（人教A版）必修一高一数学上册同步考点通关练习19 三角函数的定义域、值域（解析版）

第页考点19三角函数的定义域、值域1、三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．（1）分式：分母不能为零；（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）（3）零次幂：中底数；（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为若，则2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域(2)形如y＝asinωx＋bcosωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式;②即逆用倍角公式化为y＝asinωx＋bcosωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。=(4)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。(5)形如分式型：等三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。①基本类型一:、型

方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．

②基本类型二：型．转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；考点一三角函数的定义域1．函数的定义域为_____________________．【答案】【分析】由，可得，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域．【详解】解：依题意可得，可得，解得，，所以函数的定义域为.故答案为：．2．函数的定义域为___________.【答案】，【分析】由根式的性质可得，再根据余弦函数的性质求的范围，即可知函数的定义域.【详解】由题设，，即.∴，.∴函数的定义域为且.故答案为：，.3．函数的定义域为______【答案】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数，有，结合的图像可得时，的范围，由此求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0．利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为．4．在区间[0，2π]上，函数的定义域为___．【答案】【分析】由题意可得，再结合可求得答案【详解】由题意得，且，即且，所以，得，所以函数的定义域为，故答案为：5．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由且可求出函数的定义域【详解】由题意得且，由，得，由，得，所以或，所以函数的定义域为，故选：D6．函数的定义域为______．【答案】【分析】由题意可得，解得，分别令k=-1、0、1，综合即可得答案.【详解】由题意得，解得，令k=-1，解得，令k=0，解得，令k=1，解得，综上，定义域为.故答案为：7．函数定义域为____.【答案】∪【分析】根据题意列出满足的条件，解不等式组【详解】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.故答案为：∪.8．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式可得出函数的定义域.【详解】由，可得.解得.故的定义域为.故选：C.9．函数的定义域是___________.【答案】【分析】根据正切函数的定义域求解即可得出答案.【详解】函数的定义域为：即：函数的定义域为：故答案为：10．函数的定义域为___________.【答案】【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可.【详解】若使函数有意义，需满足：，解得；故答案为：11．函数的定义域是______．【答案】【分析】解方程即可求解.【详解】由题意知：，即，可得，所以函数的定义域为，故答案为：考点二三角函数的值域（最值）y＝Asin(ωx＋φ)型函数值域12．函数，的最大值和最小值分别为（

）A．1，-1 B．， C．1， D．1，【答案】D【分析】利用正弦型函数的性质求区间最值即可.【详解】由题设，，故，所以最大值和最小值分别为1，.故选：D13．函数在上的最大值与最小值之和是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用的范围求得函数的最值，即可求解.【详解】∵,∴,∴,∴最大值与最小值之和为，故选：.14．函数的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】利用正余弦的差角公式展开化简即可求最值.【详解】，∵，∴函数的最大值是.故选：C.15．函数在区间上的最小值为（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【分析】化简可得，再结合正弦函数的图象分析求解即可【详解】，故当时，，故当时，取最小值故选：D16．已知函数，，则的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合和正弦函数的单调性即可求出函数的最大值和最小值.【详解】由题意知，，由，得，又函数在上单调递增，在上单调递减，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，有，所以，故的值域为.故选：A17．已知函数.(1)求其最小正周期；(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)最小正周期为(2)【分析】（1）先用三角恒等变换化简得到，利用求出最小正周期；（2）在第一问的基础上，使用整体法求解三角函数的值域.（1）依题意，，则所以，函数的最小正周期为.（2）由（1）知，因，则，，，所以函数的值域为.18．已知函数.(1)求函数的单调增区间；(2)求函数在区间上的最大值与最小值，以及此时的取值.【答案】(1)(2)当，最大值为；当，最小值为.【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由，得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.（1）解：由函数，令，解得，所以函数的单调增区间为.（2）解：由（1）知因为，可得，当时，即，函数取得最大值，最大值为；当时，即，函数取得最小值，最小值为.19．已知函数．(1)若存在，，使得成立，则求的取值范围；(2)将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，求函数在区间，内的所有零点之和．【答案】(1)(2)【分析】（1）函数式化简，问题转化为求在上的最大值即可得；（2）由图象平移写出平移后解析式，由的对称性得结论．【详解】（1），若存在，使得成立，则只需即可，，，当，即时，有最大值1，，（2）∵将函数的图象上每个点纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，，，，在上有4个零点，，根据对称性有，，20．已知函数.若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对函数化简变形，然后由在上有解，可知，所以只要求出在上即可【详解】，由，得，所以，所以，即，由在上有解，可知，所以，得，氢实数m的取值范围是，故选：C21．若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由三角恒等变换将题设转化为在上恒成立，再由正弦函数的性质求出，即可求解.【详解】不等式可转化为，即在上恒成立，当时，，则，则.故选：D.22．已知函数，．给出下列三个结论：①是偶函数；②的值域是；③在区间上是减函数．其中，所有正确结论的序号是_______．【答案】①③【分析】计算出可判断①，分、两种情况求出的范围，然后结合其周期性可得其值域，即可判断②，当时，，然后可判断③.【详解】因为，所以是偶函数，故①正确，当时，，当时，又因为，所以的值域是，故②错误；当时，，此时，所以在区间上是减函数，故③正确，故答案为：①③二次函数模型23．已知函数，当________时，取得最大值．【答案】【分析】令，则（），然后由二次函数的性质可求得其最大值【详解】令，则（），对称轴为，所以当时，函数取得最大值，即，得，故答案为：24．函数y＝cos2x－sinx的值域是__________________【答案】【分析】将原函数转换成同名三角函数即可.【详解】，，当时取最大值，当时，取最小值；故答案为：.25．已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】可得在内有解，令，利用二次函数的性质即可求出.【详解】方程在内有解，即在内有解，令，，则，所以，解得.故选：C.26．函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】，.故选：C.27．函数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二倍角公式化简，转化成一个二次型的函数，利用二次函数的性质即可求解.【详解】，令，则．因为在上单增，所以当时，．故选：C．28．已知函数，．(1)求的最小值；(2)若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．【答案】(1)（a）(2)，所有零点之和为【分析】（1）由函数，根据，，得到，，分，，，讨论求解；由，根据，得到，令，，得到，利用勾函数的性质求解.（1）解：函数，，，，，当时，即时，则时，取得最小值（a）；当时，即时，则时，取得最小值（a）；当时，即时，则时，取得最小值（a）．综上可得，（a）．（2），，，，由，可得，当时，此等式不成立．故有，，令，，则，令，则，由对勾函数的性质得：函数在上单调递减，故当m=1，即时，；当m趋于0，即趋于1时，趋于正无穷大，所以，所有零点之和为．29．已知，则的最大值为_______．【答案】【分析】消元，转化为求二次函数在闭区间上的最值【详解】，，，时，取到最大值，故答案为：．30．已知，则的值域为____________．【答案】【分析】利用换元法求解，令，则原函数可化简变形为，，然后利用二次函数的性质求解即可【详解】令，则，所以，因为，，所以，，，因为，，所以函数在上单调递减，所以，，所以函数的值域为，故答案为：，31．函数的值域为_____________．【答案】【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.【详解】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．故答案为：.32．函数，的最小值是__．【答案】【分析】先利用换元法得到y的表达式，再利用基本不等式求得最值．【详解】令，则，，，当且仅当时等号成立，故答案为：.33．函数的值域是________.【答案】【解析】由分母不为零求出，再设，利用两角和的正弦公式化简，求出的范围，由平方关系表示出，代入解析式化简，再由的范围和一次函数的单调性，求出原函数的值域．【详解】函数，分母不能为零，即，设，，且．则，可得函数根据一次函数的单调性，可得函数的值域为.故答案为：分式型34．函数的值域为___________.【答案】【分析】先化简，再利用正弦函数的有界性结合不等式的性质推理得解.【详解】解：，因为，所以，所以，所以，所以的值域是.故答案为：35．函数的值域为______．【答案】【解析】将函数，变形为，再根据求解.【详解】因为函数，所以，因为，解得或.故答案为：36．求函数的值域；【答案】【分析】将函数式化简，利用正弦函数的有界性求出函数的值域；【详解】∵，∴，∴，∴，∴，其中．∴，∵，∴，∴，平方整理得，解得，∴函数的值域为．37．已知函数，则的最大值为______．【答案】1【分析】由三角函数的有界性得：设，则，由“对勾函数”的单调性得：，在为减函数，在为增函数，可得结果．【详解】解：设，则，则，则，由“对勾函数”的性质可得：在为减函数，在为增函数，又，，所以，故答案为138．已知函数，则函数（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最大值 D．没有最值【答案】B【分析】换元法后用基本不等式进行求解.【详解】令，则，因为，，故，当且仅当，即时等号成立，故函数有最大值，由对勾函数的性质可得函数，即有最小值.故选：B39．函数的值域是___________．【答案】【分析】分类讨论角x的象限即可求y的值域﹒【详解】当x是第一象限角时，sinx＞0，cosx＞0，∴y＝2；当x是第二象限角时，sinx＞0，cosx＜0，∴y＝0；当x是第三象限角时，sinx＜0，cosx＜0，∴y＝－2；当x是第四象限角时，sinx＜0，cosx＞0，∴y＝0；∴y的值域为{－2，0，2}．故答案为：{－2，0，2}﹒根据三角函数的值域（最值）求参数40．已知函数（）的最大值为3，最小值为1，则________，________.【答案】

1

2【分析】利用正弦函数的值域，结合不等式的性质求解作答.【详解】因，而，于是得，即，于是得，解得，所以.故答案为：1；241．已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分讨论，求出的范围，根据在范围内建立不等式求解即可.【详解】当时，，由题意知，，即，当时，，由题意知，，即，的取值范围是，故选：D42．已知的最大值是2，则在中的最大值是（

）A． B．3C． D．【答案】C【分析】由的最大值为2，利用辅助角公式可求的值，代入，并根据辅助角公式可得，根据正弦函数的图像与性质可得，根据两角和的正弦公式可求解.【详解】解：根据辅助角公式可得，其中.由的最大值为2可得,解得.∴.∵，∴.∴当，即时，取得最大值.故.故选:C.43．已知函数在区间上的最大值为.(1)求常数m的值；(2)求函数的单调递增区间及图象的对称中心.【答案】(1)(2)单调递增区间为（）；对称中心为（）【分析】（1）利用正弦二倍角公式和两角和的正弦展开式化简可得，再利用可得；（2）根据正弦函数的单调递增区间和对称中心可得答案.（1），由，则，可得，则，可得.（2）由（1）可得，由得（），∴的单调递增区间为（），令，得（），∴图象的对称中心为（）.44．若函数在区间内存在最小值，则的值可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据所给角的范围及正弦函数的性质可确定的范围即可得解.【详解】由，则若使在开区间上取得最小值则必须，解得，故选：B45．若函数在区间上没有最值，则的取值范围是______.【答案】【分析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由在区间上没有最值可知，进而可知或，解不等式并取的值，即可确定的取值范围.【详解】函数，由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足，解得，由题意可知，在区间上没有最值，则，，所以或，因为，解得或，当时，代入可得或，当时，代入可得或，当时