确定圆的条件（七大题型）（原卷版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形圆》2.3确定圆的条件知识点一知识点一确定圆的条件◆1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定；◆2、过已知点作圆的个数：（1）过一点可以作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；（3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆.◆3、不在同一条直线上的三点确定一个圆.知识点二知识点二三角形的外接圆◆1、三角形的外接圆与外心（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.（2）叫做三角形的外心．（3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（4）三角形外心的位置：锐角三角形：外心在三角形的内部；直角三角形：外心在三角形的外部;钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点.◆5、外接圆的作法：分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆.题型一确定圆的条件题型一确定圆的条件【例题1】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（）A．已知圆心 B．已知半径 C．已知三个点 D．过一个三角形的三个顶点解题技巧提炼确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，过不在同一条直线的三个点可以作一个圆.【变式11】下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心 B．以10cm长为半径 C．以点A为圆心，4cm长为半径 D．经过已知点M【变式12】（2022秋•裕华区校级期末）下列条件中，不能确定一个圆的是（）A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点【变式13】下列说法错误的是（）A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能作无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能作两个 D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆【变式14】（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【变式15】过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③题型二根据点判断圆的个数题型二根据点判断圆的个数【例题2】（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个解题技巧提炼（1）过一点可以作无数个圆；线上；（3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆.【变式21】已知点A，B间的距离为2cm，则经过A，B两点，半径为2cm的圆能作（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式22】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作个．【变式23】如图，点ABC在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式24】平面上有4个点，它们不在一条直线上，但有3个点在同一条直线上．过其中3个点作圆，可以作的圆的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式25】平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可能为（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式26】平面内有A，B，C，D四个点，试探索：（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作个圆；（2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作圆；（3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作个圆；（4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？题型三确定圆心的位置题型三确定圆心的位置【例题3】（2023•兴庆区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．解题技巧提炼找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．【变式31】（2023•泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是．【变式32】在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．【变式33】（2022秋•历下区期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．（1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为．（2）求⊙M的面积（结果保留π）．【变式34】将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．题型四确定三角形外心的位置题型四确定三角形外心的位置【例题4】（2023春•仪征市期末）点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（）A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高的交点解题技巧提炼锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．【变式41】若一个三角形的外心在这个三角形的边上，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【变式42】（2022秋•桐庐县期中）△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【变式43】（2023•任丘市模拟）如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（）A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点【变式44】（2023•邢台一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（）A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF【变式45】（2022秋•承德县期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（）A．点D B．点E C．点F D．点G【变式46】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．题型五利用三角形外心的性质求角度题型五利用三角形外心的性质求角度【例题5】（2023春•横山区校级期中）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，连接OD、BD，且BD＝BC，若∠BOD＝50°，则∠ABC的度数为（）A．65° B．50° C．30° D．25°解题技巧提炼主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，有时要利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式51】如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，AB＝AC，O为△ABC的外心，△OCP为等边三角形，OP与AC相交于D点，连接OA．（1）求∠OAC的度数；（2）求∠AOP的度数．【变式52】（2022秋•锡山区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．题型六利用三角形外心的性质求线段长题型六利用三角形外心的性质求线段长【例题6】（2023•巧家县二模）如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点O为△ABC的外心，连接OA交BC于点M．若OA＝AC＝1，则BC的长为（）​A．3 B．23 C．3 解题技巧提炼本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握垂径定理，以及三角形的中位线定理是解题的关键．【变式61】（2022•崇明区二模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．如果OD＝3，AB＝8，那么FC的长是．【变式62】如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若BC＝6，则MN＝．【变式63】（2022秋•江阴市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．题型七三角形的外接圆的综合题题型七三角形的外接圆的综合题【例题7】（2023•湖北模拟）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．解题技巧提炼本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键，同时还利用全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．【变式71】（2022秋•东莞市期末）如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M．（1）求证：AM⊥BC；（2）若BC＝6，AB=310，求⊙O【变式72】如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF．（1）证明：AB＝AC；（2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心．【变式73】（2022秋•涟水县校级月考）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30°（2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．【变式74】如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB＝90°．（1）求证：AB（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．【变式75】如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以