14.3角的平分线（ 角平分线的判定定理）跟踪练习 初中数学人教版（2024）八年级上册（含答案）

14.3角的平分线（角平分线的判定定理）跟踪练习初中数学人教版（2024）八年级上册一、单选题1．如图，AD是ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DM，ADM和AED的面积分别为58和40，则EDF的面积为（）A．11 B．10 C．9 D．82．如图，在和中，，连接，交于点F，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（）

A． B． C． D．4．如图，在中，，，的角平分线与外角的角平分线交于点，连接．则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是2，3，4，其三条角平分线交于点O，并将△ABC分为三个三角形，则等于（

）A．2∶3∶4 B．1∶2∶3 C．1∶1∶1 D．4∶9∶167．如图，点在内部的一条射线上，于点，且．已知点到射线的最小距离为4，且，则的度数为（

）A． B． C． D．8．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论错误的是（

）A． B． C．平分 D．9．如图，点是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．10．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为．12．如图，在中，，平分交于点D．若，且，，则的面积是．13．如图，，平分，平分，若，则．

14．如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为．15．如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为．16．如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是．17．从一个角的顶点出发的两条射线，如果把这个角分成三个相等的角，则这两条射线就叫这个角的三等分线．如图，在中，点是与三等分线的交点，若，则的度数是．三、解答题18．如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分．19．如图，已知分别是三边上的点，，且的面积与的面积相等．求证：平分．

20．如图，要在河流的右侧、公路的左侧区建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点处的距离为（指图上距离）的地方，则图中工厂的位置应选在哪里？画图并说明理由．

21．如图，在中，和的平分线相交于点，，连接．

(1)求的度数；(2)求证：平分．22．角平分线判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．符号语言：，，，点在的平分线上．(1)小明认为“，”这两个条件可以替换为“”，结论仍成立．即，若、两点分别在的两边、上，，点在的内部，，则点在的平分线上，请你给出证明．(2)小红认为“，”这两个条件可以直接去掉，结论也成立．即，若点在的内部，，则点在的平分线上．小红的想法对吗？若对请给出证明，若错请用直尺和圆规作出反例．（尺规作图写出必要的文字说明或作图步骤）(3)尺规作图：用三种方法作的角平分线．（写出必要的文字说明或作图步骤）．

参考答案题号12345678910答案CCBCBACDBB1．C【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DMH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△DEF＝S△DMH，然后列式求解即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DMH中，DF＝DH，DE＝DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMH（HL），∴S△DEF＝S△DMH，∵△ADM和△AED的面积分别为58和40，∴△EDF的面积＝×（58﹣40）＝9．故选：C．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2．C【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．先由证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，可判断①正确；设交于点，因为，所以，可判断②正确；作于点于点，由得，则，即可证明平分，可判断④正确；假设，则，所以，由，得，即可推导出，得，与已知条件相矛盾，可判断③错误，于是得到问题的答案．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴，∴，故①正确；设交于点G，∴，故②正确；作于点于点J，∵，∴，又，∴，∴点A在的平分线上，∴平分，故④正确；假设，则，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，与已知条件相矛盾，∴，故③错误，∴①②④这3个结论正确，故选：C．3．B【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出．【详解】解：作于N，∵，∴，∴，∵平分，，，∴，∵M是的中点，∴，∴，又，，∴，故选：B．

4．C【分析】本题考查的是角平分线的性质，作交的延长线于，于，交的延长线于，根据角平分线的性质和判定得到平分求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【详解】解：作交的延长线于，于，交的延长线于，如图：∵平分，平分，∴，，∴，又，，∴平分，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，又平分，∴，∴，∴，∴，故选：．5．B【分析】本题考查了角平分线的定义、角平分线的性质和判定、三角形外角的定义及性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键．作于，于，于，根据角平分线的性质可得，再由三角形外角的性质及角平分线的定义可得，即可得到答案．【详解】解：如图，作于，于，于，

，平分，，，，，,，，，平分，，，，，平分，，平分，，，故选：B．6．A【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是2，3，4，所以面积之比就是2：3：4．【详解】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵点O是三条角平分线的交点，∴OE=OF=OD，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD=AB：BC：AC=2：3：4，故选：A．【点睛】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式．利用角平分线的性质得到三个三角形的高相等是解题的关键．7．C【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，由题意得出点到两边的距离相等，从而得出射线是的角平分线，即，求出，即可得出答案，熟练掌握角平分线的判定与性质是解此题的关键．【详解】解：于点，且，到射线的最小距离为4，点到两边的距离相等，射线是的角平分线，，，，，故选：C．8．D【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的判定，首先证明，再在此基础上逐个去判断即可．【详解】，，即．在和中，，故选项A正确；，．，．，，故选项B正确；如图，过点作于点于点．，，，，，平分，故选项C正确；平分，，即，，故选项D错误．故选：D．9．B【分析】过点D作，，根据已知由面积比可求出，由此判定平分，即可得出．【详解】解：如图，过点D作，，

∵与的面积比是，，，∴又∵，，∴，∴平分，∴．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线性质和判定，根据面积比求边长比从而得出是解题关键．10．B【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF=DE=8，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=1，∴DE=EF=1，∵BC=4，∴故选:B【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出EF=DE=8是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．11．12【分析】过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得OD＝OE＝OF，再根据三角形面积计算即可得解．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠ABC、∠ACB的平分线，OD⊥BC，OE⊥AB于E，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF，∵，∴OD＝OE＝OF＝2，∵△ABC的周长为12，∴△ABC的面积＝（AB+BC+AC）×2＝×12×2＝12．故答案为：12．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记角平分线的性质是解题的关键．12．【分析】作于点E，如图所示，根据角平分线的性质，可以得到，然后根据，且，可以得到的长，从而可以得到的长，再根据的长，即可计算出的面积．【详解】解：作于点E，如图所示，∵平分，，∴，∵，且，∴，∴，∵，，∴的面积是：，故答案为：．【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答．13．【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可．【详解】如图，过点作于，

∵，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，同理：，设，，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．14．/70度【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．【详解】解：连接，过作，如图所示：∵平分，平分，，∴平分，∴，∵平分，平分，∴，，，∴，∴，∵将纸片沿折叠，点A落在点处，∴，∴，，∴，是的一个外角，∴，故答案为：．15．/135度【分析】本题考查角平分线的判定，根据点到三边的距离相等，得出点在的角平分线上，即可得解．解题的关键是掌握：到角两边距离相等的点在角的平分线上．【详解】解：∵点到三边的距离相等，∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的度数为．故答案为：．16．/48度【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到，过点E作交延长线于F，作于G，作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出是的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．【详解】解：∵和的角平分线相交于点E，∴，由三角形的外角性质得，，，∴，∴，整理得，，∵，∴，过点E作交延长线于F，作于G，作于H，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴是的平分线，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出是外角的平分线．17．50【分析】本题考查了角的等分线计算，正确理解定义是解题的关键．设，，根据三等分线的性质，角的平分线的判定，三角形内角和定理计算即可．【详解】设，，∵点是与三等分线的交点，∴，，∵，，∴，∴，∴，如图，过点N作于G，于E，于F，∵点是与三等分线的交点，∴平分，平分，∴，∴，∴平分，∴，故答案为：50．18．见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论．【详解】证明：D是的中点，，，，，在和中，，，，又，，平分．19．见解析【分析】过点作于点，于点，根据的面积与的面积相等得，根据得，根据，即可得．【详解】证明：如图所示，过点作于点，于点，

∵的面积与的面积相等．，，又，平分．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，解题的关键是掌握角平分线的判定定理．20．见解析【分析】先根据角平分线的尺规作图方法作出图，再根据角平分线的性质即可得到答案．【详解】解：如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交内部于点，作射线，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则点即为所求，

，理由：由作图步骤可知，是的角平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，上的点到的距离相等，，工厂应该选在点处．【点睛】本题主要考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图方法以及角平分线的性质是解题的关键．21．(1)(2)见解析【分析】（1）根据角平分线的性质得，，，根据角之间的关系得，即可得；（2）过点作，，垂足分别为，根据角平分线的性质得，，根据即可得．【详解】（1）解：∵分别平分，，∴，，∴，∴；（2）证明：如图，过点作，，垂足分别为．

平分，，同理得．．又，平分．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．22．(1)见解析(2)错误，见解析(3)见解析【分析】（1）证明，推出，即可；（2）小红的想法错误．画一个反例即可；（3）如图3中，在，上截取，分别以，为圆心，适当的长为半径作