3）16×4=32（平方米）答：这个三角形的面积是32平方米．【解析】依据三角形的面积公式S=ah，代入数据即可求解练习2.填表．三角形底/cm23高/cm2.45面积/cm24.27.5【答案】三角形底/cm233高/cm2.42.85面积/cm22.44.27.5【解析】（1）根据三角形的面积公式S=ah÷2，代入数据解答即可；（2）根据三角形的面积公式S=ah÷2，得出h=2S÷a，代入数据解答；（3）根据三角形的面积公式S=ah÷2，得出a=2S÷h，代入数据解答．根据三角形面积推导：三角形的底=面积×2÷高（a=2s÷h)三角形的高=面积×2÷底（h=2s÷a)探索梯形的面积旋转两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底相当于梯形的上、下底之和；平行四边形的高相当于梯形的高；平行四边形的面积等于梯形面积的2倍，因为平行四边形面积=底×高，所以梯形面积=（上底+下底）×高÷2例1.求图中梯形的面积，正确的算式是（）A．（5+7）×6÷2 B．（5+7）×5.2 C．（5+7）×5.2÷2【答案】根据梯形的面积公式可得：（5+7）×5.2÷2，=12×5.2÷2，=31.2，故选：C．【解析】梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，据此代入数据即可解答．练习1.求一个梯形的面积时，一般需要测量出这个梯形的、和的长度，梯形面积的计算公式可用字母表示为．【答案】求一个梯形的面积时，一般需要测量出这个梯形的上底、下底和高的长度，梯形的面积计算公式用字母表示为S=（a+b）×h÷2答案为：上底、下底、高，S=（a+b）×h÷2．【解析】根据梯形的面积公式=（上底+下底）×高÷2可知，一般需要测量出这个梯形的上底、下底、高的长度，梯形的面积公式用字母可表示为S=（a+b）×h÷2．练习2.两个的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是梯形的，高就是梯形的，所以，拼成的平行四边形的面积是梯形的倍．因此，梯形的面积公式为．如果用S表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，那么梯形面积的计算公式是，当a=1.2m，b=1.8m，h=1.5m时，S=．【解析】用两个完全相同的梯形可以拼成一个平行四边形，这样有利于推导梯形的面积；通过观察拼成的平行四边形可以看出：平行四边形的底等于梯形的上下底之和，它们的高相等．进而可以推导出梯形的面积，据此即可解答问题．【答案】完全一样；上下底之和；高；2；（上底+下底）×高÷2；S=（a+b）h；2.25平方米．两个完全一样的梯形可以拼成平行四边形，梯形的面积是平行四边形面积的一半例2.．一个梯形的上底与下底的平均长度是40厘米，高是12厘米，这个梯形的面积是（）平方厘米．A．960平方厘米 B．360平方厘米 C．480平方厘米 D．240平方厘米【答案】解：40×12=480（平方厘米）答：这个梯形的面积是480平方厘米．故选：C．【解析】梯形的面积计算公式是“S=（a+b）h÷2”，其中“（a+b）÷2”表示上、下底的平均长度，由此可以得出“梯形的面积=上下底的平均长度×高”．此题梯形的上底与下底的平均长度、高已知，据此即可求出这个梯形的面积．练习1.求下面梯形的面积，列式正确的是（）A．（4+5）×8÷2 B．（8+11）×5﹣2 C．（8+11）×4÷2【答案】解：（8+11）×4÷2，=19×4÷2，=38；故选：C．【解析】根据梯形的面积公式S=（a+b）h÷2，把梯形的上底8，下底11，高4代入公式，解答即可．练习2.计算图形的面积．（单位：CM）【答案】解：（10+15）×10÷2，=25×10÷2，=125（平方厘米），答：梯形的面积是125平方厘米．【解析】根据梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2，把数据代入公式解答．梯形面积公式：（上底+下底）×高÷2梯形的面积公式梯形的面积=（上底+下底）×高÷2用字母表示：s=（a+b）h÷2变形式：梯形的高=面积×2÷（上底+下底)字母表示为：h=2s÷(a+b)梯形的上底=面积×2÷高下底字母表示为：a=2s÷hb梯形的下底=面积×2÷高上底字母表示为：b=2s÷ha要点提示：已知梯形的面积，求梯形的高或其中一个底，也可以用方程法解决。例1.一堆木料，最下层有8根，最上层有1根，每相邻两层都相差一根，这堆木料的总根数是（）A．56 B．24 C．36 D．40【答案】Ｃ【解析】由题意可知：这堆木料堆成的是梯形形状，且这堆木料共有8层，于是利用梯形面积公式即可求解．（1+8）×8÷2，=9×8÷2，=72÷2，=36（根）；答：这堆木料的总根数是36根．故选：C．练习1.一堆钢管，最下层有8根，最上层有2根，每相邻两层都相差1根，这堆钢管共有（）根．A．35 B．70 C．30【答案】解：（2+8）×（8﹣2+1）÷2=10×7÷2=35（根）；答：这堆钢管一共有35根．故选：A．【解析】根据题意，最上层有2根，最下层有8根，相邻两层相差1根，这堆钢管的层数是（8﹣2+1）层，根据梯形的面积计算方法进行解答．练习2.小明的爸爸在一家建筑公司的仓库里工作．有一天，小明到仓库里找爸爸，发现放着一大堆钢管（如图），你能帮小明算出一共有多少根吗？【答案】解：即钢管总数=（上层根数+底层根数）×层数÷2，=（14+23）×10÷2，=37×10÷2，=185（根）．答：一共有185根．【解析】观察图形，只要数出最上层和最底层一共有多少根钢管，再数出一共有几层，利用梯形的面积公式即可解答．利用题型面积公式要先确定上底下底还有高，然后把数字带入公式中即可例2.一个梯形的面积是16平方米，上底是30分米，下底是50分米，高是分米．【答案】解：16平方米=1600平方分米1600×2÷（30+50）=3200÷80=40（分米）答：高是40分米．故答案为：40．【解析】16平方米=1600平方分米，根据梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，可知，梯形的高=面积×2÷（上底+下底），将数据代入公式即可求解．练习1.一个梯形试验田，上底是12m，高9m，面积135平方米．下底是．【答案】18，135，108．【解析】解：下底：135×2÷9﹣12=270÷9﹣12=30﹣12=18（米）如果把它变成一个平行四边形，那么平行四边形的面积最大是与梯形的面积相等，是135平方米；最小是：12×9=108（平方米）．答：梯形的下底是18米；如果把它变成一个平行四边形，那么平行四边形的面积最大是135平方米，最小是108平方米．练习2.小明用三张完全相同的三角形纸片拼成一个梯形（如图），梯形的面积是多少平方厘米？【答案】解：6×4.5÷2×3，=13.5×3，=40.5（平方厘米），（6+6+6）×4.5÷2，=18×4.5÷2，=40.5（平方厘米），答：这个图形的面积是40.5平方厘米．【解析】观察图形可知，梯形的面积等于这三个三角形的面积之和，也可以利用梯形的面积=（上底+下底）×高÷2计