职教高考数学复习数列 5.3等比数列 课件

数列专题三等比数列5.3等比数列

知识点1

等比数列的定义1.

等比数列的定义一般地，如果一个数列{an}从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非

零常数时，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常

用字母q来表示.

注：①等比数列的各项都不能为0，即an≠0；②公比q可以为正数，也可以为负数，但是不能为零，q＝1的数列是常数列；

知识点2

等比数列的通项公式1.

等比数列的通项公式an＝a1qn－1，其中a1表示首项，n表示项数，q表示公比.2.

等比数列通项公式的推广an＝amqn－m（n∈N*，m∈N*）.注：利用等比数列的通项公式可以求出数列中的任意一项.知识点3

等比数列的性质1.

等比中项

注：“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的必要不充分条件.2.

等比数列的性质

知识点4

等比数列前n项和

注：等比数列前n项和公式共涉及a1，q，n，an，Sn五个基本量，根据其中的

三个基本量可以求出另外两个基本量，但在等比数列的求和过程中一定要注意公

比q是否等于1.

例1

在数列{an}中，已知首项为2，且an＋1－2an＝0.（1）求证：数列{an}是等比数列；

（2）求a5的值.【解析】

（2）∵an＝a1qn－1，∴a5＝a1q4＝2×24＝32.【考查目标】本题考查等比数列的定义及根据通项公式求某项的值.

变式训练1

D

（2）（2022年安徽省职教高考真题）在等比数列{an}中，若a1＋a2＝a3－a1＝

3，则a4＝（B）.A.16B.8C.4D.2【解析】由题意知a1＋a1·q＝3，a1·q2－a1＝3，解得a1＝1，q＝2，∴a4＝a1q3

＝8.B

A.22B.21C.20D.19【考查目标】本题考查等比数列的前n项和公式.

【答案】

B【解题技巧】在求等比数列的前n项和时，要先求出首项a1和公比q，然后运用

求和公式，或者以相邻两项间的关系为突破口进行求解.变式训练2（1）（2024年安徽省职教高考真题）在等比数列{an}中，a2＝3，公比q＝3.若

此数列的前n项和Sn＝40，则n＝（B）.A.3B.4C.5D.6

B

（2）（2022届安徽省“江淮十校”职教高考第七次联考）已知数列{an}的前n

项和为Sn，且an＋1＝－2an，S3＝－9，则a1的值为（D）.A.6B.

－6C.3D.

－3D例3

已知等比数列{an}的前3项和S3＝6，前6项和S6＝54.求：（1）这个数列的通项公式an；

（2）这个数列的第6项a6；

（3）这个数列的前8项和S8.

【考查目标】本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式.

【误区防范】对于等比数列的求和问题，要注意讨论q＝1和q≠1两种情况.变式训练3

A.2

D

A.2B.3C.4D.6

A（3）（2025届安徽省“江淮十校”职教高考第三次联考）已知各项均为正数的

等比数列{an}，前n项和为Sn，公比为q，若5S2＝4S4，则q＝（B）.A.2

B例4

已知三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，求这三个数.【考查目标】本题考查等比数列的性质.

变式训练4已知四个正数，前三个数成等比数列且和为19，后三个数成等差数列且和为12，

求这四个数.

一、选择题1.

在等比数列{an}中，若a1＝2，a4＝54，则数列{an}的通项公式为（C）.A.

an＝3nB.

an＝3n－1C.

an＝2×3n－1D.

an＝2×3n

CB3.

在等比数列{an}中，若a1＝1，q＝3，则数列{an}的前4项和S4＝（C）.A.34B.38C.40D.45

4.

在等比数列{an}中，若a7和a10分别是方程x2－10x＋16＝0的两个实数根，则

a5·a12的值为（C）.A.

－10B.10C.16D.

－16CC5.

已知三个数成等比数列，公比q＜1，且这三个数的和为21，积为64，则这三

个数依次为（D）.A.2，4，8B.4，4，4C.8，4，2D.16，4，1

D6.

若数列{an}的通项公式为an＝5×3n－2，则数列{an}是（C）.A.

公比为5的等比数列C.

公比为3的等比数列D.

首项为5的等比数列

7.

在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3＝10，则lg

a1＋lg

a2＋lg

a4＋lg

a5＝

（B）.A.3B.4C.10D.15

CB

B.19.

（2024届安徽省“江淮十校”职教高考第五次联考）已知等比数列{an}的前n

项和为Sn，若a3a7＝5a5，则S4－S5＝（B）.A.5B.

－5C.

－10D.10

10.

已知数列{an}满足an＋1＋3an＝0，且a1＝2，则该数列的通项公式为

（B）.A.

an＝2×3n－1B.

an＝2×（－3）n－1C.

an＝3n－2D.

an＝－3n－2CBB二、填空题

12.

在等比数列{an}中，若an＝3n，则公比q＝

⁠.

13.

在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若公比q＝2，S4＝3，则S8的值

为

⁠.2735114.

在等比数列{an}中，若a1＝－4，a4＝32，an＝128，则n＝

⁠.【解析】a4＝

a1q3＝－4q3＝32，解得q＝－2，an＝－4×（－2）n－1＝－（－2）n＋1＝128，解得n＝6.6

三、解答题

（1）数列{a