《工程力学》课件第6章 截面图形的几何性质

第六章截面图形的几何性质本章内容静矩和形心惯性矩和惯性积平行移轴公式回转半径为什么要研究截面图形的几何性质？在结构设计中，设计者在满足强度、刚度和稳定性的前提下通常选取截面面积小而承载能力较大的杆件，以取得较好的经济效果。杆件的应力和变形，不仅取决于外载荷的大小和杆件的几何尺寸，而且与杆件横截面的形状和几何量有关。

包括：形心、静矩、极惯性矩、惯性矩、惯性半径、惯性积、主轴和形心主轴、主矩和形心主矩等截面的几何性质6.1静矩和形心一、静矩oyzAdAyz截面对z轴的静矩截面对y轴的静矩单位：静矩的数值可大于零、等于零或小于零。二、形心oyzAC如图所示均质薄板，重心与形心C重合，由静力学可知形心坐标在yoz：求静矩的另一公式：（1）若则

yzACy、z轴称为形心轴。讨论若z轴、y轴通过截面形心。二、形心（2）若y,z轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。则二、形心截面对称轴一定是形心轴，那么形心轴一定是对称轴吗？例3-1求图示半圆截面的静矩Sy、Sz及形心C位置。己知圆的半径为R。解：（1）因为y轴为对称轴,半圆的形心在y轴上，即y轴为形心轴，所以静矩；根据几何关系，（2）形心二、形心dDyz整个图形对某一轴的静矩等于各个分图形对同一轴的静矩之和。三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心静矩形心例题3-3求图示等腰梯形的形心以及图形对底边的静矩三、组合截面的静矩和形心解：建立如图所示坐标系yOz,等腰梯形关于z轴对称，则形心静矩将梯形分为两个三角形ABC和BCD,其形心分别为和，则形心纵坐标分别为6.2惯性矩和惯性积一、惯性矩与惯性积oyzAdAyz截面对y、z两轴的惯性积单位：讨论：（1）惯性积

可

0；0；0；（2）若图形有一对称轴，则截面对y轴的惯性矩截面对z轴的惯性矩惯性矩恒为正，量纲为长度的四次方二、极惯性矩oyzAdAyz截面对o点的极惯性矩单位：讨论:例3-2试计算图示矩形截面的

解:(1)y、z轴为形心轴(2)取平行于z轴的狭长条，同理y和z中只要有一根轴是截面的对称轴，则yzbhzdzc三、区别例3-3

试计算图示实心圆形的惯性矩、极惯性矩。解：实心圆截面三、区别四、组合截面的惯性矩与惯性积整个图形对某一轴的惯性矩（惯性矩、惯性积…）等于各个分图形对同一轴的惯性矩（惯性矩、惯性积…）之和。IIIIIIyz例如工字型截面例3-4试计算空心圆截面对形心轴z的惯性矩。空心圆其中dDyz当截面面积相等时，试着比较矩形、实心圆和空心圆截面的惯性矩的大小。四、组合截面的惯性矩与惯性积例3-5试计算工字形截面对形心轴z的惯性矩。解：工字型截面可以看成图b中面积为BH的矩形减去两个阴影部分的小矩形。所以工字型截面对Z轴的惯性矩为：四、组合截面的惯性矩与惯性积小结（1）静矩。静矩是截面对某轴的一次矩。静矩可正、可负、可为零，截面对形心轴的静矩为零。（2）形心。截面形心的计算公式：（3）惯性矩。惯性矩是截面对某轴的二次矩,惯性矩恒为正。（4）极惯性矩。极惯性矩是截面对某点的二次矩。极惯性矩恒为正。极惯性矩与惯性矩之间的关系为：小结（5）惯性积。惯性积是截面对相互垂直的一对坐标轴的二次矩。惯性积可正、可负、可为零。在一对坐标中，至少一个是对称轴时，惯性积恒为零。（6）组合截面静矩和惯性矩。组合截面对某轴的静矩、惯性矩等于各组成部分对同一轴的静矩、惯性矩的代数和，即6.3平行移轴公式一、平行移轴公式ACyzdAyzoba已知:(y、z轴过形心C)求解：代入定义式：ACyzdAyzoba同理00一、平行移轴公式

注意：（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴，截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系，应通过平行的形心轴惯性矩来换算；（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中，以对通过形心轴的惯性矩最小。一、平行移轴公式形心求图示面积为平面图形对轴和轴的惯性矩之间的关系是否为一、平行移轴公式二、主惯性矩由惯性积的定义可知同一图形对不同直角坐标轴的惯性矩和惯性积是不同的。则轴称为主惯性轴（主轴）。因此可以找到某一角度

以及相应的坐标系使得平面图形对于该对坐标轴的惯性积oyzAdAyz当主惯性轴通过图形形心时,该主惯性轴为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩讨论：(1)当截面有两个以上对称轴时，任一对称轴都是截面的形心主轴，且截面对任一形心轴的惯性矩都相等，如圆形、正方形、等边三角形等。

（2）若平面图形有两个对称轴，则此二轴均为形心主轴，如矩形、工字型。

（3）若平面图形只有一个对称轴，则该轴必为形心主轴，另一个形心主轴为通过截面形心且与对称轴垂直的轴，如T形截面等。

（4）若平面图形没有对称轴，可先求出平面图形的形心位置，进而求出通过形心的任意一对正交轴的惯性矩和惯性积，然后再利用转轴公式求得形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩。二、主惯性矩例3－6：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。解:(1)求形心C的坐标选参考坐标系yOz,如图所示形心轴yc与y轴的距离为zc组合截面的静矩组合截面的形心y20cm3173zycCIIIO平行移轴公式(2)求根据平行移轴公式20cm3173zycCIIICICIIy平行移轴公式例3-7：在圆形截面中挖去阴影圆形截面后试求图形对z轴的惯性矩。解：（1）如图建立参考坐标系yOz阴影圆对自身形心轴zc和yc的惯性矩为：小圆形心C到O的距离为：面积为：所以阴影圆对Z轴的惯性矩为整个图形对Z轴的惯性矩为：平行移轴公式6.4

回转半径回转半径任一平面图形，其面积为A。y,z为图形所在平面内的一对直角坐标轴。图形对y,z轴的惯性矩分别为、（单位：）为平面图形对z轴和y轴的回转半径或惯性半径，工程中、写为所以回转半径例3-8试计算矩形和圆形截面对形心主轴的回转半径。

解:（1）矩形矩形截面的对称轴为形心主轴，yzbhc所以（2）圆形圆形截面的任一直径轴都是形心主轴，所以cdyz回转半径小结（1）平行移轴公