职教高考数学复习平面解析几何 7.10抛物线的几何性质 课件

平面解析几何专题四抛物线7.10抛物线的几何性质

知识点

抛物线的几何性质焦点

位置x轴正半轴x轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴图形

焦点

位置x轴正半轴x轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴标准

方程y2＝2px（p＞

0）y2＝－2px（p

＞0）x2＝2py（p＞

0）x2＝－2py（p＞

0）焦点

坐标准线

方程焦点

位置x轴正半轴x轴负半轴y轴正半轴y轴负半轴范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称

轴x轴y轴顶点抛物线和对称轴的交点：原点O（0，0）离心

率抛物线上的点M到焦点的距离与点M到准线的距离之比：e＝1

注：p＞0，其几何意义是焦点到准线的距离.

（2）顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x－y＝4上.【考查目标】

本题考查抛物线的标准方程和几何性质.【解析】

（2）因为抛物线的焦点在坐标轴上，且又在直线2x－y＝4上，则焦

点是直线2x－y＝4与坐标轴的交点，即（2，0）或（0，－4），所以该抛物线

的标准方程为y2＝8x或x2＝－16y.【解题技巧】我们学习的抛物线都是以坐标轴为对称轴，坐标原点为顶点，焦点

都在坐标轴上，其标准方程是y2＝±2px（p＞0）或x2＝±2py（p＞0），故解

这类题的关键是确定抛物线的焦点在哪个半轴上，注意多种情况，然后再确定p

的值，求出抛物线的标准方程.变式训练1（1）（2025届安徽省“江淮十校”职教高考第三次联考）已知抛物线的顶点为

坐标原点，对称轴为坐标轴，若抛物线的焦点F关于其准线对称的点为（0，－

3），则抛物线的标准方程为（C）.A.

x2＝8yB.

x2＝－4yC.

x2＝4yD.

x2＝－8yC【解析】由题意可知抛物线的焦点F在y轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为

（2）（2019年安徽省职教高考真题）若直线x＋y－3＝0经过抛物线y2＝2px的焦点，则p的值为（C）.CB.3C.6D.12（3）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点（－2，－

4），求该抛物线的标准方程.

例2

（2024年安徽省职教高考真题）已知直线l过抛物线y2＝4x的焦点，且与

该抛物线交于A，B两点.若线段AB的中点C到直线x＝－1的距离等于3，则直

线l的斜率为（）.A.

±1D.

±2【考查目标】本题考查抛物线的定义和标准方程.【答案】

B

【解题技巧】涉及圆锥曲线与直线相交成弦的“弦中点”的问题可以使用“代点

作差法”，设直线与圆锥曲线的交点坐标并代入圆锥曲线方程，建立直线的斜率

与弦中点坐标间的关系，再由直线上其他已知点的坐标与弦中点坐标间的关系构

建方程，求出弦中点坐标和斜率.

A.

x2＝12yB.

x2＝12y或x2＝－12yC.

y2＝8xD.

y2＝8x或y2＝－8x（2）已知抛物线y2＝－2px（p＞0）的准线与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝25相

切，则p的值为（C）.A.3B.5C.6D.8BC

例3

已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，过焦点F且倾斜角为45°的直线l与抛物

线交于A，B两点，求线段AB的长度.【考查目标】本题考查直线与抛物线的综合应用.【解析】由题意得焦点F的坐标为（2，0），直线l的斜率k＝tan

45°＝1，所

以直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.设A（x1，y1），B（x2，y2），

由抛物线的方程可知x1≥0，x2≥0，联立抛物线方程和直线方程并消去y得x2－

12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，于是根据抛物线的定义得｜AB｜＝｜AF｜

＋｜BF｜＝｜x1｜＋2＋｜x2｜＋2＝x1＋x2＋4＝16.

变式训练3（1）若经过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，并垂直于抛物线对称轴的直线交

抛物线于A，B两点，且｜AB｜＝10，则该抛物线的标准方程为（B）.A.

x2＝5yB.

x2＝10yC.

x2＝15yD.

x2＝20y

B（2）若经过抛物线x2＝－4y的焦点F，且倾斜角为135°的直线l交抛物线于

M，N两点，则｜MN｜＝（D）.A.2B.4C.6D.8D

（3）（2024届安徽省“江淮十校”职教高考第六次联考）若直线y＝x与抛物线

y2＝4x交于点A（异于原点O），且与抛物线的准线交于点B，则｜OA｜∶｜

OB｜＝（D）.A.2∶1B.1∶2C.1∶4D.4∶1D

A.

x＝－1B.

y＝0C.

x＝0D.

y＝－1

2.

抛物线y＝－2x2的准线方程为（C）.BC3.

（2021年安徽省职教高考真题）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程为x

＝－1，则p＝（D）.C.1D.24.

若直线ax－2y＝6经过抛物线x2＝－2py（p＞0）的焦点，则p＝（B）.A.3B.6C.12D.245.

若F为抛物线x2＝－18y的焦点，过点F且与x轴平行的直线交抛物线于A，

B两点，则｜AB｜＝（B）.A.9B.18C.24D.36DBB

7.

已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，M为抛物线上的任意一点，点A的坐标为

（－2，3），则｜MF｜＋｜MA｜的最小值为（B）.A.3C.4D.6AB

B.1C.2

D二、填空题9.

抛物线y2＝－6x的焦点坐标为

，离心率为

⁠.10.

过点P（3，6）的直线与抛物线y2＝12x只有一个公共点，则这样的直线共

有

条.【解析】由题意可知点P（3，6）在抛物线y2＝12x上，故过点P（3，6）且与

抛物线y2＝12x只有一个公共点时只能是①过点P（3，6）且与抛物线y2＝12x

相切；②过点P（3，6）且平行于抛物线的对称轴.∴过点P（3，6）且与抛物

线y2＝12x有且只有一个公共点的直线有2条.

1211.

已知抛物线y2＝6x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：8x－6y＋28＝0

的距离为d2，则d1＋d2的最小值为

⁠.

412.

已知点M（b，3）在抛物线ax2＋y＝0上，且点M与抛物线焦点的距离等于

7，则a＝

⁠.13.

已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一

点，且满足｜MO｜＝｜MF｜＝3，则p＝

⁠.

4三、解答题14.

已知抛物线y2＝kx经过点（－1，4），求k的值，并写出抛物线的焦点坐

标、顶点坐标、对称轴、准线方程和离心率.解：因为抛物线y2＝kx经过点（－1，4），所以42＝k·（－1），解得k＝－16.故抛物