2024-2025学年广州市外国语学校九年级（上）期中数学试题含答案

试题试题2024-2025学年广东省广州外国语学校九年级（上）期中数学试卷一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝4 C．其最小值为2 D．当x＞4时，y随x的增大而减小3．（3分）某地区2008年投入教育经费2500万元，预计2010年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则可以列方程（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x%）2＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝36004．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝（）A．24° B．28° C．31° D．32°5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°6．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则ba的值是（）A． B．﹣ C．4 D．﹣17．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（）A．50° B．55° C．60° D．65°8．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定9．（3分）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB＝8cm，OC＝6cm，则⊙O的半径等于（）A．3cm B．4cm C． D．5cm10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，顶点为（1，3）对于下列结论：①2a+b＝0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＞8；④当﹣1＜x＜3时：y＞0；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的是（）A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为．13．（3分）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是．14．（3分）如图，正六边形螺帽的边长为2cm，则这个螺帽的面积是cm2．15．（3分）如图，有一块半径为4dm，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为dm．16．（3分）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．现将△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D．则A′D的长度为．三、解答题（共9小题，满分72分）17．（4分）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．18．（6分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．19．（6分）如图，在△ABC中，BC＝12cm，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）作△ABC的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）；（2）求它的外接圆直径．20．（6分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．21．（8分）在一个不透明的布袋中，有红，白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球1个，现从中任意摸出一个红球的概率为．（1）求袋中红球的个数为；（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．请用树状图或表格求两次都摸到红球的概率．22．（8分）某商品现在的售价为每件50元，每周可卖出400件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件．已知该商品的进价为每件30元，设每件涨价x元．（1）为尽可能让利于顾客并使每周利润为8750元，求x；（2）当售价定为多少元时，会获得每周销售最大利润？并求出每周最大销售利润．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．24．（12分）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，连接BE，DG相交于点H．（1）如图1，在旋转过程中，线段BE和DG有何数量关系？请说明理由；（2）如图2，连接BG、DE，取线段BG中点为点M，线段DE中点为点N，连接MN交BE于P，交GD于点Q，证明：HP＝HQ；（3）如图3，在正方形AEFG旋转的过程中，连接BD，若点I是△HBD的内心，求点I到BD的最大距离．25．（12分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于不重合的两点A（x1，0），B（x2，0），设此抛物线顶点为P，（1）若x1＝2，当c+b＝1时，求抛物线解析式；（2）若△ABP是等边三角形，求b2﹣4c的值；（3）若AB的中点坐标为，且，抛物线交y轴于点D，延长PD交x轴于点E，点O为坐标原点，令△DEO面积为S，求S的取值范围．

2024-2025学年广东省广州外国语学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案ABCBCACACA一、单选题（共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，据此逐一判断选项即可．【解答】解：A是中心对称图形，则A符合题意；B不是中心对称图形，则B不符合题意；C不是中心对称图形，则C不符合题意；D不是中心对称图形，则D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．2．（3分）由二次函数y＝3（x﹣4）2﹣2可知（）A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x＝4 C．其最小值为2 D．当x＞4时，y随x的增大而减小【分析】根据a＝3＞0判断开口，根据解析式得出顶点坐标，进而得出对称轴为直线x＝4，最小值为﹣2，根据开口方向和对称轴判断D选项，即可求解．【解答】解：由抛物线解析式可知a＝3＞0，顶点坐标为（4，﹣2），对称轴为直线x＝4，A．其图象的开口向上，故该选项不正确，不符合题意；B．其图象的对称轴为直线x＝4，故该选项正确，符合题意；C．其最小值为﹣2，故该选项不正确，不符合题意；D．当x＞4时，y随x的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握性质是关键．3．（3分）某地区2008年投入教育经费2500万元，预计2010年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则可以列方程（）A．2500x2＝3600 B．2500（1+x%）2＝3600 C．2500（1+x）2＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600【分析】根据2008年教育经费额×（1+平均年增长率）2＝2010年教育经费支出额，列出方程即可．【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500（1+x）2＝3600，故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝（）A．24° B．28° C．31° D．32°【分析】根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再根据直角三角形的两锐角互余求解即可．【解答】解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵∠B＝∠D＝62°，∴∠BAC＝28°，故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C，再根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝115°，∴∠C＝180°﹣115°＝65°，由圆周角定理得：∠BOD＝2∠C＝2×65°＝130°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1•x2＝1，则ba的值是（）A． B．﹣ C．4 D．﹣1【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1•x2＝﹣2b＝1，解得a＝2，b＝﹣，∴ba＝（﹣）2＝．故选：A．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝120°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣45°﹣15°＝120°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝120°，∵DE∥AB，∴∠ADE+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝60°∴旋转角α的度数是60°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识点，能根据旋转得出∠ADE＝∠ABC＝120°是解此题的关键．8．（3分）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【分析】先计算根的判别式得到Δ＝b2﹣12（b﹣5）＝（b﹣6）2+24，则可得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵b+c＝5，∴c＝5﹣b，∴Δ＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2﹣12（b﹣5）＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24，∵（b﹣6）2≥0，∴（b﹣6）2+24＞0，即Δ＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．9．（3分）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G且AB∥CD，若OB＝8cm，OC＝6cm，则⊙O的半径等于（）A．3cm B．4cm C． D．5cm【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，进而根据等面积法，即可求解．【解答】解：连接OF，根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBF+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝8cm，OC＝6cm，∴BC＝＝＝10（cm），∵OF⊥BC，∴S△BOC＝OB•OC＝OF•BC，∴OF＝＝＝（cm）．故选：C．【点评】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，顶点为（1，3）对于下列结论：①2a+b＝0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＞8；④当﹣1＜x＜3时：y＞0；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的是（）A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：∵﹣＝1，∴2a+b＝0，故①正确；∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴为直线x＝1，∴与x轴的另一个交点B在点（﹣1，0）和（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故②正确；∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，故③错误；函数图象与x轴的交点没有具体说明交点的坐标，∴当﹣1＜x＜3时，y＞0不一定成立，故④错误；方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标之和为2，抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标之和为2，∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，故⑤正确．正确的是①②⑤，故选：A．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5）．【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．12．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为2025．【分析】把x＝1代入一元二次方程得到a+b＝﹣1，再把2024﹣a﹣b变形为2024﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣（﹣1）＝2025．故答案为：2025．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13．（3分）不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别．每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是2个．【分析】用球的总个数乘以摸到白球的频率稳定值即可．【解答】解：根据题意，袋子中白球的个数约是8×0.25＝2（个），故答案为：2个．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．14．（3分）如图，正六边形螺帽的边长为2cm，则这个螺帽的面积是cm2．【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OG的长，再由△OAB的面积即可求解．【解答】解：如图所示，设O为正六边形的中心，OG⊥AB于点G，由题意可得：∠AOB＝＝60°；∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∠AOG＝30°，∴OA＝AB＝2cm，∴OG＝OA•cos30°＝2×＝，∴S△OAB＝×AB×OG＝×，∴．故答案为：．【点评】本题考查了正多边形的计算问题，解直角三角形，正确进行计算是解题关键．15．（3分）如图，有一块半径为4dm，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为dm．【分析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．【解答】解：设底面半径为rdm，则2πr＝，解得：r＝1，所以其高为：＝（dm），故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是首先求得圆锥的底面的半径，难度不大．16．（3分）已知等腰△ABC，∠A＝120°，AB＝2．现将△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，得到△A′BC′，延长C′A′交直线BC于点D．则A′D的长度为．【分析】根据题意，先求得，当△ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45°，过点B作BE⊥A′B交A′D于点E，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解．【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，∵等腰△ABC，∠BAC＝120°，AB＝2．∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴，，∴，当逆时针旋转45°，过点B作BE⊥A′B交A′D于点E，由旋转可知∠BAC＝∠BA′C′＝120°，∴∠DA′B＝60°，∠A′EB＝30°，在Rt△A′BE中，A′E＝2A′B＝4，，∵等腰△ABC，∠BAC＝120°，AB＝2．∴∠ABC＝∠ACB＝30°，由题意可得：∠ABA′＝45°，∴∠DBE＝180°﹣90°﹣45°﹣30°＝15°，∠A′BD＝180°﹣45°﹣30°＝105°在△A′BD中，∠D＝180°﹣∠DA′B﹣∠A′BD＝180°﹣60°﹣105°＝15°，∴∠D＝∠EBD，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确进行计算是解题关键．三、解答题（共9小题，满分72分）17．（4分）解方程：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．【分析】原方程的左边含有公因式（x﹣3），可先提取公因式，然后再分解因式求解．【解答】解：（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0（x﹣3）（3x﹣3）＝0解得：x1＝3，x2＝1．【点评】只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．18．（6分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图中画出将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的△A1B1C1；（2）在（1）所画的图中，计算线段AC在旋转过程中扫过的图形面积（结果保留π）．【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵AC＝＝，∴线段AC在旋转过程中扫过的图形面积＝＝．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，扇形的面积的计算等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住扇形的面积＝．19．（6分）如图，在△ABC中，BC＝12cm，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）作△ABC的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹）；（2）求它的外接圆直径．【分析】根据三角形外接圆的作法，作出任意两边垂直平分线，再利用等腰三角形的判定方法即可求出外接圆直径．【解答】解：（1）分别作出AB，BC的垂直平分线，两线交点为P，根据垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等，可得：PA＝PB＝PC，∴交点即是圆心；（2）由题意得：∵BC＝12cm，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠CAP＝60°，PC＝PA，BM＝MC＝6cm，∴△APC是等边三角形，∴PA＝PC＝AC，∴∠MPC＝60°，cos30°＝，PC＝＝4．∴外接圆直径是8cm．【点评】此题主要考查了三角形外接圆的作法，以及等边三角形的判定方法，题目难度不大，比较典型．20．（6分）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标．【分析】（1）先设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组，解即可求a、b、c，进而可得函数解析式．（2）连接BC，交对称轴于P，P即为使PA+PC的值最小，设直线BC的解析式，把B、C的坐标代入即可求得系数，进而求得解析式，令x＝2时，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）设所求二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），代入A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点，得，解得，所以这个二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣．（2）∵y＝x2﹣2x﹣＝（x﹣2）2﹣．∴抛物线的对称轴为x＝2，设直线BC的解析式为y＝kx+m，∴解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣，当x＝2时，y＝﹣，∴P点的坐标为（2，﹣），【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．轴对称的性质等，解题的关键是把已知点的坐标代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元一次方程组．21．（8分）在一个不透明的布袋中，有红，白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球1个，现从中任意摸出一个红球的概率为．（1）求袋中红球的个数为2；（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．请用树状图或表格求两次都摸到红球的概率．【分析】（1）设袋中红球的个数有x个，根据概率公式列出算式，再求解即可；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和两次都摸到红球的情况数，然后根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）设袋中红球的个数有x个，根据题意得：＝，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，故答案为：2；（2）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中两次都摸到红球有2种，∴两次都摸到红球的概率是＝．【点评】本题考查了利用列表与树状图求概率的方法：先通过列表或树状图展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率的概念求出这个事件的概率P＝．22．（8分）某商品现在的售价为每件50元，每周可卖出400件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件．已知该商品的进价为每件30元，设每件涨价x元．（1）为尽可能让利于顾客并使每周利润为8750元，求x；（2）当售价定为多少元时，会获得每周销售最大利润？并求出每周最大销售利润．【分析】（1）设该商品售价上涨x元，则销量为（400﹣10x）件，每件利润为（50+x﹣30）元，利用利用＝每件利润×销量列式解答即可；（2）设该商品获得的利润为y元，由（1）得出y与x的函数解析式，根据二次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设该商品售价上涨x元，则销量为（400﹣10x）件，每件利润为（50+x﹣30）元，依题意得：（50+x﹣30）（400﹣10x）＝8750，整理得：x2﹣20x+75＝0，解得：x1＝15，x2＝5，∵为尽可能让利于顾客并使每周利润为8750元，∴x＝5；（2）设该商品获得的利润为y元，依题意得：y＝（50+x﹣30）（400﹣10x）＝﹣10x2+200x+8000＝﹣10（x﹣10）2+9000，∵﹣10＜0，∴当x＝10时，y有最大值，最大值为9000，即当售价为60元时，会获得每周销售最大利润，每周最大销售利润为9000元．【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系，列出一元二次方程和函数解析式并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，添加辅助线是解题的关键．24．（12分）正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为6和2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，连接BE，DG相交于点H．（1）如图1，在旋转过程中，线段BE和DG有何数量关系？请说明理由；（2）如图2，连接BG、DE，取线段BG中点为点M，线段DE中点为点N，连接MN交BE于P，交GD于点Q，证明：HP＝HQ；（3）如图3，在正方形AEFG旋转的过程中，连接BD，若点I是△HBD的内心，求点I到BD的最大距离．【分析】（1）如图1中，证明△BAE≌△DAG（SAS），可得结论；（2）根据△BAE≌△DAG（SAS）以及三角形内角和定理得出BE⊥DG，根据中位线的性质得出OM∥GD，ON∥BE，进而证明△OMN是等腰直角三角形，即可得出△HPQ是等腰直角三角形，即可得证；（3）根据BE⊥DG得出H在以BD为直径的半圆上运动，根据内心的性质得出四边形HZIY是正方形，则＝，设IX＝a，则，结合图形可得IX≤HX﹣IH，即当HX取得最大值，当H，I，Z三点共线时取得等于号，IX取得最大值，此时，解方程，即可求解．【解答】（1）解：结论：BE＝DG，理由如下：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AG＝AE，∴∠BAE＝∠DAG＝90°+∠DAE，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG；（2）解：如图2所示，连接AC交BD于点O，连接OM，ON，设AD，BE交于点T，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAT＝90°，∵△BAE≌△DAG，∴∠ABE＝∠ADG，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠BAT＝∠DHT＝90°，∴BE⊥DG；∵四边形ABCD为正方形，∴O是BD的中点；∵线段BG中点为点M，线段DE中点为点N，O是BD的中点，∴OM∥GD，ON∥BE，O