高一（下）数学期末常考题型及答案

试题试题专题01高一下期末真题精选（23大题型）题型一平面向量的概念题型二平面向量的加减数乘运算题型三平面向量的数量积（重点）题型四向量的模题型五向量的夹角（易错）题型六向量的平行垂直关系（高频）题型七三角形个数问题（重点）题型八三角形周长（高频）（重点）题型九三角形面积问题（高频，重点）题型十三角形的实际应用（重点）题型十一复数的四则运算（易错）题型十二复数的模（高频）题型十三判断三角形形状（易错）题型十四复数的类型（难点）题型十五立体图形直观图（易错）题型十六空间几何体表面积与体积（高频，重点）题型十七空间直线平面的平行关系（高频，重点）题型十八空间直线平面的垂直关系（高频，重点）题型十九空间角（高频，重点）题型二十随机抽样（易错）题型二十一用样本估计总体（重点）题型二十二随机事件与概率题型二十三事件的相互独立性（重点）试题试题题型一平面向量的概念1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（

）个.A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（

）A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等3．（多选）（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则4．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（

）A．若，则，且、、、四点构成平行四边形B．若为非零实数，且，则非零向量与共线C．在中，若，则点一定在角的平分线上D．若向量，则与的方向相同或相反5．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（

）A．与相等 B．如果与平行，那么与相等C．与共线 D．如果与平行，那么或题型二平面向量的加减数乘运算1．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，点D在边上，且，设，，则（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（

）

A． B．1 C． D．27．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）若，，且三点共线，则为.8．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算：(1)；(2)．题型三平面向量的数量积1．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（

）A．2 B． C．1 D．2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（

）A．6 B． C．3 D．3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，，为坐标原点，向量，则=（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知向量，.若，则（

）A． B． C． D．16．（24-25高三上·海南三亚·期末）若向量，，且，则（

）A． B．2 C． D．17．（24-25高三上·河北·期末）在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则.题型四向量的模1．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知向量，满足，，且，则（

）A．1 B． C． D．22．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·广东·期末）已知向量满足，则（

）A．2 B．7 C． D．4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量，且在上的投影为，则（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·浙江金华·期末）已知向量与向量垂直，则（

）A．1 B． C． D．26．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量的夹角为，且，，则．7．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知向量，，若，则.题型五向量的夹角1．（24-25高三上·山东枣庄·期末）若，则与的夹角为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·江西吉安·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·安徽铜陵·期末）已知向量，满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．5．（24-25高三下·四川乐山·期末）已知向量，满足，，且，则，的夹角是.6．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）在同一平面内的三个向量，若.(1)若，求的坐标；(2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知，，，且.(1)求点P的坐标；(2)求实数t的值；(3)求的值.8．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量．(1)求；(2)设向量的夹角为，求的值．题型六向量的平行垂直关系1．（24-25高三下·广东广州·期末）已知向量，若，则实数（

）A． B．3 C．4 D．72．（24-25高三上·福建福州·期末）已知，若，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）设，向量且，则等于（

）A．9 B．3 C． D．4．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（

）A． B．0C． D．25．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知向量，若，则．6．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知平面向量.(1)若，求的值；(2)若求的值；(3)若向量，若与共线，求7．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知向量.(1)若，求；(2)若，求.8．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知向量，.(1)若，求实数x的值；(2)若，，求向量与的夹角.题型七三角形个数问题1．（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·广东梅州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（多选）（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（

）A． B．C． D．6．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在中，内角的对边分别为，若，满足该条件的三角形有两个，则的取值范围为.（用区间表示）题型八三角形周长1．（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B的大小；(2)若，的面积为，求的周长．2．（24-25高三上·云南德宏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，的面积为，求的周长．3．（24-25高三上·广东·期末）已知内角的对边分别为.(1)求的值；(2)若的面积为，且，求的周长.4．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，且.(1)求A;(2)若，的面积为，求的周长.5．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角、、所对的边为、、，已知.(1)求角的值；(2)若，的面积为，求的周长.6．（24-25高三上·广西河池·期末）记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．(1)求；(2)若，且边上的高为，求的周长．7．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求；(2)若，，求的周长.题型九三角形面积问题1．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知△中，是边上的点且，面积是面积的倍.(1)求的值；(2)若，，求和的面积.2．（24-25高三上·山东枣庄·期末）在中，为钝角，.(1)求；(2)若，求的面积.3．（24-25高三上·江苏·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角C的大小；(2)若，，求的面积4．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求(2)若的面积为，求5．（24-25高三上·江西·期末）如图，在平面四边形中，点E在上，且(1)求;(2)求的面积.6．（24-25高二上·云南昆明·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若c=4，△ABC的面积为，求a7．（24-25高二上·北京延庆·期末）在中，为钝角，，．(1)求；(2)若，求的面积．8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，.(1)求角的大小；(2)若，，求的面积.9．（24-25高三上·北京朝阳·期末）在中，．(1)求；(2)若，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.题型十三角形的实际应用1．（23-24高一下·辽宁大连·期末）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元.(1)求，两点间的距离；(2)设铺设电缆总费用为.①求的表达式；②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度.2．（23-24高一下·贵州黔东南·期末）如图，某景区有景点，经测量得，，.

(1)求景点之间的距离；(2)现计划从景点处起始建造一条栈道，并在处修建观景台.为获得最佳观景效果，要求观景台对景点的视角.为了节约修建成本，求栈道长度的最小值.3．（23-24高一下·吉林·期末）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，并在点C处测得塔顶A的仰角.

(1)求B与D两点间的距离；(2)求塔高.4．（23-24高一下·河北·期末）如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合．(1)求的长；(2)试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？5．（23-24高一下·广东·期末）已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行．(1)甲船航行3小时到达C处，求AC；(2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．6．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75，这时位于B点南偏西45且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.

(1)求B点到D点的距离；(2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.（参考数据：，，）题型十一复数的四则运算1．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知是虚数单位，且，则实数为（

）A． B．0 C．1 D．32．（24-25高三上·辽宁·期末）设，，为实数，，，方程的两个虚根，满足为实数，则的值为（

）A．1 B． C． D．3．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）若，则对应复平面内的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（24-25高三上·江苏·期末）复数（为虚数单位）的虚部是（

）A． B． C． D．5．（24-25高三下·四川乐山·期末）若复数，则（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·广西钦州·期末）设，则z在复平面内所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（多选）（24-25高二上·云南曲靖·期末）若（为虚数单位），在复平面内对应的点为，则（

）A．的实部为 B．的虚部为C． D．8．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知复数满足，则复数．9．（24-25高三上·福建泉州·期末）已知复数，则.10．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知，则.题型十二复数的模1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知，则（

）A． B． C．1 D．2．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知复数（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·广西钦州·期末）已知复数z满足，为z的共轭复数，则的最大值为（

）A．7 B．9 C．25 D．494．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）已知复数（i为虚数单位），则（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知复数，则（

）A．1 B． C．2 D．46．（24-25高三上·山西·期末）已知，，且，其中i是虚数单位，则（

）A．10 B． C．2 D．7．（24-25高三上·湖北·期末）已知，则（

）A．1 B． C． D．8．（24-25高三上·湖南娄底·期末）已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．9．（24-25高三上·重庆长寿·期末）已知复数，则（

）A．1 B． C．2 D．4题型十三判断三角形形状1．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别是若，且，则该三角形的形状是（

）A．三边均不相等的三角形 B．底边与腰不相等的等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形2．（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（

）A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形3．（23-24高一下·重庆·期末）已知的内角的对边分别是，且，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的形状为（

）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形5．（23-24高一下·北京通州·期末）在△中，角所对的边为，△的面积为S，且．(1)求角；(2)若，试判断△的形状，并说明理由．6．（23-24高三上·江西赣州·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)证明：；(2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．题型十四复数的类型1．（23-24高二上·西藏日喀则·期末）已知实部为正数的复数z满足，且复数为纯虚数．(1)求z；(2)若z是关于x的方程（）的根，求m和n的值．2．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）已知复数.(1)若复数的实部与虚部之差为0，求m的值；(2)若复数的共轭复数在复平面内的对应点在第一象限，求实数m的取值范围．3．（23-24高一下·四川雅安·期末）已知复数，（其中）.(1)若为实数，求的值；(2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值.4．（23-24高一下·天津东丽·期末）已知复数，m为实数.(1)若z是纯虚数，求m的值；(2)若复数z在复平面上对应的点在第二象限，求m的取值范围；(3)若，求的值.5．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中(1)若为纯虚数，求b的值；(2)若与互为共轭复数，求的值．6．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位．(1)若是纯虚数，求实数的值；(2)若，设，试求的值．题型十五立体图形直观图1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（

）A．4 B． C．8 D．2．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC的边AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·重庆·期中）已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·重庆·开学考试）如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（

）A． B． C． D．5．（多选）（2025·陕西西安·二模）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．四边形的面积为 D．四边形的周长为6．（24-25高二下·上海·开学考试）用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为．题型十六空间几何体表面积与体积1．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为3，则该三棱台的体积为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·山东枣庄·期末）已知直三棱柱.则直三棱柱的体积为（

）A．2 B． C．6 D．4．（2025·浙江·一模）将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·浙江宁波·期末）圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为，则圆台的体积为（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·江苏南通·期末）某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知某圆台的母线长为13，一个半径为6的球恰好与此圆台的各个面均相切，则这个圆台的体积为.8．（24-25高三下·四川乐山·期末）在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台外接球的表面积是.题型十七空间直线平面的平行关系1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在正三棱柱中，是棱的中点.(1)证明：平面；2．（24-25高三上·北京顺义·期末）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．

(1)求证：平面；3．（24-25高三上·山东威海·期末）如图，在以为顶点的多面体中，平面平面，为的中点

(1)证明：平面；4．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，.(1)证明：平面平面；5．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点.(1)证明：平面平面；6．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，为的中点，为的中点，为的中点，.

(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.7．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点，分别在线段，上，且，.(1)求证：平面8．（2025·广东茂名·一模）如图，中，分别为的中点，将沿着翻折到某个位置得到.(1)线段上是否存在点，使得平面，并说明理由；题型十八空间直线平面的垂直关系1．（23-24高一下·内蒙古·期末）如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证：(1)直线平面；(2)平面平面．2．（24-25高二上·湖北武汉·期末）如图，四棱锥中，四边形为直角梯形，，，点为中点，．(1)求证：平面；3．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点.(1)求点A到平面的距离；(2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱锥中，，M是线段上的点．(1)求证：平面平面；5．（24-25高三下·广东广州·期末）如图四棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且，，点在棱上.(1)求证：平面平面；6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，．(1)证明：；7．（24-25高二上·山西运城·期末）如图1，在直角梯形中，，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，点在线段上，且.(1)求证：；8．（24-25高二上·云南曲靖·期末）如图1所示，在平面图形中，已知，，，，现在将梯形沿着折起到空间一个新位置使得，连接，得到直观图，如图2所示．(1)求证：；(2)试在线段上求一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．题型十九空间角1．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）棱长为1的正四面体中，与平面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·安徽宿州·期末）四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，则平面与平面夹角的余弦值为.3．（24-25高三上·河北石家庄·期末）如图，在三棱柱中，平面，平面平面．

(1)证明：平面；(2)若，，，求直线与平面所成的角的正弦值．4．（24-25高二上·浙江金华·期末）如图，把矩形纸片ABCD沿BM折成直二面角，其中，M为AD的中点．(1)若点Q为线段的中点，求证：∥平面．(2)求直线与平面所成角的正弦值．5．（24-25高二上·广东·期末）如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，.(1)求证：;(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正切值.6．（24-25高二上·江苏苏州·期末）如图，在三棱锥中，已知平面平面ABC，，D，E分别是棱PA，PC的中点，，，三棱锥的体积为．(1)求直线BD与直线CP所成角的大小；(2)求平面BDE与平面ABC的夹角的余弦值．7．（24-25高二上·上海浦东新·期末）如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小.8．（24-25高二上·广东肇庆·期末）如图，在三棱锥中，平面．(1)求证：平面；(2)求二面角的大小．9．（24-25高三上·浙江杭州·期末）如图，三棱锥的底面是边长为2的正三角形ABC，且，平面平面(1)证明：平面(2)若BC与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.10．（2025高三·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，点分别为，的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．题型二十随机抽样1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取（

）A．40人 B．28人 C．12人 D．8人2．（24-25高一上·甘肃庆阳·期末）某班有男生27人，女生18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽取5人参加跑步接力赛，则男生被抽取的人数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25高二上·四川广元·期末）某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲、乙、丙三个品种牛的头数分别为（

）A．6，18，36 B．6，20，34 C．10，18，32 D．10，20，304．（24-25高一上·贵州·期末）某校男生与女生人数之比为，为了解该校学生的体重情况，按性别采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽样120人进行调查，则该校女生被抽取的人数是（

）A．24 B．48 C．36 D．565．（24-25高二上·四川巴中·期末）某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（

）A． B．C． D．6．（23-24高一下·陕西·期末）中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为200，则中卷录取人数为（

）A．150 B．110 C．70 D．207．（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（

）A．100名学生是个体B．样本容量是100C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本D．1000名学生是样本8．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期末）一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取人．题型二十一用样本估计总体1．（24-25高三上·云南楚雄·期末）按从小到大排列的一组数据的分位数为（

）A．96 B．96.5 C．97 D．97.52．（24-25高一上·江西宜春·期末）数据的平均数是5，则数据的平均数是（）A．9 B．5 C．10 D．43．（24-25高三上·辽宁·期末）2024年巴黎奥运会奖牌榜前8名的金牌数依次为40，40，20，18，16，16，14，12，这组数据的下四分位数为（

）A．13 B．13.5 C．15 D．15.54．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）数据53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位数是（

）A．67 B．42 C．62 D．785．（多选）（24-25高一上·山东日照·期末）已知一组样本数据：2，2，0，2，4，1，3，则下列关于该组样本数据说法正确的是（

）A．极差是4 B．众数不等于平均数C．方差是 D．分位数是36．（多选）（24-25高二上·云南曲靖·期末）小王，小李两位同学在6次考试中数学成绩（满分100）分别为：小王68，73，72，73，70，94；小李52，72，96，83，72，75，则下列说法正确的是（

）A．小王和小李在6次考试中的平均分相同 B．小王成绩的极差大于小李成绩的极差C．小王成绩的众数大于小李成绩的众数 D．小李成绩比小王成绩更稳定7．（多选）（24-25高二上·安徽·期末）已知样本数据，则这组数据的（

）A．众数为9 B．平均数为5C．分位数为 D．方差为8．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为．9．（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知数据的平均数为3，方差为1，则数据，，，…，的平均数与方差的和为．10．（23-24高一下·云南昭通·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）.(1)求a的值；(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）；(3)估计该校学生的数学成绩的第70百分位数（结果保留两位小数）.11．（24-25高一上·山东威海·期末）研究小组经过研究发现某种病毒的感染者与未感染者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到感染者和未感染者该指标的频率分布直方图如下：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将感染者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未感染者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)求频率分布直方图中的值及未感染者该指标的中位数；(2)当漏诊率时，求临界值和误诊率；(3)设函数，当时，求的解析式，并求在上的最小值．12．（24-25高二上·四川·期末）2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中．(1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗?(3)四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差．13．（24-25高一上·陕西·期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值与样本成绩的第80百分位数；(2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？(3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．14．（24-25高一上·辽宁大连·期末）某公司生产A、B两种型号电动汽车电机，为了了解电机的某项指标，从这两种电机中各抽取100台进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：假设数据在组内均匀分布，以样本估计，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)估计B型电机该项指标的平均值（同一组数据用该组区间中点值为代表）；(2)从A型电机指标在内采用分层抽样方式抽取2件，B型电机指标在内采用分层抽样方式抽取4件，再从这6件中任意抽取2件，求指标在和内各抽取1件的概率；(3)根据检测结果确定该项指标的一个临界值m，且，某汽车厂准备用A、B两种型号电机生产C牌和D牌汽车各1万辆，有以下两种方案可供选择：方案一：将A型电机用于生产C牌汽车，其中该指标小于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失7000元；将B型电机用于生产D牌汽车，其中该指标大于等于临界值m的电机会导致每台汽车损失3000元；方案二：重新检测所用的电机，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需1010万元.请从汽车厂节约成本的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由.题型二十二随机事件与概率1．（24-25高一上·江西吉安·期末）吉安，有“吉泰民安”之美誉，拥有丰富的历史文化底蕴和秀丽的自然风光.小明准备在寒假期间前往吉安旅游，他计划用三天时间游览“武功山”、“钓源古村”、“后河梦回庐陵”这三个景点，一天只能游览一个景点，如果按照任意次序排出游览顺序表，则第一天游览“武功山”或“钓源古村”的概率为.2．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？(2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．(3)从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率．3．（24-25高一上·江西宜春·期末）宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区.为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求的值；(2)满意度评分位列前的游客将发纪念品，试估计获得纪念品的分数至少为多少分；(3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.4．（24-25高一上·山东日照·期末）从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组的人数为4.(1)求第七组的频率，并估计该校800名男生身高的平均数（同组中的数据都用该组区间的中点值代替）；(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，求抽取的两名男生在同一组的概率.5．（24-25高二上·广西钦州·期末）某学校举办了一场趣味知识竞赛，将100名参赛学生的成绩（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中m的值，并估计这100名参赛学生的成绩的中位数；(2)若从竞赛成绩在[80，90），[90，100]内的两组学生中用分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中任意抽取2人代表学校参加竞赛，求抽取的2人中至少有1人的成绩在[90，100]内的概率.6．（24-25高二上·云南昆明·期末）某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，获得了他们一周参与主题教育活动时间（单位：h）的频率分布直方图如图所示内的人数为92．(1)求n的值；(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数（中位数精确到0.01）．(3)如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率．7．（24-25高一上·河南焦作·期末）某林场在海拔（单位：米）0至2500米内均种植树木，从中随机抽取100棵树，将其海拔分布情况绘制成如图所示的频率分布直方图，再从海拔在的树中采用分层随机抽样的方式抽取5棵深入检查，用频率估计概率．(1)根据频率分布直方图，估计该林场树木海拔的中位数；(2)从参与深入检查的5棵树中随机选择3棵，求有且仅有2棵海拔在内的概率．8．（24-25高三上·重庆长寿·期末）口袋中装有3个不同的红球，2个不同的白球，从口袋中不放回地随机取出两个球．(1)共有多少种取法？(2)求取出的2个球颜色不同的概率.9．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在（单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：(1)根据频率分布直方图计算该样本的中位数；(2)现按分层抽样的方法从质量为），的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在内的概率；(3)某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售．经销商提出如下两种收购方案：方案A：所有水果以10元/千克收购；方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购．假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？10．（23-24高一上·北京怀柔·期末）亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数；(3)若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率．题型二十三事件的相互独立性1．（24-25高一上·山东威海·期末）现有甲，乙两支篮球队进行比赛，甲队每场获胜的概率为，且各场比赛互不影响．若比赛采用“三局两胜”制，则甲队获得胜利的概率为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·山东日照·期末）已知事件A，B相互独立，且，，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·山西太原·期末）已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件为“所抽袋子里有红球”，事件为“所抽袋子里有白球”，事件为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立C．事件与事件相互对立 D．事件与事件相互独立4．（24-25高一上·陕西汉中·期末）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（）A．事件与事件互斥 B．C．事件与事件互斥 D．5．（24-25高二上·河南南阳·期末）已知事件A，B互斥，，且，则（

）A． B． C． D．6．（多选）（24-25高二上·浙江舟山·期末）已知为随机事件，，则下列结论正确的有（

）A．若为互斥事件，则 B．若为互斥事件，则C．若相互独立，则 D．若相互独立，则7．（多选）（24-25高一上·湖南衡阳·期末）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（

）

A．事件B与C互斥 B．C．事件A与C相互独立 D．8．（24-25高二上·四川凉山·期末）翱翔蓝天，报效祖国是很多有志青年的梦想，而实现这个梦想，需要依次通过五关：目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是，他们能通过文考关的概率分别是，若后三关之间通过与否没有影响．(1)求甲、乙都能进入政审这一关的概率；(2)求甲、乙、丙三位同学中恰好有两个人通过复检的概率．9．（24-25高二上·云南曲靖·期末）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行评估，并据此制订针对性的教学方案．该校从初一、初二、初三三个年级的学生中各随机抽取6人进行模拟测试，测试结果显示初一、初二、初三年级学生成绩优秀的占比分别为，，．(1)为了解学生对英语人机测试的真实感受，从测试成绩优秀的学生中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人恰好来自两个年级的概率；(2)若某学生每次测试成绩优秀的概率为，且每次测试相互独立，互不影响，求该学生测试3次至少有2次测试成绩优秀的概率．10．（24-25高二上·山东淄博·期末）在某次1500米体能测试中，甲，乙，丙三人各自通过测试的概率分别为，甲，乙，丙三人是否通过测试互不影响，求:(1)只有2人通过体能测试的概率；(2)至少有1人通过体能测试的概率.专题01高一下期末真题精选（23大题型）题型一平面向量的概念题型二平面向量的加减数乘运算题型三平面向量的数量积（重点）题型四向量的模题型五向量的夹角（易错）题型六向量的平行垂直关系（高频）题型七三角形个数问题（重点）题型八三角形周长（高频）（重点）题型九三角形面积问题（高频，重点）题型十三角形的实际应用（重点）题型十一复数的四则运算（易错）题型十二复数的模（高频）题型十三判断三角形形状（易错）题型十四复数的类型（难点）题型十五立体图形直观图（易错）题型十六空间几何体表面积与体积（高频，重点）题型十七空间直线平面的平行关系（高频，重点）题型十八空间直线平面的垂直关系（高频，重点）题型十九空间角（高频，重点）题型二十随机抽样（易错）题型二十一用样本估计总体（重点）题型二十二随机事件与概率题型二十三事件的相互独立性（重点）题型一平面向量的概念1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（

）个.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知识点】平行向量（共线向量）【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可.【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确；对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误；对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确.故选：C2．（23-24高一下·广东惠州·期末）下列命题中正确的是（

）A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量C．若为实数，则向量与方向相同 D．单位向量的模都相等【答案】D【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量共线定理证明点共线问题【分析】对于A：根据向量以及零向量的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据单位向量的定义分析判断.【详解】对于选项A：根据向量的定义可知：任意向量均有方向，且规定零向量的方向是任意的，故A错误；对于选项B：例如，是非零向量，可知是共线向量但不是相等向量，故B错误；对于选项C：例如是非零向量，且，可知向量与方向相反，故C错误；对于选项D：根据定义可知：单位向量的模均为1，所以单位向量的模都相等，故D正确；故选：D.3．（多选）（24-25高三上·湖北随州·期末）下列命题正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则【答案】BCD【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）【分析】A.由零向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.根据，都是单位向量判断；D.由向量相等的定义判断.【详解】A.零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B.由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C.因为，都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与反向共线时才成立，故C正确；D.由向量相等的定义知D正确；故选：BCD.4．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）下列说法中正确的是（

）A．若，则，且、、、四点构成平行四边形B．若为非零实数，且，则非零向量与共线C．在中，若，则点一定在角的平分线上D．若向量，则与的方向相同或相反【答案】BC【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量）【分析】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C.【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误；对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确；对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误.故选：BC5．（多选）（23-24高一下·陕西渭南·期末）已知，为两个单位向量，则下列四个命题中错误的是（

）A．与相等 B．如果与平行，那么与相等C．与共线 D．如果与平行，那么或【答案】ABC【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量）【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断.【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误；B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线，当它们反向共线时，与不相等，B选项错误；C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误；D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线，即或，D选项正确.故选：ABC.题型二平面向量的加减数乘运算1．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知点为平行四边形对角线的交点，点为空间任意一点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】向量加法的法则【分析】根据向量加法运算可解.【详解】由平行四边形法则得到：,同理得：,两式相加得：.故选：D.2．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】用基底表示向量、向量加法的法则【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可得.【详解】设，则，又，所以，因为三点共线，所以，解得，所以.故选：B3．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则【分析】根据向量加减运算可得结果．【详解】，故选：B．4．（24-25高三上·湖南娄底·期末）在中，点D在边上，且，设，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.【详解】因为点D在边上，且，所以.故选：C.5．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法法则的几何应用【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.【详解】依题意，故选：D6．（23-24高一下·云南大理·期末）如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（

）

A． B．1 C． D．2【答案】B【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式求积的最大值【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最大值.【详解】根据题意，，所以又，所以因为三点共线，所以，即，由图可知，，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为1.故选：B.

7．（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）若，，且三点共线，则为.【答案】/【知识点】已知向量共线（平行）求参数【分析】根据共线向量定量列方程求解即可.【详解】因为三点共线，所以存在唯一实数，使，所以，所以，解得.故答案为：8．（23-24高一下·河南郑州·期末）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解；（2）由向量的数乘运算计算可得.【详解】（1）易知；（2）计算可得.题型三平面向量的数量积1．（24-25高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、用基底表示向量【分析】，利用向量数量积公式计算出结果.【详解】边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，故，.故选：D2．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知正六边形的边长为2，点为线段的中点，则的值为（

）A．6 B． C．3 D．【答案】C【知识点】用定义求向量的数量积【分析】根据平面向量向量积的计算公式计算求解即可.【详解】因为正六边形的边长为2，点为线段的中点，所以，，，所以，故选：C3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知点，，为坐标原点，向量，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示【分析】设点坐标，然后得到向量坐标，由得到方程组，求出点坐标，即可得到.【详解】设，则，，∵，∴，解得，即，∴.故选：A.4．（24-25高三上·浙江绍兴·期末）已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求投影向量【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得.【详解】由题意：.故选：C5．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知向量，.若，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示【分析】根据向量数乘和加法的坐标运算求出的坐标，再根据向量数量积的坐标运算列出关于的方程，最后解方程求出的值.【详解】已知，可得.又已知，得.已知，得，解得.故选：A6．（24-25高三上·海南三亚·期末）若向量，，且，则（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数【分析】借助向量的线性运算及共线的坐标运算求得，结合数量积坐标运算计算可得.【详解】因为向量，，所以，由，可得，故，即，则.故选：C.7．（24-25高三上·河北·期末）在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则.【答案】12【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律、向量加法的法则【分析】运用向量数量积的运算，结合向量三角形法则直接计算即可.【详解】在中，因为D是边BC的中点，所以，又，所以，所以.又因为，所以，所以.故答案为：12.题型四向量的模1．（24-25高三下·江苏扬州·期末）已知向量，满足，，且，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示【分析】根据模长公式以及向量垂直的关系，即可联合求解.【详解】解：由已知，即，又,则，解得，故，故选：D2．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）若不共线的平面向量，，两两夹角相等，且，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、数量积的运算律【分析】根据不共线的平面向量，，两两夹角相等得出夹角为，平方应用数量积计算模长即可.【详解】向量，，两两所成的角相等且不共线，向量，，两两夹角为，，则，故选：3．（24-25高三上·广东·期末）已知向量满足，则（

）A．2 B．7 C． D．【答案】D【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模【分析】先根据向量的运算化简，再平方应用数量积公式计算求出模长即可.【详解】因为，则，左右两边平方得，计算得，又因为，所以，所以.故选：D.4．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知向量，且在上的投影为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】坐标计算向量的模、求投影向量【分析】借助投影向量定义计算可得，则可得，再借助模长公式计算即可得.【详解】，故，则，故.故选：A.5．（24-25高三上·浙江金华·期末）已知向量与向量垂直，则（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示【分析】由向量的数量积为零得到，再由向量模长的运算结合同角的三角函数关系求解.【详解】由题意可得，所以.故选：C.6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量的夹角为，且，，则．【答案】【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模【分析】借助向量模长与数量积的关系以及向量的数量积公式计算即可得.【详解】.故答案为：.7．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知向量，，若，则.【答案】2或4【知识点】利用坐标求向量的模【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式，可得答案.【详解】由题意，得，则，解得或4.故答案为：或.题型五向量的夹角1．（24-25高三上·山东枣庄·期末）若，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式求解.【详解】由，得，即，而，因此，而，所以.故选：C2．（24-25高三上·江西吉安·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算【分析】根据垂直关系的向量表示可得，即可得出结果.【详解】由可得，由于，可得，解得，由于，因此．故选：D3．（24-25高三上·陕西商洛·期末）已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量夹角的计算【分析】根据数量积的几何意义可得，再代入夹角公式运算求解即可.【详解】因为向量在向量方向上的投影向量是，则，设非零向量的夹角为，根据题意可得，且，所以．故选：A.4．（24-25高三上·安徽铜陵·期末）已知向量，满足，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角.【详解】设，，因为，，所以，解得，所以，，，则，因为，则．故选：B5．（24-25高三下·四川乐山·期末）已知向量，满足，，且，则，的夹角是.【答案】【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算【分析】根据向量的夹角公式结合已知条件求解即可.【详解】由得，，即，据此可得：，，又与的夹角的取值范围为，故与的夹角为故答案为：6．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）在同一平面内的三个向量，若.(1)若，求的坐标；(2)若，且与垂直，求与的夹角的余弦值.【答案】(1)或(2)【知识点】向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量模的坐标表示、由向量共线（平行）求参数【分析】（1）利用共线向量定义得，再利用向量模长的坐标表示得到方程，解出即可；（2）根据向量垂直得，展开代入数据计算得，最后利用向量夹角余弦值的公式即可.【详解】（1），，其中，，或.（2）与垂直，，于是，，，.7．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知，，，且.(1)求点P的坐标；(2)求实数t的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【知识点】向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示即可得解；（2）利用向量线性运算与向量数量积的坐标表示即可得解；（3）利用向量夹角的坐标表示即可得解.【详解】（1）依题意，设，因为，，所以，则，解得，所以点的坐标为.（2）因为，所以，，又，所以，解得.（3）因为，所以，则，，所以.8．（23-24高一下·福建福州·期末）已知向量．(1)求；(2)设向量的夹角为，求的值．【答案】(1)(2)【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模；（2）直接利用向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）由可得，，即，

所以，所以；（2）因为，

所以．题型六向量的平行垂直关系1．（24-25高三下·广东广州·期末）已知向量，若，则实数（

）A． B．3 C．4 D．7【答案】D【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示【分析】根据平面向量的坐标运算可得结果.【详解】∵，∴，∵，∴，解得.故选：D.2．（24-25高三上·福建福州·期末）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示【分析】根据向量线性运算的坐标表示与向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为，所以，又因为，所以，即，解得.故选：B.3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）设，向量且，则等于（

）A．9 B．3 C． D．【答案】C【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示【分析】根据求出关于和的关系式，根据求出和，求出，求出.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，，所以，所以.故选：C.4．（24-25高三上·北京顺义·期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（

）A． B．0C． D．2【答案】A【知识点】向量垂直的坐标表示【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值.【详解】因为且与垂直，故，故，故选：A5．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知向量，若，则．【答案】【知识点】向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示【分析】根据向量线性运算坐标公式求，再由结合向量垂直的坐标表示列方程求.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：.6．（24-25高二上·广西南宁·期末）已知平面向量.(1)若，求的值；(2)若求的值；(3)若向量，若与共线，求【答案】(1)(2)(3)18【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模【分析】（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案；（2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案；（3）由向量的坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案.【详解】（1）因为，所以，则，解得，故，.（2）因为，所以，则，.（3），，若与共线，则，解得，即，故.7．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知向量.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【知识点】正弦函数图象的应用、由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可；（2）根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】（1）若，则，显然不合题意，则，因为，所以.（2）若，则，显然不合题意，则，因为，所以.8．（23-24高一下·广东潮州·期末）已知向量，.(1)若，求实数x的值；(2)若，，求向量与的夹角.【答案】(1)(2)【知识点】向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示列出方程，解方程即可；（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解.【详解】（1）已知，因为，所以，解得；（2）因为，又，所以，解得，所以.所以，因为，所以.题型七三角形个数问题1．（23-24高一下·广东广州·期末）的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】正弦定理判定三角形解的个数【分析】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得.【详解】由正弦定理，得，则，由于有唯一解，则或，解得或，所以整数构成的集合为.故选：C2．（23-24高一下·河北张家口·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若有两解，则b的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】正弦定理判定三角形解的个数【分析】根据题意得到三角形有两解的条件，进而得解.【详解】三角形中，，如图，当有两解时，，即，即.故选：A.3．（23-24高一下·广东梅州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】正弦定理判定三角形解的个数【分析】要使得三角形有两解，需要满足且.【详解】由正弦定理可得：，要使得三角形有两解，需要满足且，解得.故选：A4．（23-24高一下·陕西榆林·期末）在中，角的对边分别为，，，若，，只有一个解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理判定三角形解的个数【分析】利用正弦定理求外接圆半径，结合圆的性质分析求解.【详解】的外接圆的半径，如图所示，,是圆的直径.可知点在优弧上（不包括端点），当为时，此时取到最大值；当点从点A到时，此时越来越大，且；当点从点到C时，此时越来越小，且；综上所述：若只有一个解，则的取值范围为.故选：D.5．（多选）（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知识点】正弦定理判定三角形解的个数【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确；对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确；对于C，由正弦定理，可得，，因，则,因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误；对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确.故选：ABD.6．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）在中，内角的对边分别为，若，满足该条件的三角形有两个，则的取值范围为.（用区间表示）【答案】【知识点】正弦定理判定三角形解的个数【分析】依题意可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点，即可得.【详解】根据题意画出图形如下所示：

由，即可得点到边的距离的最小值为；因为符合题意的三角形有两个，可知以为圆心，为半径的圆与边有两个交点，所以可得，故答案为：.题型八三角形周长1．（23-24高一下·内蒙古·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求B的大小；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用【分析】（1）用正弦定理将边化为角，再利用展开化简即可求解；（2）由面积可得，由余弦定理可得，解方程即可求出，进而可求周长.【详解】（1）由题意得，因为，所以，得，得，因为，所以．（2）由，得．由余弦定理，得，得，得，所以的周长为．2．（24-25高三上·云南德宏·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式进行化简求值；（2）由三角形的面积公式和余弦定理求出和，进而求出△ABC的周长．【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为角A，B，C为的内角，即，则，，可得，所以.（2）因为，则，所以