《工程力学》课件第7章 扭转

第七章扭转

第七章扭转§7.1概述§7.2扭矩与扭矩图§7.3薄壁圆筒的扭转§7.4圆轴扭转的应力及强度计算§7.5圆轴扭转时的变形和刚度计算§7.1概述一、扭转实例及其特点一、扭转实例及其特点受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用。Me

Me

工程中把以扭转变形为主要变形的直杆称为轴。变形特点：圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；

杆表面上的纵向线变成螺旋线。§7.1概述工程中受扭杆件很多，如机械中的各类传动轴、钻杆及门洞口雨蓬过梁等。§7.1概述二、外力偶矩的计算

设通过皮带轮输入AB轴的功率为PkW（千瓦）即PkN·m/s,每秒内输入功的数值为外力偶矩为：电动机是通过皮带轮以力偶矩

作用在AB轴上，轴的转速为n转/分钟§7.1概述§7.2扭矩与扭矩图扭矩：是扭转变形的内力，它是杆横截面上的分布内力向截面形心简化后的法向分量，用T表示。正负号规定：扭矩矢量与截面外法线方向一致时为正;反之为负。MeMeMeTnMeTn例7-1已知：PA=40kW，PB=100kW，PC=60kW，n=955

rpm，求:作图示传动轴的扭矩图。解:

MA=9549P/n=400N·mMB=1000N·mMC=600N·mT1

=400N·m讨论:交换AB轮的位置

扭矩图将如何变化？400N·m

600N·mT2=-600N·mMAMBMC2-21-1MAT1nMCnT2(+)(-)-MA+T1=0T图§7.3薄壁圆筒的扭转1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：①横截面和纵截面上没有正应力。②横截面上只有切应力，因为壁厚t很小，近似认为沿壁厚均匀分布。一、薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、薄壁圆筒：截面法可求得横截面上的扭矩§7.3薄壁圆筒的扭转二、切应力互等定理：

上式称为切应力互等定理。

该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为“纯剪切应力状态”。acddxb

dy

´

´tz

§7.3薄壁圆筒的扭转小结（1）外力偶矩计算：工程中通常给出的是轴的

转速和功率，换算成外力偶矩为（2）薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力为（3）切应力互等定理：在相互垂直的一对平面上

切应力同时存在，数值相等；且都垂直于两

个平面的交线，方向共同指向或背离这一交

线，即第七章扭转§7.1概述§7.2扭矩与扭矩图§7.3薄壁圆筒的扭转

§7.4圆轴扭转的应力及强度计算§7.5圆轴扭转时的变形和刚度计算一、切应力互等定理：

上式称为切应力互等定理。

该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为“纯剪切应力状态”。acddxb

dy

´

´tz

§7.4圆轴扭转的应力及强度计算二、剪切虎克定律：

上式称为剪切虎克定律。

§7.4圆轴扭转的应力及强度计算单元体原来互相垂直的两个棱边的夹角的改变微量γ称为切应变，在弹性范围内，切应力与且应变成正比，即：G：切变模量切变模量G与弹性模量E和泊松比一样，都表示材料力学性质的材料常数。对于各向同性材料，这三个材料常数并不是独立的，它们存在如下关系：§7.4圆轴扭转的应力及强度计算MlT=MD刚性平截面变形规律：（1）横截面保持平面；（2）直径保持直线。平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。1.变形的几何条件2.物理条件（剪切虎克定律）3.静力平衡条件三、圆轴扭转的应力及强度计算

§7.4圆轴扭转的应力及强度计算Ml1.变形的几何条件2.物理条件（剪切虎克定律）3.静力平衡条件表面单位长度扭转角截面对圆心的极惯性矩§7.4圆轴扭转的应力及强度计算抗扭截面模量最大切应力在外圆周处强度条件为材料的许用切应力。塑性材料试件在外力偶作用下，先出现屈服，最沿横截面被剪断（图a）；脆性材料试件受扭时，变形很小，最后沿与轴线约45°方向的螺旋面断（图b）。图a图b§7.4圆轴扭转的应力及强度计算AB段：BC段：所以，该轴强度满足要求。例7-1如图所示梯状圆轴，AB段直径d1=120mm,BC段直径d1=100mm。外力偶矩分别为MeA=22kN·m,MeB=36kN·m,,MeC=14kN·m,已知轴材料的许用切应。试校核该轴的强度。用截面法求出AB,BC段的扭矩分别为：解：求：（1）校核轴的强度；（2）改用实心轴，确定轴的直径；

（3）比较实心轴和空心轴的重量。解：（1）T

=M=1.5kNm,

因此强度满足要求。（2）（3）空心优于实心MM例7-2已知汽车传动主轴D=90mm,d=85mmM=1.5kNm§7.4圆轴扭转的应力及强度计算小结（2）剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪

切比例极限时,切应力与切应变成正比。（3）圆轴扭转的应力及强度条件（1）切应力互等定理：在相互垂直的一对平面上

切应力同时存在，数值相等；且都垂直于两

个平面的交线，方向共同指向或背离这一交

线，即第七章扭转§7.1概述§7.2扭矩与扭矩图§7.3薄壁圆筒的扭转§7.4圆轴扭转的应力及强度计算§7.5圆轴扭转时的变形和刚度计算一、圆轴扭转时的变形：

§7.4圆轴扭转时的变形和刚度计算长度为dx的相邻两个截面的

相对扭转角为相距

l

的两截面间的扭转角为单位长度扭转角GIP为抗扭刚度当T、G、IP为常数时，长为l的圆轴两端相对扭转角为：Ml二、圆轴扭转时的刚度条件：

§7.4圆轴扭转时的变形和刚度计算单位长度扭转角[

]称为许用单位长度扭转角。各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得。对精密机器的轴[q]=(0.25～0.50)0/m；一般传动轴[q]=(0.5～1.0)0/m；精度要求不高的轴[q]=(1.0～2.5)0/m。刚度计算的三方面：校核刚度；设计截面尺寸计算许可载荷；§7.4圆轴扭转的应力及强度计算例7-3某传动轴的，，，已知，，。试求：（1）若轴为实心圆轴，确定AB段，BC段轴的直径。（2）若轴改为内外径之比的空心圆轴，比较两轴的重量。解：（1）确定实心圆轴直径作扭矩图如图所示。AB段：扭转强度条件§7.4圆轴扭转的应力及强度计算AB段：扭转强度条件AB段：扭转刚度条件取

。BC段：同理，由扭转强度条件得

由扭转刚度条件得

取

。§7.4圆轴扭转的应力及强度计算（2）将轴改为空心圆轴后，根据强度条件和刚度条件确定轴的外径D。由强度条件得由刚度条件得取

，则内径为

设两种情况下的轴为等截面轴，则其重量比为即空心轴的重量为实心轴重量的47%。扩展----非圆截面轴扭转矩形截面杆，在扭矩作用下，其横截面不再保持平面而发生翘曲现象自由扭转：杆可以自由翘曲，只有扭转切应力，没有正应力。约束扭转：杆不可以自由翘曲，除有扭转切应力，还有正应力。扩展----非圆截面轴扭转一、矩形截面杆扭转时横截面上切应力的分布规律1、角点切应力等于零2、边缘各点切应力沿切线方向3、最大切应力发生在长边的中点二、矩形截面杆的扭转杆两端相对扭转角为截面的相当极惯性矩系数，，与比值有关acbx

扩展----非圆截面轴扭转对于狭长矩形截面最大切应力单位长度杆的扭转角狭长矩形截面轴的扭转切应力分布如图所示。扩展----非圆截面轴扭转三、开口薄壁截面杆的自由扭转类似狭长矩形截面，在开口薄壁杆件截面上，切应力沿着周边或周边的切线形成环流，方向与截面扭矩一致；角点处切应力为零；中线上切应力为零；长边边缘处接近均匀分布。四、闭口薄壁截面杆的自由扭转

(1)沿周边的切线方向作用；

(2)沿壁厚均匀分布。本章小结（1）外力偶矩计算：工程中通常给出的是轴