2.2.2.1有理数的除法（教学课件）人教版数学七年级上册

2.2.2.1有理数的除法有理数的除法是有理数运算体系中的重要组成部分，它与有理数乘法紧密相关，是乘法的逆运算。理解并掌握有理数除法的规则和方法，对于解决各类数学问题，尤其是涉及数量分配、比例关系等实际问题，具有关键作用。接下来，我们将深入探究有理数除法的核心内容。有理数除法的定义已知两个有理数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做有理数除法。设\(a\)、\(b\)是两个有理数，且\(bâ‰

0\)，若存在有理数\(x\)，使得\(x·b=a\)，那么\(x\)就叫做\(a\)除以\(b\)所得的商，记作\(a÷b\)。这里，\(a\)称为被除数，\(b\)称为除数。例如，已知\(3×(-2)=-6\)，那么\(-6÷3=-2\)，其中\(-6\)是被除数，\(3\)是除数，\(-2\)是商。从这个例子可以直观地看出，除法运算就是根据已知的积和一个因数，去寻找另一个因数的过程。特别要注意的是，在有理数除法中，除数\(b\)不能为\(0\)。因为假设\(a÷0=x\)，根据除法的定义，\(x·0=a\)，但任何数乘以\(0\)都等于\(0\)，不可能等于非零的\(a\)，所以除数为\(0\)时，除法运算没有意义。这就如同把\(5\)个苹果平均分给\(0\)个人，这种情况在现实中无法实现，在数学运算里也是不被允许的。有理数除法法则法则一：除以一个不为\(0\)的数，等于乘这个数的倒数符号表示：对于任意有理数\(a\)和不为\(0\)的有理数\(b\)，\(a÷b=a×\frac{1}{b}\)。这里\(\frac{1}{b}\)就是\(b\)的倒数，即\(b\)与\(\frac{1}{b}\)的乘积为\(1\)。例如，\(2\)的倒数是\(\frac{1}{2}\)，\(-\frac{3}{4}\)的倒数是\(-\frac{4}{3}\)。应用场景：当遇到不能整除的情况，特别是除数是分数时，运用这个法则能将除法转化为乘法，从而简化计算。比如计算\(4÷\frac{2}{3}\)，根据法则一，可转化为\(4×\frac{3}{2}\)，然后按照乘法运算规则，\(4×\frac{3}{2}=\frac{4×3}{2}=6\)。再如计算\((-5)÷(-\frac{5}{6})\)，转化为\((-5)×(-\frac{6}{5})\)，两个负数相乘得正，\(5×\frac{6}{5}=6\)。法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。\(0\)除以任何一个不为\(0\)的数，都得\(0\)符号表示：设\(a\)、\(b\)为有理数且\(bâ‰

0\)，若\(a\)、\(b\)同号（即\(a>0,b>0\)或\(a<0,b<0\)），则\(a÷b=\frac{|a|}{|b|}\)（结果为正）；若\(a\)、\(b\)异号（即\(a>0,b<0\)或\(a<0,b>0\)），则\(a÷b=-\frac{|a|}{|b|}\)（结果为负）；\(0÷b=0\)（\(bâ‰

0\)）。应用场景：在能整除的情况下，使用这个法则更为简便。它分为商的符号法则和商的绝对值法则两部分。例如计算\((-42)÷(-6)\)，因为被除数\(-42\)和除数\(-6\)同号，根据法则，先确定商的符号为正，再把绝对值相除，\(|-42|÷|-6|=42÷6=7\)，所以\((-42)÷(-6)=7\)。又如计算\(36÷(-9)\)，被除数\(36\)是正数，除数\(-9\)是负数，异号得负，\(|36|÷|-9|=36÷9=4\)，则\(36÷(-9)=-4\)。而\(0÷(-3.72)\)，根据\(0\)除以任何一个不为\(0\)的数都得\(0\)，结果就是\(0\)。分数的符号法则与有理数除法的关联分数的符号法则：分数的分子、分母与分数线前面的符号，改变其中任意两个的符号，分数的值不变。用公式表示为\(\frac{a}{b}=\frac{-a}{-b}=-\frac{-a}{b}=-\frac{a}{-b}\)。例如\(\frac{2}{3}=\frac{-2}{-3}=-\frac{-2}{3}=-\frac{2}{-3}\)。利用分数的符号法则化简分数规律：在分子、分母及分数线前的符号中，如果“\(-\)”号的个数是奇数，则分数的值为负，如果“\(-\)”号的个数是偶数，分数的值为正。比如\(\frac{-3}{-5}\)，“\(-\)”号个数为\(2\)（偶数），所以\(\frac{-3}{-5}=\frac{3}{5}\)；而\(\frac{-4}{7}\)，“\(-\)”号个数为\(1\)（奇数），所以\(\frac{-4}{7}\)就是负数。在有理数除法运算中，如果结果用分数表示，就可以运用这些符号法则来快速确定分数的正负以及进行化简。例如计算\((-12)÷(-18)\)，结果为\(\frac{-12}{-18}\)，根据分数符号法则，可化简为\(\frac{12}{18}\)，再约分得到\(\frac{2}{3}\)。有理数乘除法的混合运算有理数的除法可以化为乘法，所以有理数的乘除混合运算可以统一成乘法运算，其步骤如下：将所有除数转化为其倒数，所有除法转化为乘法：例如计算\(2÷3×\frac{4}{5}÷(-\frac{1}{2})\)，先把除法转化为乘法，变为\(2×\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×(-2)\)。确定积的符号：根据多个有理数相乘的符号法则，“偶正奇负，见\(0\)为\(0\)”。在\(2×\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×(-2)\)中，有\(1\)个负数，所以积的符号为负。运用乘法运算律简化运算，并求出最后结果：对于\(2×\frac{1}{3}×\frac{4}{5}×(-2)\)，可以先计算\(2×(-2)=-4\)，再计算\(\frac{1}{3}×\frac{4}{5}=\frac{4}{15}\)，最后\(-4×\frac{4}{15}=-\frac{16}{15}\)。在这个过程中，如果式子中有可以凑整或便于约分的数，可利用乘法交换律和结合律进行简便运算。例如计算\((-8)×\frac{5}{6}÷\frac{1}{3}×(-\frac{1}{4})\)，转化为乘法后为\((-8)×\frac{5}{6}×3×(-\frac{1}{4})\)，运用乘法交换律和结合律，\([(-8)×(-\frac{1}{4})]×(\frac{5}{6}×3)=2×\frac{5}{2}=5\)。有理数除法运算的注意事项除数不能为\(0\):这是有理数除法运算的首要原则，任何情况下都不能违背。在进行复杂的运算时，一定要先检查除数是否为\(0\)，若除数为\(0\)，则整个运算无意义，无需继续计算。例如\(5÷0\)，直接判定该运算错误，不能得出结果。正确运用除法法则：根据题目中数字的特点和运算形式，选择合适的除法法则。如果能整除且数字较为简单，优先考虑法则二确定商的符号和绝对值；如果不能整除或除数是分数，用法则一将除法转化为乘法进行计算。例如计算\(15÷(-3)\)，用法则二，同号得正，绝对值相除得\(5\)，结果为\(-5\)；而计算\(6÷\frac{3}{4}\)，用法则一转化为\(6×\frac{4}{3}=8\)。注意符号的处理：无论是在确定商的符号，还是在乘除混合运算中确定积的符号，都要严格按照“同号得正，异号得负”的规则。在运算过程中，可将数字的符号单独标记出来，分别进行运算，避免因符号混乱导致错误。例如计算\((-3)÷(-2)×(-4)\)，先算\((-3)÷(-2)=\frac{3}{2}\)，再算\(\frac{3}{2}×(-4)\)，一个正数乘以一个负数，结果为负，\(\frac{3}{2}×4=6\)，所以最终结果为\(-6\)。结果的化简：运算完成后，如果结果是分数形式，要将其化为最简分数。例如计算\((-10)÷15\)，结果为\(-\frac{10}{15}\)，约分后得到\(-\frac{2}{3}\)。若结果是假分数，可根据实际情况化为带分数，如\(\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\)。典型例题解析例1：计算\((-24)÷6\)解题思路：本题两个数能整除，且被除数\(-24\)与除数\(6\)异号，适用有理数除法法则二。解答过程：根据法则二，两数相除异号得负，并把绝对值相除。\(|-24|÷|6|=24÷6=4\)，所以\((-24)÷6=-4\)。例2：计算\(\frac{3}{4}÷(-\frac{9}{8})\)解题思路：除数是分数，不能直接整除，采用有理数除法法则一，将除法转化为乘法。解答过程：根据法则一，\(\frac{3}{4}÷(-\frac{9}{8})=\frac{3}{4}×(-\frac{8}{9})\)。先确定积的符号，一个正数乘以一个负数得负，再计算\(\frac{3×8}{4×9}=\frac{24}{36}\)，约分后为\(\frac{2}{3}\)，所以结果为\(-\frac{2}{3}\)。例3：计算\((-18)÷(-3)×(-\frac{1}{2})\)解题思路：这是乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后计算结果。解答过程：将除法转化为乘法，原式变为\((-18)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{2})\)。式子中有\(2\)个负数，根据“偶正奇负”，积的符号为正。然后计算\(18×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=6×\frac{1}{2}=3\)，所以最终结果为\(-3\)。例4：计算\(0÷(-\frac{5}{7})×(-1)\)解题思路：因为\(0\)除以任何不为\(0\)的数都得\(0\)，所以先计算\(0÷(-\frac{5}{7})\)。解答过程：\(0÷(-\frac{5}{7})=0\)，再乘以\(-1\)，\(0×(-1)=0\)，所以最终结果为\(0\)。有理数除法作为有理数运算的重要环节，与乘法、加法、减法共同构成了完整的有理数运算体系。通过理解除法的定义，熟练运用除法法则，遵循运算注意事项，多进行相关练习，就能准确、高效地解决有理数除法及与之相关的各类数学问题，为后续更深入的数学学习奠定坚实基础。2024人教版数学八年级上册授课教师：

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2.2.2.1有理数的除法第二章

有理数的运算aiTujmiaNg能表述出有理数除法法则.会运用法则进行有理数除法运算.你能很快地说出下列各数的倒数吗？a5701a的倒数1(1)乘积是1的两个数互为倒数.(2)0没有倒数.8×9=_____，72÷9=_____，(－4)×3=_____，(－12)÷3=_____，2×(－3)=_____，(－6)÷2=_____，(－4)×(－3)=_____，12÷(－4)=_____，0×(－6)=_____，0÷(－6)=_____.728－12－4－6－312－300观察右侧算式，思考两个有理数相除时：除法能否转化为乘法？商的符号如何确定？商的绝对值如何确定？怎样计算8÷(-4)？根据除法是乘法的逆运算，计算8÷(-4)，就是要求一个数，使它与-4相乘得8.因为

(-2)×(-4)=8，所以

8÷(-4)=-2

.另一方面，我们有8×(-

)=-2

.于是有8÷(-4)=8×(-)

.8÷(-4)=8×(-)

.一个数除以-4，等于乘-4的倒数-.换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘？12÷(-6)12×(-)

=-2=-2有理数除法法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.表达式为：a÷b=a×（b

≠0）除号变乘号除数变倒数作因数72÷9=______=____，(－12)÷(－)=_____________=____，(－)÷2=________=____，12÷(－)=________=_____，0÷(－6)=________=____.8(－12)×(－4)48－160同号两数相除，转变成同号两数相乘，结果得正异号两数相除，转变成异号两数相乘，结果得负零除以任何非零数得零观察思考观察上面的算式，看看商的符号及其绝对值与除数、被除数有什么关系？法则2：两数相除，同号得____，异号得____，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0除以任何一个不等于0的数，都得____.正负0（1）如果a<0，b>0，那么ab____0，____0.（2）如果a>0，b<0，那么ab____0，____0.（3）如果a<0，b<0，那么ab____0，____0.（4）如果a=0，b≠0，那么ab____0，____0.<<<<>>==0÷(－)0÷(－3)计算：=0×(－)=0=0×(－)=00可以作除数吗？为什么？例题【教材P44】例4计算：

（1）(-36)÷9；（2）.

解：（1）(-36)÷9=-(36÷9)=-4；

（2）.解题策略有理数除法的两个法则的灵活选用：如果被除数和除数都是整数（或小数），且能整除，一般选用法则2计算，其他情况一般选用法则1.例5化简：

（1）

；（2）.

解：（1）=(-2)÷3=-(2÷3)=；（2）=(-45)÷(-12)=45÷12=

.

带有分数线的数可以理解为分子除以分母.一般地，根据有理数的除法，形如（p，q是整数，q

≠0）的数都是有理数；有理数又都可以写成上述形式（整数可以看成分母为1的分数）.这样，有理数就是形如（p，q

是整数，q

≠0）的数.（1）；（2）；（3）.化简：巩固练习解：（1）=(－3)÷5=－(3÷5)=；（2）=4÷(－12)=－(4÷12)=；（3）=－[(－8)÷2.4]=8÷2.4=

.（a，b

是有理数，b

≠0）【教材P45】1.计算：（1）(-18