高中二年级数学《变化率问题（1）》

变化率问题（1）年级：高二学科：数学（人教A版）主讲人：

学校：

微积分的创立物体的运动曲线的切线函数的最大（小）值长度、面积、体积和重心

牛顿（IsaacNewton，1643年－1727年），英国物理学家、数学家.莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646年－1716年），德国哲学家、数学家.问题1

高台跳水运动员的速度

在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．

如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？

把整个运动时间段分为许多小段，用运动员在每段时间的平均速度近似描述他的运动状态

.问题1

高台跳水运动员的速度追问1：如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？两段时间分别为0≤t≤0.5和1≤t≤2.于是有：追问1：如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？追问2：如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？时间段为t1≤t≤t2，因此有追问3：计算运动员在0≤t≤这段时间的平均速度，你发现了什么？

运动员的平均速度，只关注了从初始到终止这个时间段的情况，忽略了中间运动过程，因此不能准确刻画运动员的运动状态.

瞬时速度追问4：你认为用0≤t≤这段时间的平均速度，近似描述运动员在这段时间内的运动状态，有什么问题呢？问题2瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在t＝1s时的瞬时速度吗？平均速度缩短时间段长度瞬时速度v(t0)

在t＝1之后或之前，任意取一个时刻1＋Δt.当Δt＞0时，1＋Δt在1之后，在[1，1＋Δt]这段时间，有

在t＝1之后或之前，任意取一个时刻1＋Δt.当Δt＜0时，1＋Δt在1之前，在[1＋Δt，1]这段时间，有Δt＞0时，［1，1＋Δt］Δt＜0时，［1＋Δt，1］

当Δt趋近于0时，平均速度趋近于－5.追问1：给出Δt更多的值，利用信息技术工具计算更多的平均速度的值.当Δt无限趋近于0时，平均速度

有什么变化趋势？

无论Δt的正负，只要无限趋近于0，也就是时间间隔不断变小，平均速度都无限趋近于－5.追问2：你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？

计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征，需要从更加理性的角度加以说明.

因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在时间段[1，1＋Δt]（或[1＋Δt

，1]）的平均速度为

当Δt无限趋近于0时，－4.9Δt也无限趋近于0，所以无限趋近于－5.

我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时，

的极限”，记为追问3：你能用上述方法，计算当t＝2s时的瞬时速度吗？

因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在时间段[2，2＋Δt]（或[2＋Δt

，2]）的平均速度为所以问题3你能推导出任意时刻t0时瞬时速度的表达式吗？

因为h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11，所以运动员在时间段[t0，t0＋Δt]（或[t0＋Δt

，t0]）的平均速度为所以

通过不断缩小时间间隔，用平均速度逼近得到了瞬时速度.瞬时速度是平均速度当时间间隔无限趋近于0时的极限.

无限逼近的极限思想，是微积分学的基础.

高台跳水运动员起跳后的运动状态(1)平均速度：(2)瞬时速度：(3)极限的含义.2研究方法问题4

回顾本节课的探究过程，你学到了什么？无限逼近的极限思想课后作业1．某物体从10m高处做自由落体运动，ts时该物体距离地面高度（单位：m）为h(t)＝－4.9t2＋10．求该物体在t＝1时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状