重难点解析云南省景洪市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专题训练试题（解析版）

云南省景洪市中考数学真题分类（勾股定理）汇编专题训练考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题14分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（）A． B．3 C．3 D．32、若a，b为直角三角形的两直角边，c为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是（

）A． B．C． D．3、如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A． B． C． D．4、在△ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（

）A．10 B．8 C．6或10 D．8或105、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（

）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和6、已知点是平分线上的一点，且，作于点，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．57、如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A．48 B．60C．76 D．80第Ⅱ卷（非选择题86分）二、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如图，已知，那么数轴上点所表示的数是________．2、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1丈（1丈=10尺），折断后顶端落在离竹子底端3尺处，问折断处离地面的高度为多少尺？如图，设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列出关于x方程为:__________.3、如图，在中，，分别以，，边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，阴影部分的面积为________．4、我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_______尺.

5、已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是_______．6、如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米．7、《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．8、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则____________．三、解答题（7小题，每小题10分，共计70分）1、如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8．(1)求证：；(2)求DF的长．2、阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”．通过观察常见勾股数“3，4，5”；“5，12，13”；“7，24，25”……猜想当一组勾股数中（），最小数为奇数时，另两个正整数和满足比且，解得，．任务：(1)请证明猜想成立，即证明，，构成勾股数．(2)若一组勾股数中，最小数为9，则另两个数分别是________和________．3、如图所示，在中，，，，为边上的中点.（1）求、的长度；（2）将折叠，使与重合，得折痕；求、的长度.4、如图，，两个工厂位于一段直线形河道的异侧，工厂至河道的距离为，工厂至河道的距离为，经测量河道上、两地间的距离为，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂．(1)设，请用的代数式表示的长______；（结果保留根号）(2)为了使，两厂到污水处理厂的排污管道之和最短，请在图中画出污水厂位置，并求出排污管道最短长度？(3)通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你求出的最小值为多少？5、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点在线段上，点在边两侧，试证明：．6、已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一组勾股数，求m的值．7、已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分.由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：AB＝AC，,故选B.【考点】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．2、A【解析】【分析】由题意根据图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理，分别分析即可得出答案【详解】解：A、不能利用图形面积证明勾股定理；B、根据面积得到；C、根据面积得到，整理得；D、根据面积得到，整理得.故选：A.【考点】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出的关系，即可证明勾股定理.3、C【解析】【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A、C之间的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=π，∴AC=，故选C．【考点】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．4、C【解析】【详解】分两种情况：在图①中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得;;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选C.5、C【解析】【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C．【考点】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．6、B【解析】【分析】根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵，，，∴由勾股定理可知：PM=3，∴PN的最小值为3．故选B．【考点】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质及勾股定理，熟记性质是解题的关键．7、C【解析】【详解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRt△ABE=102-=100-24=76.故选：C.二、填空题1、【解析】【分析】首先根据勾股定理得：OB=．即OA=．又点A在数轴的负半轴上，则点A对应的数是-．【详解】解：由图可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足为C，取BC=1，故，∵A在x的负半轴上，∴数轴上点A所表示的数是-．故答案为：-．【考点】此题主要考查了实数与数轴，勾股富士蝗应用，熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号．2、【解析】【分析】设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，根据题意可得：故答案为：【考点】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．3、24【解析】【分析】根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根据阴影部分的面积等于直角三角形的面积加上以AC，BC为直径的半圆面积，再减去以AB为直径的半圆面积即可．【详解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，则阴影部分的面积，故答案为24．【考点】本题考查的是勾股定理、半圆面积计算，掌握勾股定理和半圆面积公式是解题的关键．4、25.【解析】【详解】解：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是直角三角形求斜边的问题.根据勾股定理可求出葛藤长为（尺）．故答案为：25．5、直角三角形【解析】【分析】根据绝对值、完全平方数和算数平方根的非负性，可求解出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．【详解】解：由题意得：，解得：，∵，∴三角形为直角三角形．故答案为直角三角形．【考点】本题主要考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，运用非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键．6、9．【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长．【详解】在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15（米），∵CD＝10（米），∴AD＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9．【考点】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．7、【解析】【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：设未折断的竹干长为尺，根据题意可列方程为：．故答案为：．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．8、34【解析】【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．【考点】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．三、解答题1、(1)见解析(2)DF的长为5．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．(1)证明：∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=∠CED=90°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，∴AD2+CD2=80+20=100，∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°；(2)解：∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵点F是边AB的中点，∴DF=AB=5．∴DF的长为5．【考点】本题主要考查了直角三角形的性质与判定，垂直平分线的判定和的性质，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．2、(1)见解析(2)40；41【解析】【分析】(1)利用勾股定理的逆定理证明即可．(2)利用勾股数的公式代入求值即可．(1)证明：，∴，，构成勾股数.(2)根据最小数为奇数时，另两个正整数为，，当a=9时，，，故答案为：40,41．【考点】本题考查了勾股定理逆定理，勾股数的探索，代入求值，熟练掌握勾股数是解题的关键．3、（1）BD＝2，；（2），【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=4，再根据中点的性质可得到BD，然后再一次运用勾股定理求出AD即可；（2）设，则，，利用勾股定理列出方程解，从而得解.【详解】（1）∵在中，，，∴在中，∴又∵为边上的中点∴∴在中，∴（2）折叠后如图所示，为折痕，联结设，则，在中，，即解得：∴∴【考点】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.4、(1)+；(2)污水厂位置见解析，排污管道最短长度为10km；(3)13【解析】【分析】（1）依据ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE＋BE的长；（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；（3）根据AE＋BE＝＋＝AB＝10，可猜想所求代数式的值为13．(1)解：在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝，BE＝，∴AE+BE＝+；(2)解：根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置，如图：过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1，∴AF＝AC＋CF＝6，在Rt△ABF中，BA＝＝＝10，∴排污管道