数学建模入门教材-建模之声教材资料文档

数学建模入门教材

建模之声

主编：李坤张美

安徽工程大学

大学生数学建模协会

内容提要

全书共分为五篇，以通俗易懂的文字介绍了数学建模的基础知识及相关情况。其中第

一篇简单介绍数学建模以及我校数学建模协会的相关情况；第二篇系统介绍了各类数学模

型建模的常用方法以及论文的写作、格式等；第三篇简单介绍数学建模常用软件；第四篇

收录三篇我校大学生撰写的优秀论文；第五篇收集历年来的大型建模竞赛赛题作为练习。.

本书具有较强的实用性和针对性，为数理学院建模教练组老师授课的学生用书，能很好的

锻炼建模必备技能，书中根据大部分阅读者是初次接触建模的实际情况，尽可能的将复杂

的问题简单化，抽象的问题具体化，这也是本书作为数学建模入门教材的一大特色。

由于书中内容浅显易懂，方法实用灵活，所以不失为一本建模入门的好教材，木书部分

内容也可为MCM培训及数学应用提供有益的参考价值，对于广大数学爱好者是一本好的

工具书。

《建模之声》

李坤［张美~~iS

（内部资料不得翻印）

2000年10月第一版2000年10月第一次印刷

20XX年10月第二版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第三版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第四版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第五版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第六版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第七版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第八版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第九版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第-I^一版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十二版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十三版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十三版20XX年10月第一次印刷

20XX年10月第十三版20XX年10月第一次印刷

印数：3150—3350册

第2页，共121页

-XX.-

刖5

我们身边的模型无处不在，而照片就是反映我们相貌的模型，地图上的特定符号表示

山川、道路、河流的模型.当然数学模型要抽象一些。它是由数字、字母和符号组成的，描

述研究对象的数量规律公式、图表或程序，并揭示其本质。

数学建模通俗地讲就是用数学和计算机的知识去解决来自工农业生产实践中五花八门

的实践问题.因此它不是纸上谈兵，它所要解决的问题是从实践中得出来的，而解决这些问

题往往没有现成的方法可以套用，因此我们要建立模型来解决并经过实践的不断考验，最

终应用到现实中去。参赛同学必须像参加一个实际科研项目那样，不仅要充分发挥每个人

的主观能动性和创造力，而且要全队密切配合，协同作战，才能尽善尽美地作出解答。这

在课堂学习中往往是难以做到的。正因如此，这项活动才具有强大的生命力，并必将不断

发展，日渐完善。

我国大学生数学建模竞赛是92年开始由中国工业与应用数学学会举办的，教育部对此

十分重视，决定自94年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会每年共同主办一次.

XX年来，参赛规模每年以平均20%的速度增长，而我校自95年参赛以来取得骄人成绩，

为了提高我校大学生的素质，为了继续保持和不断发扬所取得的成绩，校大学生数学建模

协会本着“没有最好，只求更好”的精神一直辛勤地耕耘着.今年理事会听取了建模指导老

师的建议以及广大学生的意见，在第九届理事会编写的《建模之声》的基础上，经过改编,

以供广大大学生以及数学建模爱好者深刻地认识和了解数学建模竞赛。全书由我校数理学

院副院长、数学建模主任王传玉教授主审，在改版过程中得到了邓寿年、周金明、徐红霞、

胡慧敏和潘海峰老师的支持和帮助，并提出了许多宝贵的意见，在此表示衷心感谢！

由于编者的水平有限，再加上时间仓促，书中不可避免地存在错误和疏漏，敬请大家

批评指正。

编者

20XX年10月

第3页，共I21页

目录

第一篇协会简介............................................................-1-

§1.1协会章程.........................................................-1-

§1.2数学建模的无穷魅力VS传统数学的现状.............................-2-

§1.3大学生数学建模简介..............................................-3-

§1.4全国大学生数学建模竞赛简介......................................-5-

§1.5芜湖高校数学建模联赛简介........................................-6-

§1.6我校大学生数学建模协会简介......................................-8-

第二篇数学模型............................................................-9-

第一章运筹学......................................................-9-

§1.1线性规划模型................................................-9-

§1.2整数规划模型...............................................-12-

§1.3非线性规划与优化模型.......................................-15-

第二章离散模型......................................................-18-

§2.1层次分析法.................................................-19-

§2.2图论......................................................-27-

第三章微分建模......................................................-36-

§3.1发射卫星为什么用三级火箭...................................-31-

§3.2人口模型...................................................-43-

§3.3作战模型：纳尔逊秘诀与兰彻斯特方程.........................-45-

第四章数据拟合......................................................-48-

§4.1拟合.......................................................-49-

§4.2用MATLAB解拟合问题........................................-52-

§4.3MATLAB解应用问题实例......................................-55-

§4.4估计水塔的流・.............................................-57-

第五章建模论文......................................................-61-

§5.1论文的写作.................................................-61-

§5.2如何写好数学建模竞赛答案...................................-63-

§5.3数学建模可参考教材.........................................-66-

第三篇软件介绍.........................................................-67-

1.MATLAB.........................................................................................................................-67-

2.SPSS.................................................................................................................................-68-

3.SAS..................................................................................................................................-69-

4.Mathematica....................................................................................................................-70-

5.Lindo................................................................................................................................-70-

第四篇建模论文集.......................................................-71-

第4页，共121页

§1.1洗衣机的最佳节水研究*...............................................-71-

§1.2最优捕鱼策略........................................................-76-

§1.3SARS的传播问题..................................................-82-

第五篇赛题集锦.........................................................-93-

第一章全国大学生数学建模赛题.......................................-93-

20xx高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目...........................-93-

20xx高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目...........................-94-

20xx高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目...........................-95-

20xx高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目...........................-97-

20xx高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目...........................-99-

20xx高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目..........................-100-

第二章数学建模联赛赛题...............................................-101-

20xx年三校建模联赛题目...................................................-101-

20xx年第六届芜湖高校数学建模联赛题目............................-103-

20xx年第七届芜湖高校数学建模联赛题目............................-104-

20xx年第八届芜湖高校数学建模联赛题目............................-105-

20xx年第九届芜湖高校数学建模联赛题目............................-108-

20xx年第十届芜湖高校数学建模联赛题目............................-108-

20xx年第十一届芜湖高校数学建模联赛题目..........................-109-

第三章纷呈赛题.....................................................-109-

题一..............................................................-109-

题二..............................................................-111-

题三..............................................................-112-

题四..............................................................-114-

题五..............................................................-116-

第5页，共121页

第一篇协会简介

§1.1协会章程

第一条：大学生数学建模协会是我校一个学生科技学术性团体，是联系数学建模爱好

者的桥梁和纽带，接受校相关部门的指导和监督。

第二条：协会的宗旨：

（1）培养我校大学生应用所学的知识（包括数学知识、现代计算机技术和软件及其他

各方面知识）去解决实际问题的的综合能力。

（2）培养适应科学研究、工程技术、经济管理等各方面对数学建模的要求日益增长这

一客观形势的需要。

（3）逐步引导我校大学生步入数学建模的殿堂，进一步提高我校参加全国及美国大学

生数学建模竞赛的能力。

第三条：协会的任务：

（1）为同学们提供一个良好的学习和应用数学的环境，培养同学们应用数学知识和各

种技术手段（尤其是计算机和相应教学软件），解决实际问题的能力；

（2）组织同学们参加全国及美国大学生数学建模竞赛等。

第四条：协会的活动的形式：

（1）组织有关学术报告和讲座；（2）协助开办数学建模选修课；（3）组织校级数学建

模竞赛；（4）全国及美国大学生数学建模竞赛经验交流会等.

第五条：协会设立理事会，由主席和副主席组成，主席一人，副主席若干人，理事会

每届任期一年，司职管理协会日常事务，主席与副主席均由协会会员推举产生。

第六条：会员招收办法：对数学建模感兴趣，并且白愿遵守本章程的同学均可提出申

请，通过考试合格后便可成为本协会会员（注：“大一”新生免笔试），发给会员证。

第七条：会员有参加协会各项活动的权利和义务，有维护协会声誉和团结的权利和义

务，有借阅协会图书资料的权利，为对协会理事会提出建议和进行监督的权利和义务以及

按时缴纳会费的义务等。

第八条：任何个人未经理事会同意，在外不得代表协会进行任何活动，否则，协会要

追究其责任。

第九条：会员管理：每年对不履行会员义务以及不遵守本章程规定者予以除名，没收

其会员证。

第十条：合格会员资格：上课率80%以上，培训期间至少完成两篇论文，凡培训合格

者，协会将颁发结业证书，按照10%评出优秀会员颁发荣誉证书。

第十一条：会费管理：会费来源于会员所缴会费以及学校拨款，用于购买所有教材、

论文纸、会员证、结业证书和开展所有活动。

第十二条：本章程自公布之日起开始生效。

第6页，共121页

§1.2数学建模的无穷魅力VS传统数学的现状

目前，我国工科院校除开设《高等教学》外，还开设了数门工程数学，对数学不可谓

不重视。可是仅修完这些数学课程，同学们在面对实际问题时往往还是不知从何着手，不

知如何把错综复杂的实际问题简化，抽象为合理的数学结构，并运用自己掌握的教学知识

去分析求解，从而解决实际问题。出现这种现象与我们传统的教育观念不无关系。

近几十年来各国都过分强调纯粹数学，把数学和数学家分成纯粹的和应用的。教学中

重传授知识、培养逻辑推演和计算能力，越来越形式、抽象，只见定义、定理、推导、证

明、计算，而越来越少论及数学与我们周围世界的密切联系.同学们将数学理解成许多其他

现代科学的重要基础知识，而对数学本身及对其他学科的重要作用不甚了解，习惯于用练

习和记诵的方式学习数学。

长期以来数学教学中普遍存在这种倾向，致使不少数学工作者缺乏从实际问题中提取

数学模型的能力。同时，各行各业的不少实际工作者更缺乏运用数学工具，建立数学模型

处理问题的能力.

而数学对其他科学的有效性，在很大程度上是通过建立数学模型来体现的，建立数学

模型是应用数学的关键而重要的一步.作为一名初学者，首先应当清楚“数学建模”完全不

同于其他数学分支，学习该课程的困难不在于学习和理解所用的数学，而在于明白在何处

用它，怎样用它，而“学着用”数学和“学”数学是根本不同的.掌握成功运用数学建立数

学模型所需的技能与理解数学概念、证明定理、求解方程所需的技巧也迥然不同.因为在实

际工作中，纯粹只用现成的数学知识就能解决的实际问题的几乎没有，你所能遇到的都是

数学知识和其他学科知识混杂在一起的问题，其中数学的奥妙不是明摆着等待你去解决，

而是暗藏深处等着你去发现.

训练有素的数学建模工作者们面对各类实际问题，他们将各个问题转化为某种数学形

式，建立起令人赞叹的数学模型，成功地解决实际问题.今后你会学习到《高等教学》、《线

性代数》、《概率论与数理统计》等等数学课程，这些可以帮助你更好地阅读它.如果你掌握

了不少数学知识，通读了一些数学建模相关的书籍，你可能会对数学建模有/比较深的了

解，却未必能熟练掌握建模技巧.

那么初学时应当如何发展自己的建模能力呢?我们的建议是去做、去实践，多参加我们

组织的一些正规数学建模竞赛.数学建模的学习就像学习游泳一样必须亲身实践，站在岸边

永远学不会游泳.只是欣赏别人的数学模型的人，永远不会拥有让别人欣赏的数学模型.当

你亲身参与了真正的数学建模活动，你会发觉自己处于一种良性循环之中：越多的参与越

感到自己数学知识和数学思考方法的不足，更激起学习数学的积极性.数学本领高了，参与

数学建模工作就更得心应手，兴趣更浓.

第7页，共121页

§1.3大学生数学建模简介

让我们先听听全国著名数学大师是如何谈论数学建模竞赛的，他们的话或许更有说明

力，从中你可以更好的领悟数学建模是怎么回事。

数学建模竞赛，我认为是一个非常有意义的活动.很多人都知道，数学是非常重要的.

我们教了儿卜年的数学，曾经花了很多力气想使得大家能够认识到数学的重要性.但是我们

没有找到一个合适的方法.我觉得，建模竞赛是一个很好的方法，使得更多的学生，包括他

们有关的朋友，能够认识到数学的真正用处.因为，数学克•于学生的培养，不只是数学定理、

数学公式，这其实是次要的,更重要的是培养同学们一个正确的思想方法，而且依据自己所

学到的知识，能够不断创新，不断地找出新的途径.这不是在课堂里死啃几个定理就能够解

决的.我们用什么办法才能让更多的人，更多的学生认识到这个事情呢？我觉得，提供他们

更多的建模实践机会是一个很好的途径。

一一全国人大常委会副委员长、著名数学家丁石孙

数学建模竞赛的特点是题目由工程技术、管理科学中的实际问题简化加工而成，对数

学知识要求不深，一般没有事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才

智和创造精神.由于竞赛是由三名大学生组成一队，在三天时间内分工合作，共同完成一篇

论文，因而也培养了学生的合作精神.加之竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果

的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准，因此，这项活动的开展有利于对学生知识、

能力和素质的全面培养，既丰富、活跃了广大同学的课外生活，也为优秀学生脱颖而出创

造了条件。

一一教育部副部长周远清

同学们不要忘记，中华文化是博大精深的，很可能下个世记是中西文化的合璧.现在已

经有很多苗头，光靠西方的演绎或者是还原论的东西解决不了问题，说不定要借助于东方

的文化，正像莱布尼兹借助于中国的哲学一样，还有控制论、系统论是借助于中国的思维.

希望同学们看怎么样能够把中华文化的精华和西方的结合起来，我看我们大有前途.下个世

纪，有人说是知识经济，是美国人提出来的，我们可以同意，也可以不同意.但有一点，知

识在经济或者社会发展当中所占的比例是越来越大，甚至会起决定性的作用，而知识思维

的方式，不管是定量的或是定性的描述，都离不开数学。

一一中国工业与应用数学学会理事长、中科院院士曾庆存

数学建模、专家给它下的定义是：“通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，

并应用某些‘规律'建立起变量、参数间的确定的数学何题（也可称为一个数学模型），求

解该数学问题，解释验证所得到的解，从而确定能否用于解决问题多次循环、不断深化的

过程简而言之，就是建立数学模型来解决各种实际问题的过程

第8页，共121页

姜启源教授介绍说，全国大学生数学建模竞赛是面向全国大学生的群众性科技活动.参赛者

应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算机方法的设计和计算机实

现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）.竞赛题目一般来源于工程技

术和管理科学等方面经过适当简化加工的实现问题，有较大的灵活性供参赛者发挥其创造

性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准.全国大学生数学建模竞赛的规模逐年

扩大，参赛学生也从几百人增加到几千人.每年还有不少学生参加美国大学生的数学建模竞

赛，成绩优秀，在国际上产生了很大的影响。

为什么这样的单项竞赛能够产生如此的吸引力呢？开展这项竞赛并开设相关的课程，

对高等院校的教学工作会起什么样的作用？对大学生全面素质的提高又有什么样的帮助？

叶其孝教授解释是：这种竞赛对参加者来说，是一种综合的训练，在相当程度上模拟

了大学生毕业以后的工作环境.参赛者不要求预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高

等的数学课程；更主要的是要靠参赛者自己动脑子，自己查找文献资料，同队成员讨论研

究，齐心协力完成答卷.因此，它对学生的能力培养是多方面的.叶教授将之归纳为：应用数

学进行分析、推理、证明和计算的能力；“双向翻译”（即用数学语言表达实际问题，用普

通人能理解的语言表达数学的结果）的能力；应用计算机及相应数学软件的能力；应变能

力（即独立查找文献，消化和应用的能力）；组织、协调、管理特别是及时妥协的能力；交

流表达的能力；写作的能力；创造性、想象力、联想力和洞察力.它还可以培养学生坚强的

意志，培养自律、“慎独”的优秀品质，培养正确的数学观。

很多象牛顿一样伟人的科学家都是建立和应用数学模型的人师，他们将各个不同的科

学领域同数学有机地结合起来，在不同的学科中取得了巨大的成就.如力学中的牛顿定律，

电磁学中的麦克斯伟方程组，化学中的门捷列夫周期表，生物学中的孟德尔遗传定律等都

是经典学科中应用数学模型的光辉范例.目前在计算机的帮助下数学模型在生态、地质、航

空等方面有了更加广泛和深入的应用.因此，从某种意义上讲，数学建模是培养现代化高科

技人才的重要途径。

数学建模不同于其他数学分支，从教学的角度来看，重点不是学习理解数学知识本身,

而在于数学方法的掌握、数学思维的建立.开设数学建模课程是为了使学生将学习过的数学

方法和知识同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际应用问题联系起来.不仅应使学

生知道数学有用、怎样用，更要使学生体会到在真正的应用中还需要继续学习.为使学生们

能将学过的数学知识与方法应用于•实践，开设的数学建模课程以介绍数学建模的一般方法

为主线，着重训练运用数学知识建立数学模型的技能技巧，着重能力和相关素质的培养.

•数学建模课程可以培养和提高学生下列能力：

（1）洞察能力.许多提出的问题往往不是数学化的，这就是需要建模工作者善于从实

际工作提供的原形中抓住其数学本质；

（2）数学语言翻译能力，即把经过一定抽象和简化的实际用数学的语言表达出来，形

成数学模型，并对数学的方法和理论推导或计算得到的结果，能用大众化的语言表达出来,

在此基础上提出解决某一问题的方案或建议；

（3）综合应用分析能力.用已学到的数学思想和方法进行综合应用分析，并能学习一

些新的知识；

第9页，共121页

(4)联想能力.对于不少的实际问题，看起来完全不同，但在一定的简化层次下，它

们的数学模型是相同的或相似的.这正是数学应用广泛性的体现，这就是培养学生有广泛的

兴趣，多思考，勤奋踏实地工作，通过熟能生巧达到触类旁通的境界；

(5)各种当代科技最新成果的使用能力.目前主要是计算机和相应的各种软件包，这

不仅能够节省时间，得到直观形象的结果，有利与用户深入讨论，而且能够养成自觉应用

最新科技成果的良好习惯。

尽管数学建模已有了很久的历史，数学建模课程却还是很年轻的一门课程.在70年代

末和80年代初，英国著名的剑桥大学专门为研究生开设了数学建模课程，差不多同时，欧

美一些发达国家开始把数学建模的内容列入研究生、大学生以至中学生的教学计划中去，

并于1983年开始举行两年一度的“数学建模教学和应用国际会议”进行定期交流.数学建

模教学及其各种活动发展异常迅速，成为当代数学教育改革的主要方向之一。

§1.4全国大学生数学建模竞赛简介

第10页，共121页

建立数学模型来解决实际问题的过程，是各行各业、各科技领域大量需要的，也是我

们的大学生在走向工作岗位后常常要做的工作.做这样的事情远不只是数学知识和解数学

题目的能力，而需要多方面的综合知识与能力.因此，大学生在校期间应当努力培养和提高

在这方面的能力。

正是由于认识到培养应用型、研究型科技人才的重要性，而传统的数学竞赛不能担当

这个任务，从1983年起，美国就有一些有识之士探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能

性.经过论证、争论、争取资助等过程，1985年举行了美国第一届大学生数学建模竞赛

（MathematicalContestinModeling）,简称MCM.竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运

筹学学会联合主办.从1985年起每年举行一届，时间定为每年的二月下旬或三月初的某个

星期五到星期日举行，到2CXX年他们已举行了20届.这项竞赛的宗旨是鼓励大学生运用

所学的知识（包括数学知识及其他方面的知识）去参与解决实际问题的全过程.这些实际问

题并不限于某个特定领域，可以涉及非常广泛的、并不固定的范围。

竞赛是真正的团体赛，每个参赛队由三个人组成，在规定的三天时间内共同完成一份

答卷.每个参赛队有一个指导教师，在比赛前负责培训并接受考题，将考题在规定的时间发

给学生，然后由学生自行完成，教师不得参赛.每次的考题设计了两个，都是来自实际的问

题或有强烈实际背景的问题.每个参赛队从两个考题中选做一道题.参赛队的三名队员可以

相互讨论，可以查阅资料，可以使用计算机和计算机软件，但不允许三人以外的其他人（包

括指导教师）帮助做题.参赛队的答卷应是一篇完整的论文，还要有一个不超过一页的论文

内容的摘要。

专家们在评卷时并不对论文给出分数，也不采用“通过”、“失败”这种记分，而只是

将论文评出一些等级：Outstanding（特等奖）、Meritorious（一等奖）、

Hon•orableMention（二等奖）、SuccessfulParticipa二on（成功参赛奖）。评卷的标准并不

只是看答案对不对，而是主要看论文的思想方法好不好以及论述是否清晰.Out-standing

的论文作为优秀论文在专业杂志上发表，而所有参赛的队员和教师都能得到一张奖状，

美国的MCM虽然只是美国的国内赛，但它欢迎其他国家的大学组队参加，而且越来越

多国家的大学参加这一竞赛.因此，在某种意义上它已经是国际比赛.我国最早由北京的三

所大学组队参加美国的MCM竞赛，继后我国参加此项竞赛的大学越来越多.经过酝酿、筹备

和在一些城市试办，从1992年开始由中国工业与应用数学学会举办我国自己的全国大学生

数学模型竞赛.国家教委对这项活动非常重视，决定从1994年开始由国家教委高教司和中

国工业与应用数学学会共同举办，每年•次.这样，我国举办大学生数学建模竞赛已有十年，

发展非常迅速，已成为我国大学生参赛规模最大的一项科技比赛。

数学建模竞赛为学生们打开了一扇窗户，把他们的目光从书本引向充满新奇的世界.

竞赛培训及三天三夜紧张激烈的竞赛使他们终身难忘.他们都感谢学校给他们参加竞赛的

机会，感谢教师们对他们的培养，认为竞赛活动“学以致用，终身受益，终身难忘。”

§1.5芜湖高校数学建模联赛简介

第11页，共121页

芜湖高校数学建模联赛是由安徽工程大学教务处、团委、数理学院联合主办；安徽师

范大学、皖南医学院、芜湖信息职业技术学院、安徽机电职业技术学院和芜湖职业技术学

院协办；安徽工程大学数学建模协会承办的面向我校和各协办高校在籍大学牛.的数学建模

竞赛。联赛一直以“重在参与、公平竞争、深化交流、理论创新”为宗旨，目的在于更好

地促进数学建模事业的发展，给广大同学提供更多的参赛机会和更广阔的锻炼平台，并以

此为契机来进一步加强芜湖各兄弟高校之间的交流与沟通，营造良好的学习氛围，培养广

大学生的参与意识、竞争意识和合作意识，夯实数学建模基础知识，激发数学建模理性思

维，培养学生理论联系实际和科技创新能力。同时，芜湖联赛也担负着我校选拔优秀学生

参加每年九月份全国大学生数学建模竞赛的重任。

芜湖联赛自20XX年开始举办首届，一直以来都受到我校各级相关部门领导的关心和

指导，同时也得到各协办高校的鼎力支持。联赛由省“十佳社团”安徽工程大学大学生数

学建模协会组织报名，数理学院数学建模教练组教师负责每年的赛题拟定、论文的评审和

评奖等工作。竞赛分学校组织进行，每个学校的参赛地点自行安排，以队为参赛单位，每

个参赛队由至多三名具有正式学籍的在校大学生组成，专业不限，参赛队从A、B、C、D题

中任选一题（本科生在A、B题中任选一题，专科生在C、D题中任选一题），并在规定的时

间内完成参赛论文，本科组和专科组分开评阅。

联赛报名时间一般为每年的4月中下旬，为期七天，报名结束后将在网上公布赛题。

比赛正式开始，各参赛队成员之间可以相互探讨，合理分工，利用各种图书资源、计算机

软件，上网搜集相关信息、资料等，在五一期间完成参赛作品，比赛过程中不得与本组队

员以外任何人（包括教师）讨论赛题。一经发现，取消参赛资格。论文上交后，数理学院

数学建模教练组教师负责上交论文的评审工作，在公平、公正的原则下按照上交论文总数

的5%、10%、15%评出一、二、三等奖，凡成功提交论文的参赛队均可获成功参赛奖。

对获奖者将由校教务处、团委、数理学院联合颁发获奖证书，并给予一定的物质奖励，

时至今日，芜湖高校数学建模联赛已成功举办多届，得到了广大同学的积极响应和大

力支持，并从中涌现出不少数学建模人才，为我校数学建模的进一步发展奠定了坚实的基

础，我们有理由相信，在各位老师的细心指导下，在大家的关心和帮助下，我们会取得更

加辉煌的成就，我校数学建模成绩会上一个新台阶。

第12页，共121页

§1.6我校大学生数学建模协会简介

安徽工程大学于1995年由教练组率队参加全国大学生数学建模竞赛，并在仅有两队参

赛的情况下获得一个全国一等奖，一个成功参赛奖，1996年又获得了一个全国一等奖，一

个安徽赛区一等奖.受到这些喜人成绩的鼓舞，为了给广大学生一个更好地认识、了解、参

加数学建模的机会，在校团委和数理学院（原基础教学部）的大力倡导下，我校大学生数

学建模协会便应运而生了.

1996年，我校正式创建了校大学生数学建模协会，数理学院成立后，便在数理学院中

的教学骨干组成的数学建模教练组直接领导下开展工作，旨在培养协会会员运用所学数学

知识并辅以计算机等现代化工具解决实际问题的能力，并逐步引导他们步入数学建模的殿

堂.进一步提高我校参加全国数学建模的能力.在历届理事会成员的努力和广大会员的积极

参与下，协会已经历了摸索、发展、成熟三个阶段，日趋完善，现在新老会员1300余人，

连续几年被评为校优秀社团，20xx年末被评为“省十佳社团”.

围绕协会的宗旨和原则，我们将努力在全校范围内营造一种良好的氛围，让我们的会

员更好地学习和创造，我们将聘请校建模教练组的教练为我们授课.使会员掌握一些建模基

木知识和常用方法，提高他们解决实际问题的能力，为他们接触建模，了解建模并最终参

加建模打下一个坚实的基础.我们还将组织相关的学术讲座，协助各系部开办建模选修课并

承办校内的大学生数学建模竞赛，选拔优秀会员参加全国大学数学建模竞赛和美国的竞赛,

我校于1997年、20xx年、20xx年和20xx年四次参加美国赛均获得三等奖。

回首过去，展望未来，数学建模协会已由过去的一粒种子长成了一棵大树，十多年来

的风风雨雨已使它显得格外粗壮繁茂，我们相信有广大会员的大力支持和积极参与，协会

的明天会更好！我校历年来参加全国大学生数学建模竞赛成绩一览表：

全国获奖情况安徽赛区获奖情况

年份参赛总队数

一等二等一等二等三等成功参赛奖

19952队1队1队1队

19964队1队2队1队1队

19974队2队1队1队

19984队2队4队

19994队3队1队

20006队1队2队2队2队

20XX6队3队3队

20XX3队3队

20XX6队1队1队3队1队

20XX4队2队1队1队

20XX6队1队2队1队3队

20XX10队4队3队3队

20XX10队1队2队2队3队3队

20XX15队1队1队2队3队5队5队

20XX17队1队1队5队7队4队

20X

17队1队2队4队3队5队

X

20XX17队2队2队5队4队4队

第13页，共121页

第二篇数学模型

第一章运筹学

（主讲老师：邓寿年）

§1.1线性规划模型

在有经济建设、企业管理和生产实践等方面的各项活动中，我们常常需要合理分配有

限资源，以期获得最大的效益，请看下列几个简单模型.

［模型一］（生产计划问题）某厂生产A、B和C三种产品，每种产品都需经过三道工

序；零件加工、电镀和装配根据该厂在每道工序上现有的设备和劳动力等生产条件，可以

确定各工序每周的生产能力，我们把它折合成有效工时来表示，每件产品在每道工序上所

花费的工时，每道工序每周可利用的有效工时以及每件产品的利润情况由下表给出.试问：

为使每一周内生产的产品中获得最大的利润，三种产品各应生产多少件？

加工每件产品的工时每周可利用

生产工序

ABC的有效工时

零件加工1.01.21.14800

电镀0.50.60.61800

装配0.70.70.82100

每日利润（元）12158

［建模思路］设修、制和X3分别表示产品A、8和C一周内的生产件数.于是一周内获得

的利润可写成下列形式：/=12xi+15工2+8%3

我们希望在定型条件下/能取得最大值.首先，零件加工不能超过4800工时.由于生产总件

产品A所需零件加工的工时数为lOt”生产X2件产品8所需零件加工的工时数为12。

生产布件产品。所需零件加工的工时数为14口，故汨、12和13应满足下列条件：

1.Oxi+1.2x2+1.4x3<4800.

类似地，考虑到电镀工序和装配工序的生产条件，修、X2和不还应满足下面两个条件：

0.5内+06x2+0.6x3W1800,

0.7x1+0.7x2+0.8x3^2400.

此外，由、X2和X3显然只能取非负值，故有:

20,X22o，

于是，问题可以写成下列数学形式：

max/=12xi+l542+8%3

s.t.1.0M+1.2口+1.4x3^4800,

0.5即+0.64+0.6工3<1800,

0.7x1+0.7x2+0.8x3^2400,

x\^0,也20，

第14页，共121页

其中max/=I2XI+I5X2+8X3表示要求函数/=12^1+15叫+84达到最大，s.t.为英文“subject

t。”（受约束于）的缩写.因此我们要求在上面所列出的全部条件下，求不、必和布的一组值，

使函数/=12内+15X2+8X3达到最大.

［模型二］（运输问题）现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）

的需要.三个纺织厂所需数量和两个仓库现有库存量，以及每吨原棉从各个仓库运送到各个

纺织厂所需的运费见下表.试问在保证各个纺织厂的需求都得到满足的条件下，应采用哪一

明）.

［建模思路］设期表示产仓库运送到了厂的原棉数量.于是，总运费/为:

/=2V||+X|2+3X13+1V2|+2X22+4X23

我们的目标是在一定条件下使/达到最小值，由于从各仓库运出之原棉数量不能超过它的

库存量，故应有：

X11+X12+X13W5O,

X21+X22+X23<30.

同时，还应保证各纺织厂所需的原棉都得到满足，故应有：

孙+121=4。，

X|2+X22=15,

X|3+A-23=25.

此外，运送量沏都应取非负值:沏20,i=l,2：j=l,2,3.

于是，问题可以写成下列形式：minf=2,vii+xi2+3xi3+2x2i+2x22+4^23

S.tJV|1+X12+X13^SO,X21+X22+X23W30,（1.1）

Xll+X2l=40,X12+X22=15,X13+及3=25，

殉20,1=1,2；j=\,2,3.

可以注意到，两个仓库的库存总量恰等于三个纺织厂的需求总量，即：

504-30=40+15+25.

因此要保证各个纺织厂的需求都得到满足，两个仓库中的库存原棉就需全部运走，于是问

题（1.1）中前两个不等式都可以改写成等式.

运输问题一般地可叙述如下：要把m个发点的货物运送到n个收点去.已知i#发点

有货物ai吨，j#收点需要货物bj吨，单位货物从i#发点运送到j收点的运费为两元.那么

在保证每个收点对货物的需求条件下，应采用哪一种运输方案才能使总运费最省？

设殉为从产发点运送到了收点的货物量，则上述问题可以描述为：

第15页，共121页

mn

“7,

Xy=bj9J=,.・.，〃，（1.2）

Xij2,z=l,・・・,in；j=\,・・.,n.

ntn

特别地，当〃?个发点所具有的货物总量恰等于〃个收点所需货物的总量（即=

»=i;=i

ntn

时，它又可写成下列形式：山山/二ZZ

i=lj=\J1

n

s.t.Z马二4，z=l,...»ni,

j=i，

m

工/=bj,y=l,…，〃,（1.3）

1=1

.520,i=l,...»m；j=\,n.

［模型三］（营养问题）某养鸡场欲利用〃种天然饲料来配制一批配合饲料.要求在这批

配合饲料中必须含有m种不同的营养成分，并要求产营养成分的含量不低于尻己知产营养

成分在每单位,天然饲料中的含量为劭，每单位/天然饲料的价格为小那么，在保证营

养的条件下，应采用哪种配方才能使这批配合饲料的费用最小？

［建模思路J设2为了天然饲料的用量.那么，。网即为所用了天然饲料中产营养成分的

含量，£%毛即为在这批配合饲料中产营养成分的总含量，它不应低于玩于是，问题就可

j=i

写成下列数学形式：minf=tj5

j=i

n

s.tZi=\,…，m,（1.4）

j=i

为NO,j=l,…，n.

在上述几个例题中，都首先需要确定一组具有明确含量的变量，称之为决策变量.问

题的目标是选取这些决策变量的值使•个函数取得最大值或最小值，此函数称之为目标函

数.我们乂利用决策变量把府题的条件表示成等式或不等式，并称这些等式和不等式为约束

条件.如果目标函数是决策变量的线性函数，而且约束条件也都是关于决策变量的线性等式

或线性不等式，则相应的数学问题就称为一个线性规划问题.显然，上述三例都是线性规划

问题.在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也

是困难的一步，模型建立得是否适当，直接影响到求解.而选择适当的决策变量，是我们建

立有效模型的关键之一，希望读者能重视这方面的实践.

第16页，共121页

§1.2整数规划模型

在上一节简单介绍了线性规划问题，得到的最大优解不一定是整数，然而，在实现生

活中，却非要整数不可，像人员的分配、机器设备的调度等用分数或者小数就不合要求了，

因此，在解规划过程，就必须在原始的可行域中取整数解.这种要求线性规划有整数解的问

题，就称为整数线性规划.在有些实际问题的解必须满足一些特殊的约束条件，此时，我们

往往要引取“是''（用1表示）和“非''（用（）表示）为值的逻辑变量（又称0—1变量），决

策变量均为0—1变量的整数规划称0—1规划

［模型一］一公司欲将一定数量的资金，分配到不同的投资项目中去，在若干种投资方

案中作出选择，以使投资获利最大.

［建模思想］设该公司可用资金为从共有〃个投资项目可供选择，其中第7个项目需

要的资金是劭其单位利润为。如果不考虑对某个项目进行部分投资，可设变量

.二『对策/个项目进行投资；

对第7个项目不进行投资

按题设，上述问题可用如下数量模型表述

n

max/=Ea：x：（2.1）

y=i）

E产b

＜J"

芍=0或1（J=1,2,…，ri'）

如果在实际投资中，要求在〃个项目中的前k个项目里，只允许选择一个项目进行投

资，式（2.1）还应增加以下约束条件：Sx/Wl这样就保证这2个项目互相

j=i

排斥。

［模型二1某电冰箱厂为了增加产量，需增加一条生产线，有两种方案可供选择：一种

是从国外引进一条自动化程度很高的生产线，由于产量大，因而分配到每台冰箱的变动成

本就降低；另一种方案是安装本国的半自动化生产线，由于产量少，分配到每台冰箱的变

动成本可能增加.已知由国外引进生产线投产以后每台冰箱的固定成本为加元，变动成本为

C.元：安装国内半自动生产线投产后每台冰箱的固定成本为bl（岳＜6）元，变动成本为

C2（C2＞。）元.问应选择哪种方案，可使生产成本最小？

［建模思想］在经营管理中，生产成本应是固定成本与变动成本的总和.在这个问题中，

我们只从成本的角度来确定增添设备的方式，因此暂不考虑其他约束条件.

令用表示引进国外的生产线在单位时间内的产量；

令X2表示安装国内的半自动生产线在单位时间内的产量；

令”表示前一种方式的生产总成本，〃2表示后一种方式的生产总成本.于是有

第17页，共121页

rbi+axi(x,>0)

IL(/=1>2)

I0(x/=0)

为了把两种方式的成本统一起来，我们引进0—1型变景：)，｛•=1,2)；

「1,当采用第，种方式，即为＞()

"Y(2.2)

〔0,不采用第i种方式，即即＞0

式(2.2)的这个规定可由下述两个线性约束条件

x/WyM(/=1,2)(2.3)

来代替，其中M是个充分大的数.上式表明，当为＞0时，》是1；当刘二0时，此时只有)，尸0

才有意义.于是得目标函数为

2

f=(瓦y+J』)+(by+cx)=工(瓦片+c/j)

2222i=l

因此数学模型为

2

min/=Z(〃)，i+c/i)

i=i

1(2.4)

LMNO且为整数(i=l,2)

【模型三］某工厂生产48两种产品，每件产品均要在甲、乙、内各台设备上加工，

每件第i种产品在第i台设备上消耗的工时为劭(i=l，2,3；j=l,2).现在各台设备可用

于生产这两种产品的工时分别为瓦(i=l,2,3).每件产品可以提供的