重难点解析北师大版9年级数学上册期末试题附完整答案详解（夺冠系列）

北师大版9年级数学上册期末试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为A（3，0），∠COA=60°，D为边AB的中点，反比例函数y=（x>0）的图象经过C，D两点，直线CD与y轴相交于点E，则点E的坐标为（

）A．（0，2） B．（0，3） C．（0，5） D．（0，6）2、如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为（10，8），点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是（）A．（0，4） B．（0，5）C．（0，3） D．（0，2）3、将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（

）A．，21 B．，11 C．4，21 D．，694、已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x＝5的两个实数根，下列结论错误的是（）A．2－3x1＝5 B．（x1－x2）（2x1＋2x2－3）＝0C．x1＋x2＝ D．x1x2＝5、已知A、B两地相距10km，在地图上相距10cm，则这张地图的比例尺是(

)．A．100000:1 B．1000:1 C．1:100000 D．1:10006、如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB=90°．点D是轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数（）的图象经过点A,E．若△ACE的面积为6，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E．下列结论不正确的是（

）A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC2、下列四个说法中，不正确的是（

）A．一元二次方程有实数根B．一元二次方程有实数根C．一元二次方程有实数根D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根3、矩形一定具有的性质是（）．A．对角线相等 B．内角和为180° C．邻边相等 D．对角互补4、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，则下列结论中成立的是（）A．△ABC∽△ADE B．DE∥BCC．DE：BC＝1：2 D．S△ABC＝9S△ADE5、如图，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，一次函数的图象经过点A．下列结论正确的是（

）A． B．点B的坐标为C．连接OB，则D．点C为y轴上一动点，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是6、（多选）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于D于点O，点P为线段AC上一点，连接BP，过点P作交AD于点E，连接BE，若，，下列说法正确的有（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为角，那么这个直角三角形的较小的内角是________.2、已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．3、一个正方形的面积为，则它的对角线长为________．4、图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽AB1.2厘米，托架斜面长BD6厘米，它有C到F共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米．将某型号手机置于托架上（图2)，手机屏幕长AG是15厘米，O是支点且OBOE2.5厘米（支架的厚度忽略不计）．当支架调到E档时，点G离水平面的距离GH为__________cm．5、如图，在中，，，，是斜边上方一点，连接，点是的中点，垂直平分，交于点，连接，交于点，当为直角三角形时，线段的长为________．6、《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端D观察水岸C，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么井深为______米．7、如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为_______.8、如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小等边三角形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），则击中黑色区域的概率是____________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？2、已知：如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．3、如图，平行四边形的对角线、相较于点O，且，，．求证：四边形是矩形．4、已知，AB=18，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点B运动，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形．设点P的运动时间为t.(1)如图1，若两个正方形的面积之和，当时，求出的大小；(2)如图2，当取不同值时，判断直线和的位置关系，说明理由；(3)如图3，用表示出四边形的面积.5、已知点P(2，2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上．(1)当x＝－3时，求y的值；(2)当1＜x＜3时，求y的取值范围．6、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当时，求的值；（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】作CE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，设C的坐标为（x，x），表示出D的坐标，将C、D两点坐标代入反比例函数的解析式，解关于x的方程求出x即可得到点C、D的坐标，进而求得直线CD的解析式，最后计算该直线与y轴交点坐标即可得出结果．【详解】解：作CE⊥x轴于点E，则∠CEO=90°，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，则BF=CE，DM∥BF，BF=CE，∵D为AB的中点，∴AM=FM，∴DM=BF，∵∠COA=60°，∴∠OCE=30°，∴OC=2OE，CE=OE，∴设C的坐标为（x，x），∴AF=OE=x，CE=BF=x，OE=AF=x，DM=x，∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），∴OF=3+x，OM=3+x，即D点的坐标为(3+x，)，把C、D的坐标代入y=得：k=x•x=(3+x)•，解得：x1=2，x2=0（舍去），∴C（2，2），D（4，），设直线CD解析式为：y=ax+b，则，解得，∴直线CD解析式为：，∴当x=0时，，∴点E的坐标为(0，)．故选：B．【考点】本题主要考查了平行四边形的性质、运用待定系数法求函数的解析式以及含度角的直角三角形的性质．根据反比例函数图象经过C、D两点，得出关于x的方程是解决问题的关键．2、C【解析】【分析】由题意可得AO=BC=10，AB=OC=8，DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理可求得，OE=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，然后在中，由勾股定理即可求得OD=3，继而求得点D的坐标.【详解】解：∵点B的坐标为（10，8），∴AO=BC=10，AB=OC=8，由折叠的性质，可得：DE=CD，BE=BC=10，在中，由勾股定理得：，∴OE=AO-AE=10-6=4，设OD=x，则DE=CD=8-x，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，∴OD=3，∴点D的坐标是（0，3）.故选：C.【考点】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.3、A【解析】【分析】根据配方法步骤解题即可．【详解】解：移项得，配方得，即，∴a=-4，b=21．故选：A【考点】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是配方：在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．4、D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可．【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2-3x=5的两个实数根，∴，故A正确，不符合题意；这里a=2，b=-3，c=-5，∴，，∵，∴，∴，故B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．故选：D．【考点】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握根与系数的关系，，是解题的关键．5、C【解析】【分析】比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．【详解】∵10km=1000000cm，∴比例尺为10：1000000=1：100000．故选C．【考点】掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．比例尺=图上距离：实际距离，图上距离在前，实际距离在后.6、C【解析】【分析】过A作,连接OC、OE，根据点A与点B关于原点对称，∠ACB=90°，AC平分∠BAD得出，从而得出三角形AEC的面积与三角形AOE的面积相等，设，根据E是AD的中点得出得出三角形OAE的面积等于四边形AFGE的面积建立等量关系求解．【详解】解：过A作,连接OC，连接OE：∵点A与点B关于原点对称，∠ACB=90°∴又∵AC平分∠BAD∴∴∴设，根据E是AD的中点得出:∴解得：故答案选：C．【考点】本题考查反比例函数与几何综合，有一定的难度．将三角形AEC的面积转化与三角形AOE的面积相等是解题关键．二、多选题1、ABD【解析】【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DA=DC，则∠DAC=∠C，再利用等角的余角相等得到∠EAB=∠DAC，从而有∠EAB=∠C，再加上公共角即可判断△BAE∽△ACE．【详解】解：∵∠BAC=90°，D是BC中点，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB=∠C，而∠E是公共角，∴△BAE∽△ACE∴C选项正确，ABD选项错误，故选ABD．【考点】此题主要考查学生对相似三角形判定定理的掌握和应用．2、ABC【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了．【详解】解：、△，方程无实数根，错误，符合题意；、△，方程无实数根，错误，符合题意；、△，方程无实数根，错误，符合题意；、△，方程有实数根，正确，不符合题意；故选：ABC．【考点】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：解题的关键是掌握（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．3、AD【解析】【分析】根据矩形的性质依次进行判断即可．【详解】解：A、矩形的对角线相等，正确；B、矩形的内角和为360°，选项错误；C、矩形的邻边不一定相等，选项错误；D、矩形的对角相等均为90°，所以对角互补，正确；故选：AD．【考点】题目主要考查矩形的性质，理解矩形的性质是解题关键．4、ABD【解析】【分析】由已知条件易证DE∥BC，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．【详解】解：∵BD=2AD，CE=2AE，∴，∴DE∥BC，故B正确；∴△ABC∽△ADE，故A正确；∴DE：BC=AD：AB=1：3，故C错误；∴S△ABC=9S△ADE故D正确，∴其中成立的jABD，故选ABD．【考点】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，证明DE∥BC是解题的关键．5、AC【解析】【分析】联立求得的坐标，然后根据待定系数法即可求解反比例函数解析式，然后可得点B的坐标，则有根据割补法进行求解三角形面积，进而根据轴对称的性质可求解当△ABC的周长最小时点C的坐标【详解】解：联立，解得，点坐标为．将代入，得．．反比例函数的表达式为；∴联立，解得或．．在中，令，得．故直线与轴的交点为．如图，过、两点分别作轴的垂线，交轴于、两点，则．过点A作y轴的对称点D，连接BD，交y轴于点C，此时△ABC的周长为最小，如图所示：∴，设直线BD的解析式为，则有：，解得：，∴直线BD的解析式为，令x=0时，则有，∴；综上所述：正确的有AC选项；故选AC【考点】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，体现了方程思想，数形结合是解题的关键．6、ABC【解析】【分析】由∠DBP+∠BPO=90°，∠APE+∠BPO=90°，可判断结论A正确；过P作PK⊥AD于K，PT⊥AB于T，证明△PKE≌△PTB（ASA），可判定结论B正确；延长KP交BC于M，可得△CPM是等腰直角三角形，CP=PM=CP=1，即可得AE=AD-DK-KE=4，判断结论C正确；在Rt△BPM中，BP=，可得S△PBE=BP•PE=13，可判断结论D错误．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP=90°，∴∠DBP+∠BPO=90°，∵PE⊥PB，∴∠APE+∠BPO=90°，∴∠APE=∠DBP，故结论A正确；过P作PK⊥AD于K，PT⊥AB于T，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC，又PK⊥AD，PT⊥AB∴PK=PT，∵∠KPT=90°=∠EPB，∴∠KPE=∠BPT，∵∠PKE=90°=∠PTB，∴△PKE≌△PTB（ASA），∴PE=PB，故结论B正确；延长KP交BC于M，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ACB=45°，∴PM⊥BC，∴△CPM是等腰直角三角形，∴CP=PM=CP=1，∴DK=CM=1，KE=PM=1，∴AE=AD-DK-KE=4，故结论C正确；∵BC=6，CM=1，∴BM=5，在Rt△BPM中，BP==，∴PE=BP=，∴S△PBE=BP•PE=13，故结论D错误，故选：ABC．【考点】本题考查正方形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，证明△PKE≌△PTB．三、填空题1、25【解析】【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，证明得到，再利用外角性质求出，再得到，从而得解.【详解】如图所示，∵是斜边上的中线，∴，∴，∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为，即，∴，解得：，另一个锐角，∴这个直角三角形的较小内角是.故答案为：.【考点】本题考查了直角三角形的性质和外角的性质，比较基础.2、1【解析】【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根据根的关系即可求解．【详解】解（x-3m）（x-m）=0∴x-3m=0或x-m=0解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案为：1．【考点】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用．3、【解析】【分析】根据正方形的面积求得正方形的边长，再由勾股定理求得正方形的对角线长即可.【详解】∵正方形的面积为，∴正方形的边长为9cm，∴正方形对角线的长为.故答案为.【考点】本题考查了正方形的性质，熟知正方形的性质是解决问题的关键.4、【解析】【分析】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性质求出DT，BT，AD，即可求出GH的长．【详解】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．∵OB=OE=2.5cm，BE=2.4+0.82=4(cm)，OK⊥BE，∴BK=KE=2(cm)，∴OK(cm)，∵∠OBK=∠DBT，∠OKB=∠BTD=90°，∴△BKO∽△BTD，∴，∴，∴BT=4.8(cm)，DT=3.6(cm)，AT=1.2+4.8=6(cm)，∴AD=(cm)，∵DT∥GH，∴△ATD∽△AHG，∴，∴，∴(cm)．故答案为：．【考点】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5、或【解析】【分析】（1）分别在、、中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，，再根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定求得，最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、分线段成比例定理可证得，然后根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质列出方程，解方程即可求得，最后利用线段的和差即可求得答案．【详解】解：①当时，如图1:∵在中，，，∴∴∵，∴∵∴∴在中，设，则∵∴∴∴，∵垂直平分线段∴∵∴是等边三角形∴∴∴；②当时，连接、交于点，过点作于，如图2：设，则，∵垂直平分线段，点是的中点∴∵∴∵∵∴垂直平分线段∴∵，∴∴∵∴，∴∴∴∴∴∴∴．∴综上所述，满足条件的的值为6或．故答案是：6或【考点】本题考查了垂直平分线的性质和判定、含角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等，渗透了逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想．6、7【解析】【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵米，米，米，∴，解得米，故井深AC为7米．【考点】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．7、（12-x）（8-x）=77【解析】【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【详解】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【考点】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．8、【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：∵总面积为9个小等边形的面积，其中阴影部分面积为3个小等边形的面积，∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，故答案为：．【考点】本题主要考查了概率求解问题，准确分析计算是解题的关键．四、解答题1、【解析】【分析】如图，根据题意表示出AP=4t，DQ=20-t；根据矩形的对边相等，求出t的值，即可解决问题．【详解】解：由题意得：AP=4t，DQ=20-t；∵四边形APQD是矩形，∴AP=DQ，即4t=20-t，解得：t=4（s）．即当t=4s时，四边形APQD是矩形．【考点】该题主要考查了矩形的判定及其性质的应用问题；解题的一般策略是灵活运用矩形的性质来分析、判断、解答．2、（1）1秒；（2）不可能，见解析【解析】【分析】（1）经过x秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；（2）看△PBQ的面积能否等于7cm2，只需令×2x（5﹣x）＝7，化简该方程后，判断该方程的△与0的关系，大于或等于0则可以，否则不可以．【详解】解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为4cm2，根据题意得（5﹣x）×2x＝4，整理得：x2﹣5x+4＝0，解得：x＝1或x＝4（舍去）．答：1秒后△PBQ的面积等于4cm2；3、见解析【解析】【分析】先根据四边形是平行四边形且得到平行四边形是菱形，即可得到，再根据，，证明四边形是平行四边形，即可得到平行四边形是矩形．【详解】证明：∵四边形是平行四边形且∴平行四边形是菱形∴，即又∵，．∴四边形是平行四边形，∴平行四边形是矩形．