高中二年级数学 《函数的单调性》

函数的单调性（2）年级：高二学科：数学（人教A版）主讲人：

学校：主讲人：傅靖

学校：北京市第二中学函数的单调性（2）年级：高二学科：数学（人教A版）主讲人：傅靖学校：北京市第二中学汇报人：WPS复习回顾在某个区间

内，如果

，那么函数y=f(x)在区间

内单调递减；在某个区间

内，如果

，那么函数y=f(x)在区间

内单调递增；一般地，函数f(x)的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：探究新知问题1如何探究函数的单调性?观察函数的图象判断函数的单调性探究新知问题1如何探究函数的单调性?观察函数的图象判断函数的单调性函数单调性的定义探究新知问题1如何探究函数的单调性?观察函数的图象判断函数的单调性函数单调性的定义利用导数的正负

且，则探究新知问题2如何利用导数研究形如的函数的单调性?原函数导函数求导运算解不等式导函数的正负原函数单调性函数单调性与导数的关系定义域例题解析例1求函数的单调区间.解：函数的定义域为R.令，解得，或.

和把函数定义域划分成三个区间，在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如表所示对f(x)求导数，得例题解析所以，f(x)在和上单调递增，在上单调递减，如图所示.单调递增单调递减单调递增探究新知小结：一般情况下，判断函数y=f(x)单调性的步骤：

步骤过程x区间区间区间00f(x)单调性单调性单调性1.求函数的定义域求导，令，解得函数f(x)定义域为2.求导数的零点3.用的零点将f(x)定义域划分为若干区间，列表给出在各区间上的正负，得函数f(x)在定义域内的单调性答题.探究新知函数的定义域为R.追问1：你能体会相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究函数单调性的特点与优势吗？利用函数单调性定义：且

则探究新知追问1：你能体会相较于利用函数单调性定义的方法，利用导数研究函数单调性的特点与优势吗？利用导数研究函数单调性：不熟悉的、复杂的函数熟悉的、简单的函数探究新知问题3能否探究函数增减的快慢与导数有什么关系？推理证明观察猜想特例验证解释说明得到结论探究新知追问1：观察对数函数在区间上图象，导函数的变化与原函数的变化有什么关系？对数函数的导数为

，当x越来越大时，越来越小，观察猜想所以在上单调递增.函数

递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”.探究新知追问1：观察对数函数在区间上图象，导函数的变化与原函数的变化有什么关系？猜想：若函数在某一范围内导数绝对值较小，则函数在此范围内变化得较慢，这时函数的图象就比较“平缓”；反之，若函数在某一范围内导数绝对值较大，则函数在此范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”．探究新知所以在区间上单调递增．函数

递增得越来越快，追问2：观察幂函数在区间上的图象，能否验证这一结论？幂函数的导数为，

特例验证当x越来越大时，

越来越大，图象上升得越来越“陡峭”.探究新知追问3如何说明导数与函数增减的快慢之间的关系？函数y=f(x)的图象在点处切线的斜率导数推理证明导数在某一范围内绝对值较大函数图象在这一范围内各点处切线的斜率较大在各点附近，曲线可由切线近似代替函数图象较“陡峭”探究新知一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．得到结论例题解析当时，所以例2设，两个函数的图象如图所示．判断的图象与之间的对应关系.解：因为当时，当时，例题解析例2设，两个函数的图象如图所示．判断的图象与之间的对应关系.所以，，的图象依次是.在区间上，的图象比的图象要“陡峭”；在区间上，图象比

图象要“平缓”；所以，在上都是增函数.课堂总结核心知识：利用导数判断函数的单调性：求导