2025年广东省深圳市文汇学校中考数学模拟试卷

第1页（共1页）2025年广东省深圳市文汇学校中考数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）若气温升高2℃记作“+2℃“，则气温下降4℃可记作（）A．﹣2℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．﹣6℃2．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突（）A．1.51×109 B．15.1×109 C．0.151×1011 D．1.51×10104．（3分）下列运算正确的是（）A．a5+a2＝a7 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2a）3•a5＝﹣8a8 D．a6÷a2＝a35．（3分）据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知a，b，c，a＜b＜c＜d，且满足a+b+c+d＝10（）A．6 B．7 C．8 D．96．（3分）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意（）A．672（1﹣x）2＝1050 B．1050（1﹣x）2＝672 C．672（1+x）2＝1050 D．1050（1+x）2＝6727．（3分）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，F为PD的中点，AC＝2.8m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，遮阳效果最佳，在上午10：00时，若要遮阳效果最佳AP的长约为（）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m8．（3分）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，交CB的延长线于点F．若DP＝3，EF＝（）A． B． C．2 D．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）9．（3分）因式分解：ab2﹣a＝．10．（3分）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是．11．（3分）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB和菱形OBCD的边AO、OD都在x轴上的图象经过点C．已知△ABC的面积为，则k的值为．13．（3分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝5，以AB为斜边作Rt△ADB，∠ADB＝90°，，交AB于点E，则BE＝．三．解答题（共7小题，满分61分）14．（7分）计算：．15．（9分）化简求值：，其中x＝3．16．（9分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：（1）本次抽测了名九年级学生，a＝；（2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？（3）在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．17．（9分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）所需费用（元）AB第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进A、B两种商品共1000件，且A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案18．（9分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交AC于点M，③以点M为圆心，以AC，BC两弧交点间的距离为半径；过点C作AC的垂线交射线AN于点D，AE为∠CAD的角平分线；（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AB＝AC＝3，BC＝2，求△AED的面积．19．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点（﹣1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积．①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y＝x对称；②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．20．（9分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“比中项妙点”．（1）①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D（填“是”或“不是”）△ABC中AB边上的“比中项妙点”；②如图2，△ABC的顶点是4×4网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“比中项妙点”点M（AB的中点除外）．（2）如图3，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，点F恰好是△ACD中AC边上的“比中项妙点”．①求证：点F也是△CDE中DE边上的“比中项妙点”；②连接BF并延长交CD于点G，若点F是△BCG中BG边上的“比中项妙点”，且，求的值．

2025年广东省深圳市文汇学校中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案BCDCBCCB一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）若气温升高2℃记作“+2℃“，则气温下降4℃可记作（）A．﹣2℃ B．﹣4℃ C．4℃ D．﹣6℃【解答】解：若气温升高2℃记作“+2℃“，则气温下降5℃可记作﹣4℃，故选：B．2．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形；B．不是中心对称图形；C．是中心对称图形；D．不是中心对称图形；故选：C．3．（3分）截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突（）A．1.51×109 B．15.1×109 C．0.151×1011 D．1.51×1010【解答】解1.51×1010．故选：D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a5+a2＝a7 B．（a3）2＝a5 C．（﹣2a）3•a5＝﹣8a8 D．a6÷a2＝a3【解答】解：A、a5与a2不是同类项，不能合并；B、（a8）2＝a6，故本选项错误；C、（﹣6a）3•a5＝﹣2a8，故本选项正确；D、a6÷a8＝a4，故本选项错误．故选：C．5．（3分）据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知a，b，c，a＜b＜c＜d，且满足a+b+c+d＝10（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵a，b，c，d都是正整数，且满足a+b+c+d＝10，∴a＝1，b＝2，d＝6，∴第1行第3个方格中的数为c+d﹣a＝5+4﹣1＝5．∵第2行及对角线上的三个数之和相等，∴c+m＝d+6，即3+m＝4+6，解得：m＝8，∴m的值为7．故选：B．6．（3分）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为x，则根据题意（）A．672（1﹣x）2＝1050 B．1050（1﹣x）2＝672 C．672（1+x）2＝1050 D．1050（1+x）2＝672【解答】解：∵第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，∴672（1+x）2＝1050，故选：C．7．（3分）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，F为PD的中点，AC＝2.8m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，遮阳效果最佳，在上午10：00时，若要遮阳效果最佳AP的长约为（）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，根据题意可知：当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，∴∠BEP＝90°，∵∠A＝90°，∠B＝65°，∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，∵∠DPE＝15°，∴∠APD＝130°，∴∠CPF＝50°，∵F为PD的中点，∴DF＝PF＝PD＝6，∴CF＝PF＝1，∴CP＝2PG＝7×PF•cos50°≈2×1×5.64≈1.28，∴AP＝AC﹣PC＝2.3﹣1.28≈1.6（m）．所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．故选：C．8．（3分）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，交CB的延长线于点F．若DP＝3，EF＝（）A． B． C．2 D．【解答】解：连接BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP．又∵AP＝AP，∴△ABP≌△APD，∴∠ABP＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠F＝∠ADP＝∠ABP，又∵∠BPE＝∠BPF，∴△EBP∽△FBP．∴．∴PB2＝PE•PF．∵△ABP≌△APD，∴BP＝PD．∴PD2＝PE•PF，∵DP＝3，EF＝，∴PE＝，故选：B．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）9．（3分）因式分解：ab2﹣a＝a（b+1）（b﹣1）．【解答】解：ab2﹣a，＝a（b2﹣6），＝a（b+1）（b﹣1）．10．（3分）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是．【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“潮俗皮影戏”，B，C，D小聪和小颖从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，∴P（两人恰好选中同一种）＝．故答案为：．11．（3分）如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为4﹣π．【解答】解：由折叠可知，S弓形AD＝S弓形OD，DA＝DO，∵OA＝OD，∴AD＝OD＝OA，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD＝60°，∠DOB＝30°，∵AD＝OD＝OA＝4，∴CD＝2，∴S弓形AD＝S扇形ADO﹣S△ADO＝﹣×4×8＝，∴S弓形OD＝π﹣4，阴影部分的面积＝S扇形BDO﹣S弓形OD＝﹣（）＝4﹣π，故答案为：8﹣π，12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，等边△AOB和菱形OBCD的边AO、OD都在x轴上的图象经过点C．已知△ABC的面积为，则k的值为．【解答】解：连接OC，∵等边△AOB和菱形OBCD的边AO、OD都在x轴上，∴AB＝BC＝BO＝AO＝CO＝DO，∠BOA＝∠CBO＝60°，∴OC＝BO＝BC，∴四边形ABCO是菱形，∵△ABC的面积为，∴，∴，∵反比例函数的图象经过点C，∴，解得：，故答案为：．13．（3分）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝5，以AB为斜边作Rt△ADB，∠ADB＝90°，，交AB于点E，则BE＝．【解答】解：在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，∵AB＝3，∴AD＝，BD＝2，过D作DF⊥AB于点F，则DF＝＝2，∴BF＝＝4，∴AF＝1，过A作AM⊥BC于点M，过C作CG⊥AB于点G，∵AB＝AC＝6，BC＝8，∴BM＝CM＝BC＝4，∴AM＝＝3，∴CG＝＝，在Rt△ACG中，AG＝＝，∴FG＝AF+AG＝，由辅助线的作法可知∠DFE＝∠CGE＝90°，又∵∠DEF＝∠CEG，∴△DFE∽△CGE，∴＝＝，∴EF＝FG＝，∴BE＝BF+EF＝3+＝．三．解答题（共7小题，满分61分）14．（7分）计算：．【解答】解：＝＝＝26．15．（9分）化简求值：，其中x＝3．【解答】解：＝＝＝＝，当x＝7时，原式＝．16．（9分）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：（1）本次抽测了300名九年级学生，a＝108；（2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？（3）在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．【解答】解：（1）本次抽测了30÷＝300（名）九年级学生．a°＝＝108°，∴a＝108．故答案为：300；108．（2）22000×＝3300（人）．∴体育成绩优秀学生的约有3300人．（3）∵抽取5名学生中有3名男生，∴女生人数为7﹣3＝2（人）．  列表如下：男男男女女男（男，男）（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，男）（男，女）（男，女）男（男，男）（男，男）（男，女） （男，女）女（女，男）（女，男）（女，男） （女，女）女（女，男）（女，男） （女，男） （女，女）共有20种等可能的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，∴恰好抽取一男一女的概率为．17．（9分）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）所需费用（元）AB第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进A、B两种商品共1000件，且A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，由题意得：，解得：，答：A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品（1000﹣m）件，由题意得：1000﹣m≥4m，解得：m≤200，设获得的利润为w元，由题意得：w＝（30﹣20）（1000﹣m）+（100﹣80）m＝10m+10000，∵10＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝200时，w取最大值＝10×200+10000＝12000，此时，1000﹣m＝800，答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，最大利润为12000元．18．（9分）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交AC于点M，③以点M为圆心，以AC，BC两弧交点间的距离为半径；过点C作AC的垂线交射线AN于点D，AE为∠CAD的角平分线；（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AB＝AC＝3，BC＝2，求△AED的面积．【解答】（1）证明：连接AO并延长，交BC于H，∵⊙O是△ABC的外接圆，∴AH平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH⊥BC，∴∠AHC＝90°，∴∠ACB+∠HAC＝90°由作图可知∠CAD＝∠ACB，∴∠CAD+∠HAC＝∠HAD＝90°，∴AH⊥AD，∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线．（2）解：过E作EF⊥AD交AD于F，∴∠AFE＝∠ACD＝90°，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE＝∠FAE，∴△AFE≌△ACE，∴AF＝AC＝3，∵∠ACD＝∠AHC＝90°，∠CAD＝∠ACB，∴△ACD∽△CHA，∴，∵AB＝AC，AH平分∠BAC，∴＝1，∴，∴DF＝AD﹣AF＝6，∵Rt△EFD∽Rt△ACD，∴△EFD∽△CHA，∴，∵，∴，∴．19．（9分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点（﹣1，3），且与一次函数y＝x的图象交于点A和点B（3，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）某学习小组发现，将抛物线在直线AB上方的部分沿AB翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积．①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形AMNK的边MN与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C（1，7）（填坐标），边NK与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线y＝x对称；②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形EFGH的边EH过点A，边EF与心形图的左边缘相切，边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形EFGH的面积为；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．【解答】解：（1）将点（﹣1，3）和B（22+bx+6，则，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x+6；（2）①∵y＝﹣x2+3x+6＝﹣（x﹣1）6+7，∴顶点C的坐标为（1，3），∵抛物线y＝﹣x2+2x+4经过点（﹣1，3），6），联立，解得：x＝﹣2或x＝3（舍），∴A（﹣7，﹣2），分别过点C、D作y轴，当x＝1时，y＝x＝8，1），∵C（1，5），∴CE＝6，∵点D与点C关于直线y＝x对称，∴CE＝DE＝6，∴D（7，1），∴AK＝9，AM＝4，∴矩形AMNK的面积＝AM•AK＝81，故答案为：（1，7）；②如图，作直线y＝﹣x分别交EF、N，令直线AB与FG的交点为K，由①可知，A（﹣4，∴，由题意可知，FG⊥AK，∵直线MN的解析式为y＝﹣x，∴直线FG的解析式为y＝﹣x+n，∵边FG与心形图的左、右边缘各相切于一点8+2x+6只有一个交点，∴联立，整理得：x8﹣3x+n﹣6＝6，∴（﹣3）2﹣4（n﹣6）＝0，解得：，∴直线FG的解析式为，联立，解得：，∴，∴，∴，∵EF⊥FG，AK⊥FG，∴EF∥AK，∴设直线EF的解析式为y＝x+m，∴边EF与心形图的左边缘相切，即直线EF与抛物线y＝