（人教A版）高一数学上册期末题型归类练习专题06 函数：解析式归类（解析版）

第页专题6函数：解析式归类目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】直接代入 1【题型二】分段函数代入计算 2【题型三】代入求参（解方程） 4【题型四】分段函数分类讨论解方程 5【题型五】复合函数求值 7【题型六】求解析式1：一元一次待定系数 9【题型七】求解析式2：一元二次待定系数 10【题型八】求解析式3：反比例函数 12【题型九】求解析式4：换元法 13【题型十】求解析式5：指数和对数换元型 14【题型十一】求解析式6：凑配型 15【题型十二】求解析式7：函数方程型 16【题型十三】复合型换元计算（难点） 18培优第一阶——基础过关练 19培优第二阶——能力提升练 22培优第三阶——培优拔尖练 24【题型一】直接代入【典例分析】已知，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)-23；-1(2)-20；-51(3)8x2-46x+40；4x2-6x-55【分析】根据知，求解.(1)解：=2×22-3×2-25=-23；=2×2-5=-1；(2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.【变式训练】1.已知函数，则______．【答案】【分析】代入函数解析式计算即可.【详解】解：因为，所以，.故答案为：.2.若函数，，则____________【答案】【分析】分别求得函数的定义域，再结合，即可求得函数的解析式，得到答案.【详解】由题意，函数的定义域为，函数满足，解得且，即函数的定义域为所以.故答案为：3.已知，，则___________．【答案】##【分析】求出时，，故把代入解析式，即可求解【详解】令，解得：，故故答案为：【题型二】分段函数代入计算【典例分析】函数，，若，则________．【答案】-1【分析】根据解析式先求出，再代入求出.【详解】因为，，所以.当时，，解得：；当时，，无解.所以.所以故答案为：-1【提分秘籍】基本规律在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键在计算时要对自变量的取值范围进行分类讨论，并根据内层函数的值域选择合适的解析式进行计算，【变式训练】1.已知函数则________.【答案】0【分析】根据自变量所在范围代相应的对应关系即可求解【详解】因为，所以，所以故答案为：2.设函数，则_______.【答案】【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入计算，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以.故答案为：.3.已知函数则_______．【答案】【解析】利用分段函数解析式即可求解.【详解】由因为所以.故答案为：【题型三】代入求参（解方程）【典例分析】设函数，若，则实数的值为_____．【答案】【分析】根据已知条件及分段函数分段处理的原则即可求解.【详解】由题意知，；当时，有，解得(舍去)；当时，有，解得(舍去)或．所以实数的值是：．故答案为：.【提分秘籍】基本规律根据分段函数的解析式分段讨论解方程.讨论的范围，代入对应解析式,对函数值进行分段考虑，代值计算。【变式训练】1.若方程，若方程无解，则实数t的取值范围是______．【答案】【分析】利用分段函数的性质依次讨论,,,时，解的情况，计算即可.【详解】当时，时，，当时，方程，方程无解,当时，时，，方程有解,不符合题意.当时，时，,无解，当时，方程时，方程有解,不符合题意.当时，时，,无解，当时，方程时，方程无解.综上，方程无解，则实数t的取值范围是.故答案为：2.已知函数，若则___________.【答案】．【分析】根据分段函数的定义分类讨论求解．【详解】若，则，，不合题意，舍去．若，则，（正的舍去）．故答案为：．3.已知函数，若，则实数的值为__________．【答案】：8或【解析】根据分段函数解析式先求出的值，然后分类讨论解方程即可求的值．【详解】因为，所以，又因为，所以．若，由得，解得；若，由得，即，，，综上或．故答案为：8或．【题型四】分段函数分类讨论解方程【典例分析】已知函数，则满足等式的实数的取值范围是______．【答案】【分析】分别在、、和的情况下得到方程，解方程即可得到结果.【详解】当，即时，，解得：；当，即时，，满足题意；当，即时，，，，解得：；当，即时，，，，方程在上无解；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.【提分秘籍】基本规律当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值.【变式训练】1.设，若，则_____.【答案】【分析】对分两种情况讨论求出，即得解.【详解】当时，或（舍）；当时，，无解.所以，所以.故答案为：02.函数，若，则__________.【答案】【分析】根据函数各段的定义域，分，两种情况，由求解.【详解】当时，则，因为，所以，即，解得或（舍去），所以.当时，则，因为，所以无解.综上：故答案为：43.．设函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据得到，讨论的范围解得答案.【详解】函数，得到当时：解得，即当时：解得，即综上所述：故答案选D【题型五】复合函数求值【典例分析】已知函数若，则实数a的值等于___________.【答案】【分析】明确自变量所属范围，然后带入对应的解析式计算即可【详解】①当即时，，则（舍）②当即时，Ⅰ：当,即时,有Ⅱ:当时，即时，有无解综上，.故答案为：【提分秘籍】基本规律内函数函数值，是外函数自变量。分类讨论内函数自变量取值，对应内函数函数值取值，再选择对应的解析式代入。【变式训练】1.已知函数若，则a构成的集合为______．【答案】【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分类讨论，列出方程，即可求解.【详解】设，则，当时，令，即，解得；当时，令，即，解得或2（舍去）．综上，实数t的值为1或．又当时，单调递增，则有；当时，的对称轴为，此时单调递减，有．综上，，即，故，则由上可知实数a的值为1或．故答案为：2.设函数，若，则实数的取值是_________.【答案】【分析】由题知，故令，代入解得，再分，两种情况讨论求解即可.【详解】解：因为，所以当时，，因为，所以，令，所以，解得或（舍），所以所以当时，，解得，当时，，方程无解.所以实数的取值是故答案为：3.已知，函数若，则___________.【答案】【分析】由分段函数解析式可得，则即可求参数a.【详解】由解析式可得：，∴，可得.故答案为：.【题型六】求解析式1：一元一次待定系数【典例分析】设为一次函数，且．若，则的解析式为（

）A．或 B．C． D．【答案】B【分析】设，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，再结合可得出、的值，即可得出函数的解析式.【详解】设，其中，则，所以，，解得或.当时，，此时，合乎题意；当时，，此时，不合乎题意.综上所述，.故选：B.【提分秘籍】基本规律一元一次函数：1.2.【变式训练】1.一次函数满足：，则的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据待定系数法，设出，可得，再根据对应项系数相等即可求出．【详解】设，则，所以，解得或，即或．故选：AD．2.若是上单调递减的一次函数，若，则__．【答案】【分析】设，且，求出的表达式，利用对应系数相等求和的值，即可求解.【详解】因为是上单调递减的一次函数，所以设，且，，又因为，所以，解得，所以故答案为：．3.已知一次函数满足，则＝________.【答案】【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案.【详解】设，则由，得，即，故解得，所以.故答案为：.【题型七】求解析式2：一元二次待定系数【典例分析】已知二次函数满足，则（）A．1 B．7 C．8 D．16【答案】B【分析】采用待定系数法先求解出的解析式，然后即可计算出的值.【详解】设，因为，所以，化简可得：，所以，所以，所以，所以，所以，故选：B.【提分秘籍】基本规律二次函数公式①一般式顶点式：y＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a). ②顶点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))，对称轴是：x＝－eq\f(b,2a).③方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)求根公式：x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)【变式训练】1.已知是二次函数．且．则________．【答案】【分析】设,化简整理对应系数得到，解方程组即可求出结果.【详解】设，则，，所以，又，因此，解得，所以，故答案为：.2.若二次函数满足，，求.【答案】.【分析】由于已知是二次函数，所以用待定系数法即可.【详解】因为二次函数满足；所以设，则：；因为，所以；∴；∴；∴，；∴.故答案为：.【题型八】求解析式3：反比例函数【典例分析】已知函数，其中是x的正比例函数，是x的反比例函数，且，则（

）A．3 B．8 C．9 D．16【答案】C【分析】根据题意设，则，然后由列方程组求出的值，从而可得的解析式，进而可求出【详解】根据题意设，则，因为，所以，解得，所以，所以，故选：C【提分秘籍】基本规律反比例函数：【变式训练】1.已知是反比例函数，且，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，利用待定系数法，即可得到结果.【详解】设，∵，，∴.故选：B.2.已知与x成反比例，当时，，则y与x间的函数关系式为_____.【答案】【分析】由题意可设，结合已知条件求，即可写出y与x间的函数关系式.【详解】由题意可设，又时，，∴，即，故.故答案为：【题型九】求解析式4：换元法【典例分析】已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，则，代入已知解析式可得的表达式，再将换成即可求解.【详解】令，则，所以，所以，故选：A.【提分秘籍】基本规律形如，可以令t=g（x），反解出x，代入到解析式中，转化为f（t）型，即为f（x）解析式使用换元法求解析式时，要注意换元后的取值范围。【变式训练】1.若函数，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.【详解】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．2.已知，则_________.【答案】【分析】令，利用换元法可得，进而可得出的解析式.【详解】令，则，由，得()，即().故答案为：.3.已知，那么f（8）等于A．1 B．3 C．8 D．【答案】A【分析】利用换元法求得函数解析式，代值计算即可.【详解】对已知函数令，有，所以故选：A【题型十】求解析式5：指数和对数换元型【典例分析】设，则的值是（

）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】B【分析】先由给出的解析式求出函数f（x）的解析式，然后把3代入求值．【详解】设log2x＝t，则x＝2t，所以f（t）＝，即f（x）＝，则f（3）＝．故选：B【提分秘籍】基本规律利用换元法求指数式和对数式型函数解析式时，要注意指对互化x＝logbN（(a>0且a≠1，N>0)【变式训练】1.（2020·天津四十三中高一阶段练习）若，则的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】换元法令求得代入得解【详解】令，则代入所以故故选：B2.已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，可得出，代入化简可得出函数的解析式.【详解】已知，设，则，所以，故．故选：A．【题型十一】求解析式6：凑配型【典例分析】已知，则（

）A．6 B．3 C．11 D．10【答案】C【解析】利用拼凑法求出解析式，即可得出所求.【详解】，，.故选：C.【提分秘籍】基本规律配凑法求解析式：1、观察式子结构，进行“同构”配凑。2、配凑换元时，要主语式子对应的函数取值范围。如，则或【变式训练】1.若函数，且，则实数的值为（

）A． B．或 C． D．3【答案】B【分析】令，配凑可得，再根据求解即可【详解】令（或），，，，.故选；B2.已知函数，则函数的解析式为______.【答案】，【分析】根据凑配法求解函数解析式即可.【详解】解：因为，所以，因为，所以，故答案为：，3.若，则__________．【答案】【解析】利用换元法运算即可得解.【详解】由题意，，设，则，所以.故答案为：.【题型十二】求解析式7：函数方程型【典例分析】已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(1)＝____．【答案】9【分析】首先设函数，利用待定系数法，求函数的解析式，即可求的值.【详解】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b，即ax＋5a＋b＝2x＋17不论x为何值都成立．∴，解得∴f(x)＝2x＋7，从而得f(1)＝9.故答案为：9【提分秘籍】基本规律一般情况下，形如，g（x）与h（x）存在着迭代关系，如g（x）=x与h（x）=-x的关系，如与的关系等等。【变式训练】1.已知求f(x)的解析式.【答案】.【分析】构造方程，利用解方程组的方法求解解析式即可.以－x代替x得：,与联立得：.2.定义在R上的函数满足，则______.【答案】2005.【解析】令，则，代入条件解不等式组求，进而可求.【详解】令，则，从而有，所以解得，所以，故答案为：.3.已知函数满足，其中且，则函数的解析式为__________【答案】【分析】用代换，可得，联立方程组，求得，再结合换元法，即可求解.【详解】由题意，用代换解析式中的，可得，…….（1）与已知方程，……（2）联立（1）（2）的方程组，可得，令，则，所以，所以.故答案为：.【题型十三】复合型换元计算（难点）【典例分析】已知定义在上函数为单调函数,且对任意的实数,都有,则

A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，分析可得为常数，设，变形可得，分析可得，可解得的值，即可得的解析式，将代入可得答案.【详解】根据题意，是定义域为的单调函数，且对任意实数都有，则为常数，设，则，又由，即，解可得，则，则，故选：B.【变式训练】1.已知单调函数，对任意的都有，则A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】设根据条件求出函数的解析式，令代入求解即可．【详解】设，则，且，令，则，解得，∴，∴．故选C．2.已知函数为上的增函数，且对任意都有，则______.【答案】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式，从而即可求解出的值.【详解】令，所以，又因为，所以，又因为是上的增函数且，所以，所以，所以.故答案为：.分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1.设函数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意直接求解即可.【详解】解：因为，所以．故选：D．2.已知函数，则=_________【答案】【分析】按照解析式直接计算即可.【详解】.故答案为：-3.3.已知实数，函数，若，则a的值为________.【答案】【分析】讨论的取值，代入解析式即可求解.【详解】当时，，解得，满足；当时，，解得，满足；故答案为：4.函数，若实数满足，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】判断的单调性可得，所以，求得的值即可求解.【详解】由题意可得的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，若，所以，可得，由可得，解得：，所以，故选：D.5.已知函数，若，则______________.【答案】0【分析】用换元法，结合函数的解析式进行求解即可.【详解】令，则，（1）当时，，所以；当时，（舍去），当时，；（2）当时，，所以；当时，，显然此时方程无实数解，当时，，显然此时方程无实数解，综上所述：.故答案为：06.已知是一次函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设一次函数，代入已知式，由恒等式知识求解．【详解】设一次函数，则，由得，即，解得，.故选：A．7.已知二次函数满足，，则函数的最小值为__________．【答案】．【分析】根据为二次函数可设，由可得，再根据，比较对应项系数即可求出，再根据二次函数的性质即可得到函数的最小值．【详解】为二次函数，可设，，因为，即，，解得，，令，则，函数即为．的图象开口向上，图象的对称轴为直线，在上单调递增，，即的最小值为．故答案为：．8.已知函数，则函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用配凑法（换元法）计算可得.【详解】解：方法一（配凑法）∵，∴.方法二（换元法）令，则，∴，∴.故选：A9.设函数，则的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得出且，化简可得出，即可得出函数的解析式.【详解】令，则且，所以，，因此，.故选：B.10.若，则______.【答案】【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可.【详解】解：因为，所以故答案为：711.已知，则______．【答案】6【分析】用配凑法求出，直接代入求解.【详解】，把整体换成x，可得，所以．故答案为：612.已知满足，求的解析式.【答案】.【分析】在原方程中用替换得到另一个方程，利用解方程组法即可求得.【详解】因为满足，则，联立方程组解得，即为所求.培优第二阶——能力提升练1.已知函数，，，则_______；【答案】【分析】直接将，，的表达式代入中，化简即可.【详解】.故答案为：2.设函数f(x)＝，则f(f（2）)＝________.【答案】－【分析】根据分段函数的解析式，先计算f（2），再计算f(f（2）)，可得答案.【详解】由题意可得，所以，故答案为：3.已知函数，若，则实数______．【答案】【分析】分和两种情况，解方程及，结合范围求得结果.【详解】当时，由得，此方程无实数解；当时，由得，解得．故答案为：.4.已知函数若，则___________.【答案】4【分析】先求出的值，再由，可得，从而可求出的值【详解】，得.故答案为：45.已知，若，则_______.【答案】【分析】分和两种情况建立方程求解.【详解】当时，，，解得或（舍去）；当时，，，此时方程无解，综上，.故答案为：．6.已知是一次函数，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设函数，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】由题意，设函数，因为，可得，解得，所以.故选：B.7.已知为二次函数，若在处取得最小值，且的图象经过原点，则函数解析式为___________.【答案】【分析】用顶点式设出函数解析式，再代入原点坐标可得．【详解】因为在处取得最小值，所以可设，又图象过原点，所以，，所以．故答案为：．8.已知函数满足则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用换元法可求.【详解】令则，则.即.故选：D.9.已知函数满足：，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，则，由已知利用换元法即可求得结果.【详解】，令，则，，即，，故选：A10.已知，则的解析式为__________．【答案】(或，)【分析】利用换元法求函数的解析式即可.【详解】设，所以所以故答案为(或，)11.已知满足，（x>0），求的解析式.【答案】【分析】化简，利用配凑法求函数解析式.【详解】，又，，，12.已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.【答案】f(x)=2x【分析】利用换元法，用方程组思想求得，然后用配凑法得出．【详解】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，∴f(x+1)=2x2(x+1)，f(x)=2x，故答案为：f(x)=2x.培优第三阶——培优拔尖练1.设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出解析式，即得到的解析式，再利用换元法求出的解析式即可.【详解】因为，所以又因为，所以，令，则，，所以.故选：B.2.已知函数则______.【答案】【解析】由于，代入对应的分段函数的解析式中，即可得解.【详解】由，得.故答案为：.3.已知，若，则________．【答案】8【解析】由分段函数的解析式结合，即可求得a的