理论力学（第2版）课件 第八章 质点动力学基本方程；第九章 动量定理

第八章质点动力学基本方程第八章质点动力学基本方程

本章首先给出了动力学基本定律，然后建立质点动力学基本方程，最后讨论了质点动力学的两类基本问题及其解法。123第八章质点动力学基本方程动力学基本定律质点的运动微分方程质点动力学的基本问题第一定律不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。

不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。包括受平衡力系作用的质点§8-1

动力学基本定律一、牛顿三定律（惯性定律）第一定律阐述了物体作惯性运动的条件。

质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。§8-1

动力学基本定律第二定律一、牛顿三定律

当质点上受到多个力的作用时,应为此汇交力系的合力。第二定律阐述了力与加速度之间的关系。（力与加速度之间的关系定律）⑴质点在力作用下有确定的加速度，使质点运动状态发生改变;⑵对于相同质量的质点，作用力大，其加速度也大；⑶用大小相等的力作用于质量不同的质点上，则质量大的质点加速度小，质量小的质点加速度大。质点动力学的基本方程§8-1

动力学基本定律一、牛顿三定律第二定律质量是质点惯性的度量。重力加速度—

在重力作用下得到的加速度g由第二定律得一般取9.80m/s2力的单位：N（牛顿）1N=1kg×1m/s2=1kgm/s2

1g×1cm/s2=1dyn（达因）1N=105dyn一、牛顿三定律第二定律§8-1

动力学基本定律

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体之上。第三定律一、牛顿三定律（作用与反作用定律）既适用于平衡的物体，也适用于任何运动的物体。§8-1

动力学基本定律

在一般的工程问题中，把固定于地面的坐标系或相对于地面作匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系。惯性参考系：牛顿三定律均适用的参考系。二、惯性参考系研究卫星的轨道时：卫星质点；§8-1

动力学基本定律惯性参考系：坐标原点在地心，三个坐标轴分别指向三颗恒星(地球自转影响不可忽略)研究天体的运动时：天体

质点；惯性参考系：坐标原点在日心，三个坐标轴分别指向三颗恒星（地心影响不可忽略）1、质点运动微分方程的矢量形式质点动力学第二定律§8-2

质点的运动微分方程

将动力学基本方程表示为微分形式的方程，称为质点的运动微分方程。2、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影§8-2

质点的运动微分方程式中，为质点直角坐标形式的运动方程。3、质点运动微分方程在自然轴上的投影§8-2

质点的运动微分方程第一类问题：已知运动求力第二类问题：已知力求运动混合问题：第一类与第二类问题的混合(需要求导)(需要求积分)4、质点动力学的基本问题§8-3

质点动力学的基本问题已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题）解题步骤和要点：⑴正确选择研究对象⑵受力分析,画受力图⑶进行运动分析⑷建立坐标系，列出适当形式的质点运动微分方程⑸求解未知量一般选择联系已知量和待求量的质点（在一般位置上进行分析）（分析质点运动的特征量）一、第一类问题§8-3

质点动力学的基本问题例8-1

曲柄连杆机构的曲柄OA以匀角速度

ω绕O

轴转动，滑块B

沿x

轴做往复直线运动。已知OA=r，AB=l，滑块B

质量为m。当

=r/l较小时，以O为坐标原点，滑块B的运动方程近似为

。不计摩擦及连杆AB

的质量，试求当

=

t=0°和90°时,连杆AB所受的力。§8-3

质点动力学的基本问题

BAOxy滑块平移，可视为质点，由质点运动微分方程可得由滑块B的运动方程得§8-3

质点动力学的基本问题解:取滑块B

为研究对象，进行受力分析。Bx

例8-2

如图振动输送台，已知台面在铅垂直方向的运动方程为（暂不研究x

轴方向的运动）。式中，ω=2πf

（f

为频率，即每秒振动的次数）。物料随台面一起运动，在某频率时，物料开始与台面分离而向上抛起，求此最小频率。§8-3

质点动力学的基本问题解:取物料为研究对象，进行受力分析。yOxy由质点运动微分方程可得物料与台面尚末分开时，物料的运动方程§8-3

质点动力学的基本问题yOxy由于m≠0，故有当物料开始与台面分离时，物料与台面之间的作用力为零，即FN

=0。由此可得由上式可知，当y

为最大值y=b

时，使物料与台面分离的频率最小，即（在一般位置上进行分析）已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）解题步骤和要点：⑴正确选择研究对象⑵受力分析,画受力图⑶进行运动分析二、第二类问题（分析质点的运动特征、运动初始条件）⑸求解未知量⑷建立坐标系，列出适当形式的质点运动微分方程§8-3

质点动力学的基本问题⑸求解未知量

根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。如果力是常量或是时间及速度函数时：如果力是位置的函数时：先进行变量置换，再分离变量积分直接分离变量积分已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）二、第二类问题§8-3

质点动力学的基本问题例8-3

如图(a)所示，置于光滑水平面上的物块与一弹簧相连。已知物块质量为m，弹簧刚度系数为k。若在弹簧伸长量为a

时释放物块，求物块的运动规律。§8-3

质点动力学的基本问题解:取物块为研究对象，进行受力分析。Oxx将物块简化为一质点，其沿x轴的运动微分方程为以弹簧末变形处O为坐标原点，建立图示坐标系。弹簧力水平方向,并指向O点物体在任意坐标x处弹簧变形量为|x|微分方程的解为其中,A、θ为任意常数,由运动的初始条件决定物块的运动方程为物块做简谐振动：

n—圆频率周期为T=2π/

n振动中心为O点振幅为a§8-3

质点动力学的基本问题—

自由振动微分方程的标准形式例8-4

如图(a)所示，物体在阻尼介质中自由降落的情况。设物体所受到的介质阻力F=cAρv2

，其中c

为阻力系数，ρ

是介质密度，A

是物体垂直于速度方向的最大截面积，v是物体降落的速度。§8-3

质点动力学的基本问题解：取物体为研究对象，物体可看作一质点。物体在任意位置处受到重力P、介质阻力F

的作用，受力如图8.5所示。由题意可知，F

是速度的函数。物体在阻尼介质中自由降落，即物体竖直向下做直线运动。以点O

为坐标原点，坐标轴x

轴沿铅垂线向下为正向。物体的运动微分方程§8-3

质点动力学的基本问题在运动开始不久的一段时间内，由于速度v

较小，则阻力F=cAρv2

也较小，故P－cAρv2＞0，因此物体加速降落。但随着物体速度的逐渐增加，介质阻力按速度平方迅速增大，于是重力与介质阻力的合力所引起的加速度逐渐减小。当速度达到某一极限速度v极限时，加速度为零当物体达到极限速度后，将匀速下降。由于阻力随着物体的大小，形状不同而不同，因此极限速度与物体的重量、体积和形状有关。在选矿工业的生产过程中，就经常利用液体来分离大小不同的混合物。由工程实际可知，有很多问题是第一类问题和第二类问题的综合，即已知质点的一部分受力和运动，要求另一部分力和运动，这类问题称为混合问题。三、混合问题§8-3

质点动力学的基本问题例8-5

如图所示圆锥摆，不可伸长的绳一端系有小球，另一端系在固定点O处。已知摆捶质量m=0.1kg，绳长l=0.3m，绳与铅直线夹角

=60°。若摆捶在水平面内作匀速圆周运动，求摆捶的速度v

与绳张力F

的大小。§8-3

质点动力学的基本问题解：取摆捶为研究对象，作用在摆捶上的力

有重力mg

和绳的拉力F

。摆捶的运动微分方程为考虑到，联立上式可解得绳的张力与拉力F

的大小相等。第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。一、动力学基本定律

质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。第二定律（力与加速度之间的关系定律）

两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体之上。第三定律（作用与反作用定律）【小结】1、质点运动微分方程的矢量形式2、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影二、质点的运动微分方程3、质点运动微分方程在自然轴上的投影【小结】三、质点动力学的基本问题【小结】解质点动力学问题的方法和步骤：（1）选研究对象，通常选择含有已知量和待求量的质点为对象；（2）按照静力学方法进行受力分析，并画受力图；（3）运动分析，这是解决动力学问题的关键步骤；（4）根据质点的运动情况，确定质点运动微分方程的使用形式，并画出坐标轴。注明轴的正向，力和加速度在坐标轴上的投影与轴正向一致为正，反之为负；（5）第一类基本问题通常是求导数的过程；第二类基本问题一般是积分的过程。求解第二类基本问题，要注意利用运动初始条件确定积分常数，使问题得到确定的解。PAG30谢谢！第九章动量定理第九章动量定理

本章将介绍动量定理及其另一形式——

质心运动定理。动量定理建立了质点系的动量与作用于质点系上的力之间的关系，质心运动定理则阐明了质心运动与质点系所受外力之间的关系。123动量与冲量动量定理质心运动定理第九章动量定理—

度量物体机械运动强弱程度的物理量

物体在传递机械运动时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，还与它们的质量有关。方向：与质点速度方向相同质点的动量:子弹击穿钢板、钢针穿透玻璃板瞬时矢量单位：kgm/s轮船靠岸§9-1

动量与冲量一、动量质点的质量与速度的乘积大小：mv质点系的动量:质点系内各质点动量的矢量和mi:第i个质点的质量n:质点的个数质点系动量的主矢量§9-1

动量与冲量:第i个质点的速度方向：与质点速度方向相同质点的动量:瞬时矢量单位：kgm/s质点的质量与速度的乘积大小：

mv—

度量物体机械运动强弱程度的物理量一、动量§9-1

动量与冲量例9-1

如图(a)所示，物块A、B、C由不可伸长的软绳通过轮O1、O2

相连，两轮的质量不计。已知物块质量mA=m，mB=2m，mC=4m，物块B的速度为v，求此系统的动量。解:把物块A、B、C分别视为质点，由于软绳不可伸长，则物块A、C

的速度vA、vC

的大小均为v，物块A的速度沿斜面向上，物块C

的速度铅直向下。CBAO1O2§9-1

动量与冲量系统的动量在x、y轴上的投影分别为系统的动量大小为其方向由方向余弦来确定§9-1

动量与冲量质点系中第个i质点的矢径为质点系的动量—

度量物体机械运动强弱程度的物理量一、动量第个i质点的速度为质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。质点系质心C的矢径为§9-1

动量与冲量例9-2

求出图示各刚体的动量。(a)均质薄壁圆环，质量为m，质心处速度为vC，在地面上纯滚动。(b)均质圆盘，质量为m，绕其质心C

转动，角

速度为ω。薄壁圆环动量，方向与质心速度相同。

圆盘质心速度为0，故圆盘动量为0。§9-1

动量与冲量(c)均质细长杆件，长为l，质量为m，O

为圆柱铰链，杆在平面内以等角速度ω

绕杆端

O

转动。(d)均质细长杆件，长为l，质量为m，O

为球铰链，杆在空间内以等角速度ω

绕铅直线转动，杆与铅直线夹角为θ。例9-2

求出图示各刚体的动量。杆质心速度杆的动量大小

，方向与vC

相同。杆质心速度，方向沿点C轨迹的切线方向，与ω的转向一致。§9-1

动量与冲量例9-2

求出图示各刚体的动量。杆动量大小

，方向与vC

相同。杆AB

作平面运动，点P

为杆AB

的速度瞬心，由运动学知识可得杆质心速度大小为，方向沿点C

轨迹的切线方向，与ω

的转向一致。(e)均质细长杆件，长为l，质量为m，在图示位置vA=v。杆动量大小

，方向与vC

相同。物体在力的作用下引起的运动变化：⑴与力的大小和方向有关；⑵与力作用时间的长短有关。人沿铁轨推小车用机车牵引小车§9-1

动量与冲量—

力在某段时间内积累的作用效果二、冲量小车很快能达到运行的速度小车能达到同样的运行的速度，但需要经过一定的时间作用力与作用时间的乘积冲量的单位：N·s与动量的量纲相同常力的冲量：变力的冲量：§9-1

动量与冲量作用力

在作用时间dt内的元冲量在作用时间

t

内的矢量积分二、冲量※

在某段时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力在该段时间内的冲量。—

质点动量定理的导数形式—

质点动量定理的微分形式§9-2

动量定理一、质点的动量定理牛顿第二定律※

质点动量的增量等于作用于质点上的力的冲量。—

质点动量定理的积分形式§9-2

动量定理二、质点系的动量定理—

质点系动量定理的导数形式质点的动量定理

质点系有n个质点，第i个质点的质量为mi，速度为，外界对该质点的作用力为(外力)，质点系内其它质点对该质点的作用力为(内力)，※

质点系动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力的矢量和(或外力的主矢)。—

质点系动量定理的微分形式—

质点系动量定理的积分形式§9-2

动量定理二、质点系的动量定理※

质点系动量的增量等于作用于质点系的所有外力元冲量的矢量和。※

在某时间间隔内，质点系动量的改变量等于该段时间内，作用在质点系上所有外力冲量的矢量和。—

质点系动量定理的微分形式—

质点系动量定理的积分形式§9-2

动量定理二、质点系的动量定理—

质点系动量定理的导数形式§9-2

动量定理三、质点系动量守恒定律

只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量；虽然内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。例9-3

如图所示，一锻锤的质量为3000kg，从高度H=1.5m处自由落到受锻压的工件上。设使锻件发生变形所需时间为τ=0.01s，试求锻锤对工件的平均压力。解:取锻锤为研究对象，进行受力分析。§9-2

动量定理锻锤由静止下落到与工件接触所需时间锻锤由静止开始下落，当碰到工件后经过很短时间间隔τ

又达到静止，在这段过程的始、末瞬时，锻锤的动量均为零，因此其动量的变化为零。H工件y锻锤重力P

冲量方向向下，大小§9-2

动量定理由于工件的反力在很短时间间隔τ内迅速变化，这里的反力FN

平均反力，其冲量方向向上，大小由动量定理的投影形式得锻锤对工件的压力与工件的反力FN

大小相等、方向相反，互为作用与反作用力。例9-4

如图所示，截面为A

的液柱以速度v1

喷射于与液柱方向成α

角的固定叶板上。设单位体积液体的质量为γ，流量（即单位时间内流过某截面的液体体积）为Q，并假定v2=v1=v

。试求液柱对叶板的水平及铅直方向的附加动压力。§9-2

动量定理解:取一段液柱abcd

构成的质点系为研究对象。设在时间间隔dt

内，液柱abcd

流至a′b′c′d′，由于单位时间内流入任意截面液体的体积Q为常量，因此液柱内各处流速的分布不随时间而变，液柱

abcd

动量的变化等于液柱cdc′d′

与aba′b′

的动量之差。§9-2

动量定理液柱cdc′d′

与aba′b′的容积均为Qdt，则在dt

时间内动量的变化为作用于液柱上的外力：液柱的重力W、截面ab

和cd处液体的压力P1

和P2、叶板对液柱的反作用力R′。叶板反力：由液柱的重力和截面ab、cd处液体的压力所引起的静反力；由液柱动量的变化而引起的附加动反力。§9-2

动量定理将上式投影到x

轴及y

轴上，可得已知v2=v1=v

，Q=Av，上式可写为液柱对叶板的水平及铅直方向的附加动压力与Rx、Ry

大小相等、方向相反，互为作用与反作用力。由质点系动量定理可得，附加动反力为例9-5

如图所示，机车质量为m1，以速度v1

与静止在水平轨道上的车厢对接，车厢的质量为m2，对接时不计摩擦。试求对接后列车的速度以及机车动量的损失。§9-2

动量定理解:以机车和车厢构成的

质点系为研究对象。不计对接时摩擦，质点系水平方向不受力，则质点系在水平方向动量守恒，即对接后列车的速度：机车损失的动量：xm1m2m1m2例9-6

如图所示，载人小车在光滑地面上以v0=2m/s的速度向右匀速运动，小车的质量m1

=100kg，人的质量m2=50kg。若人相对小车以v=1m/s的速度跳离小车，θ=30°。试求人跳离小车后，小车的速度。§9-2

动量定理解:以人和车为研究对象系统在水平方向上所受外力为零，水平方向动量守恒。设人跳离时小车速度为v1，则人相对地面的水平速度为由质点系动量守恒定律可得§9-3

质心运动定理一、质心运动定理质心质心运动定理：质点系的总质量与质心加速度的乘积等于各质点质量与其质心加速度乘积的矢量和，也等于