职教高考数学复习立体几何8.4直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 课件

立体几何专题一点、线、面之间的位置关系8.4直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质知识点1

空间线面、面面垂直的定义1.

直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面

互相垂直.2.

平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直角，那么就称这两个平面互相垂直.知识点2

线面垂直的判定定理与性质定理1.

直线与平面垂直的判定定理（1）定理1：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这

个平面垂直，即m⊆α，n⊆α，m∩n＝A，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α（线线垂直⇒线

面垂直），如图所示.（2）定理2：如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这

个平面，即m∥n，m⊥α⇒n⊥α，如图所示.2.

直线与平面垂直的性质定理（1）性质1：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有

直线都垂直，即l⊥α，m⊆α⇒l⊥m（线面垂直⇒线线垂直），如图所示.（2）性质2：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线互相平行，即

l⊥α，m⊥α⇒l∥m（线面垂直⇒线线平行），如图所示.知识点3

面面垂直的判定定理与性质定理1.

两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即l⊥α，

l⊆β⇒β⊥α（线面垂直⇒面面垂直），如图所示.2.

两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个

平面，即α⊥β，α∩β＝m，l⊆β，l⊥m⇒l⊥α（面面垂直⇒线面垂直），如图

所示.

例1

下列四个命题中，正确的是（）.A.

若直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥αB.

若过一点作已知直线的垂面，则有且只有一个平面C.

若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面D.

若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β【考查目标】本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理.【答案】

B【解析】选项A中，直线l与平面α内无数条直线都垂直，当平面α内的这些直线

互相平行时，此时直线l可能与平面α平行，可能在平面α内，也可能与平面α相

交但不垂直；选项C中，如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们

交线的直线与另一个平面垂直，否则不垂直；选项D中，若平面α内的一条直线

垂直于平面β内的无数条直线，当平面β内的这些直线互相平行时，则平面α内的

该条直线不一定垂直于平面β，所以两平面不一定垂直.例2

如图所示，直线PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于

A，B的任意一点.求证：（1）BC⊥平面PAC；【解析】

（1）因为直线PA⊥平面ABC，且BC⊆平面ABC，所以BC⊥PA.

因为C为圆上异于A，B的任意一点，AB为直径，所以BC⊥AC.

又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.

（2）PC⊥BC.

【解析】

（2）由（1）可知BC⊥平面PAC，且PC⊆平面PAC，所以

PC⊥BC.

【考查目标】本题考查线面垂直的判定定理和性质定理的具体应用.【解题技巧】

（1）证明直线和平面垂直的常用方法：①利用线面垂直的判定定理；②利用直线垂直于平面的传递性（m∥n，m⊥α⇒n⊥α）；③利用面面平行的性质（m⊥α，α∥β⇒m⊥β）；④利用面面垂直的性质定理.（2）证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需要借助于线面

垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.变式训练1（1）（2018年安徽省职教高考真题）如图所示，PA⊥平面ABC，且∠ABC＝

90°，则下列结论错误的是（D）.A.

PA⊥ABB.

PA⊥ACC.

BC⊥平面PABD.

AB⊥平面PBCD【解析】因为PA⊥平面ABC，且AB⊆平面ABC，AC⊆平面ABC，BC⊆平面

ABC，且PA∩AB＝A，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.

又因为∠ABC

＝90°，所以BC⊥AB，且PA∩AB＝A，故A，B，C均正确.而AB⊥平面

PBC错误，因为在△PAB中，AB与PB不是垂直关系.（2）如图所示，在三棱锥S－ABC中，若AC＝SC，AB＝SB.

求证：

SA⊥BC.

证明：取SA的中点D，连接BD，CD.

因为AC＝SC，AB＝SB，所以BD⊥SA，CD⊥SA.

又因为BD∩CD＝D，BD⊆平面BCD，CD⊆平面BCD，所以SA⊥平面BCD，又BC⊆平面BCD，故SA⊥BC.

例3

（2025届安徽省“江淮十校”职教高考第二次联考）如图所示，四棱锥P

－ABCD的底面为正方形，若PA⊥平面ABCD，则下列结论中正确的有

（）个.①PA⊥BD

②BC∥平面PAD

③BD⊥平面PAC

④平面PBD⊥平面PACA.1B.2C.3D.4【考查目标】本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判断.【答案】

D【解析】因为PA⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，所以PA⊥BD，故①正

确；因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，因为BC⊈平面PAD，AD⊆

平面PAD，所以BC∥平面PAD，故②正确；因为四边形ABCD为正方形，所

以BD⊥AC，又因为BD⊥PA，PA∩AC＝A，PA⊆平面PAC，AC⊆平面

PAC，所以BD⊥平面PAC，故③正确；因为BD⊆平面PBD，BD⊥平面

PAC，所以平面PBD⊥平面PAC，故④正确.综上所述，正确的结论有4个.【解题技巧】解这类位置关系的判断问题，关键是熟知有关定理的条件和结论.

如线面平行的判定中要注意一条直线在平面外，一条直线在平面内；线面垂直的

判定中要注意一条直线垂直于平面内的两条相交直线，“相交直线”是关键词.变式训练2（1）已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β，给出四个命题：①若α∥β，则

l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α⊥β.其中正

确命题的序号为（C）.A.

①②B.

③④C.

①③D.

②④【解析】已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β，①若α∥β，而l⊥α，则l⊥β，又

因为m⊆β，则l⊥m成立；②若α⊥β，则l∥β或l⊆β，所以l∥m不一定成立；

③若l∥m，则m⊥α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β成立；④l⊥m时，α⊥β

不一定成立.C（2）在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，从该四面体的四个面中

任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（C）.A.1对B.2对C.3对D.4对C【解析】如图，因为DA⊥平面ABC，所以平面DAC⊥平面ABC，平面DAB⊥

平面ABC.

又因为DA⊥平面ABC，AB⊥AC，所以直线AB⊥平面DAC，所

以平面DAB⊥平面DAC.

例4

（2022年安徽省职教高考真题）如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，

OC两两垂直，则下列判断正确的是（）.A.

△ABC是等边三角形B.

△OAB是等腰三角形C.

平面OAB⊥平面ABCD.

平面OAB⊥平面OBC【答案】

D【解析】

∵OA，OB，OC不一定相等，∴选项A，B错误；∵OA⊥OB且

OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，又OA⊆平面OAB，∴平面

OAB⊥平面OBC.

【考查目标】本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系.【解题技巧】

（1）证明面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判

定定理.（2）已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的

垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.（3）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.当要作一个平面的一条垂

线时，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.（4）化归思想在这里的运用：要证明面面垂直，就要转化为线面垂直；而要证

明线面垂直，就要转化为线线垂直（由复杂的向简单的转化）.当然在一些较为

复杂的问题中，有时不是一次性转化就能完成任务的，而是要进行反复的相互转

化（将未知转化为已知），方能使问题最终得到解决.牢记这一转化思想，许多

复杂的问题都能轻松解决.变式训练3（1）（2019年安徽省职教高考真题）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点

E，F分别是棱BB1，DC的中点，则下列结论错误的是（D）.A.

AE⊥D1FB.

DE⊥D1FC.

AE⊥BCD.

DE⊥BCD【解析】如图，易知BC∥AD，BC⊈平面ADE，则BC∥平面ADE.

在正方体

中，又BC⊥平面ABB1A1，AE⊆平面ABB1A1，所以BC⊥AE.

因为AE∩DE

＝E，所以BC不可能与DE垂直，否则BC既与平面ADE平行，又与平面ADE

垂直，所以D项错误.（2）（2023年安徽省职教高考真题）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平

行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，则下列结论正确的是（A）.A.

MN∥平面PADB.

PA∥MNC.

MN⊥平面PCDD.

PC⊥MNA【解析】取CD中点F，连接MF，NF，因为MF∥AD，NF∥PD，MF∩NF

＝F，AD∩PD＝D，所以平面NMF∥平面PAD，故MN∥平面PAD；取BP

中点Q，连接MQ，则PA∥MQ，因为MN∩MQ＝M，所以MN与PA异面；

仅根据题给条件，无法判断MN与平面PCD、PC与MN的位置关系.（3）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PB⊥平面ABCD.

则

下列结论错误的是（C）.A.

PB⊥ADB.

AC⊥平面PBDC.

AC⊥平面PBCD.

平面PAC⊥平面PBDC【解析】因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥AD，PB⊥AC，又因为底面

ABCD是菱形，所以AC⊥BD.

又因为PB∩BD＝B，PB⊆平面PBD，BD⊆

平面PBD，所以AC⊥平面PBD，由AC⊆平面PAC，所以平面PAC⊥平面

PBD，A，B，D项正确.若AC⊥平面PBC，则平面PBC∥平面PBD，但平面

PBC与平面PBD相交，C项错误.

一、选择题1.

下列四个命题中，真命题的个数是（B）.①若直线l与平面α内一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内两条直线垂

直，则l⊥α；③若直线l与平面α内两条相交直线垂直，则l⊥α；④若直线l与平

面α内任意一条直线垂直，则l⊥α.A.1B.2C.3D.4B2.

已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点P∈α，直线m经过点P，且m⊥β，则下列

结论不成立的是（B）.A.

m⊆αB.

直线l与m异面C.

m⊥lD.

m⊈β【解析】在平面α内过点P作直线n⊥l（n，l相交），根据面面垂直的性质定

理可知n⊥β，因为过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以直线

m，n重合，所以m⊆α，m⊥l成立，直线l与m异面不成立，由m⊥β知m⊈β

成立.B3.

（2023届安徽省“江淮十校”职教高考第二次联考）在空间中，已知三条直

线a，b，c，若它们满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c的位置关系是

（D）.A.

相交B.

平行C.

异面D.

以上均有可能【解析】在空间中，若a⊥b，b⊥c，则直线a与c平行、相交、异面均有可

能.4.

若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（A）.A.

平面OBCB.

平面OACC.

平面OABD.

平面ABCDA5.

（2024届安徽省“江淮十校”职教高考第七次联考）如图所示，在三棱锥A

－BCD中，点E，F分别在棱AB，BC上.若AE＝2EB，BF＝2FC，则下列说

法正确的是（B）.A.

直线AB与直线DF垂直B.

直线AC与平面DEF相交C.

直线AC与直线DE垂直D.

直线AC与平面DEF平行【解析】在△ABC中，因为AE＝2EB，BF＝2FC，且EF与AC在同一平面

内，所以EF不平行于AC，即EF与AC相交，故直线AC与平面DEF相交.B

A.30°B.45°C.60°D.90°

C7.

（2023届安徽省“江淮十校”职教高考第三次联考）若直线l垂直于平面α，

则下列说法不正确的是（B）.A.

平面α上有无数条直线与直线l异面垂直B.

平面α上与直线l垂直的直线互相平行C.

平面α上任意一条直线都与直线l垂直D.

平面α上有无数条直线与直线l垂直【解析】平面α上与直线l垂直的直线可能平行，也可能相交.8.

设α为平面，m，n为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（B）.A.

若m∥α，n∥α，则m∥nB.

若m⊥α，n∥m，则n⊥αC.

若m⊥α，m⊥n，则n⊥αD.

若m∥α，n⊥m，则n⊥αBB二、填空题9.

已知点P为30°的二面角α－l－β的半平面α内一点，且点P到l的距离为6，

则点P到平面β的距离为

⁠.

10.

在空间中，若l⊥α，m⊆α，则l与m的位置关系是

⁠.3相交或异面11.

如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，在四面体A1－ABC的四个面中，直角

三角形的个数是

⁠.4【解析】如图，由正方体的性质可知∠ABC＝∠A1AB＝90°；而由CB⊥平面

A1AB，可得BC⊥A1B；由A1A⊥平面ABC，可得A1A⊥AC，所以四面体A1

－ABC的四个面，每个都是直角三角形.

三、解答题12.

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：直线B1C⊥平面ABC1D1.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知AB⊥平面BCC1B1，所以AB⊥B1C.

在正方形