2023年九年级数学上册《一元一次方程的解法一》知识考点练习（含答案）

一元二次方程的解法（1）考点先知考点先知知识考点直接开平方法1.直接开平方法的使用条件2.直接开平方法解一元二次方程配方法3.配方法解一元二次方程4.利用配方法求最值题型精析题型精析知识点一直接开平方法知识点一直接开平方法分类直接开平方法形如，可以用直接开平方法解方程.【注意】1.时，方程有实数根，时，方程无实数根；2.时，方程有两个相等的实数根；3.时，方程有两个不相等的实数根.题型一直接开平方法的使用条件题型一直接开平方法的使用条件例1若关于的方程有实数根，则的取值范围是（）例1A．B．C．D．例2如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（）例2A．B．C．D．变1关于的方程无实数根，那么满足的条件是变1A．B．C．D．变2若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（）变2A．B．C．D．题型二直接开平方法解方程题型二直接开平方法解方程例1解方程：．例1例2解方程：．例2变1解方程：．变1变2方程的根是______．变2知识点二配方法知识点二配方法分类配方法将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程.【配方法的步骤】1.先将方程化为一般形式：；2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”；3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方；4.利用直接开平方法解方程.题型三配方法解一元二次方程题型三配方法解一元二次方程例1一元二次方程，配方后可变形为（）例1A．B．C．D．例2将方程配方成的形式为（）例2A．B．C．D．变1一元二次方程，经过配方可变形为（）变1A．B．C．D．变2用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（）变2A．B．C．D．例3例3（1）（2）（3）（4）变3用配方法解方程：变3（1）（2）（3）（4）知识点三配方法的应用知识点三配方法的应用分类平方的非负性1.是非负数，即，此外.2.有最_____值，此时_____；3.有最_____值，此时_____；4.有最_____值，此时_____,利用配方法求最值将式子配方为或，根据平方的非负性，则：1.有最_____值，此时_____；2.有最_____值，此时_____.题型四利用配方法求最值题型四利用配方法求最值例1例1（1）当_____，有最_____值_____；（2）当_____，有最_____值_____；变1填空：变1（1）当_____，有最_____值_____；（2）当_____，有最_____值_____；例2小萱的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：例2（1）说明：代数式的最小值为______；（2）请仿照小萱的思考求代数式的最大值．变2阅读理解：求代数式的最小值.变2解：因为，所以当时，代数式有最小值，最小值是1.仿照应用求值：（1）求代数式的最小值；（2）求代数式的最大值.例3无论x取何值，代数式的值（）例3A．总是大于8B．总是不小于8C．总是不小于11D．总是大于11例4的最大值为______．例4变3求证：无论x为何值，代数式的值必不小于．变3变4当______时，代数式有最小值为______．变4例5已知代数式A=3x2-x＋1，B=4x2＋3x＋7，则A______B（填＞，＜或=例5变5已知，则______．(填“”“”或“”)变5例6已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．例6例7已知实数满足，则代数式的最小值等于（）例7A．1B．-4C．-8D．无法确定例8若，则p的最小值是（）例8A．2021B．2015C．2016D．没有最小值变6已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于______．变6变7已知实数a、b满足a-b2=4，则代数式a2-3b2+a-14的最小值是______．变7变8整式的最小值为______．变8课后强化课后强化1.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（）A．B．C．D．2.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（）A．B．C．D．3.方程的根是（）A．，B．，C．D．，4.解方程：．5.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A．B．C．D．6.把方程化成的形式，则（）A．17B．14C．11D．77.把方程的左边配方后可得方程（）A．B．C．D．8.用配方法解下列方程：（1）（2）9.用配方法解下列方程：（1）（2）10.代数式的最小值为______．11.用配方法证明：的最小值是．12.对于任意的实数，代数式的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．无法确定13.设，其中a为实数，则M与N的大小关系是（）A．M＞NB．M≥NC．M≤ND．不能确定14.不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x-12y+7的值（）A．总是大于7B．总是不小于9C．总是不小于-9D．为任意有理数15.实数a，b满足a2+b2-2a=0，则4a+b2的最大值______．一元二次方程的解法（1）考点先知考点先知知识考点直接开平方法1.直接开平方法的使用条件2.直接开平方法解一元二次方程配方法3.配方法解一元二次方程4.利用配方法求最值题型精析题型精析知识点一直接开平方法知识点一直接开平方法分类直接开平方法形如，可以用直接开平方法解方程.【注意】1.时，方程有实数根，时，方程无实数根；2.时，方程有两个相等的实数根；3.时，方程有两个不相等的实数根.题型一直接开平方法的使用条件题型一直接开平方法的使用条件例1若关于的方程有实数根，则的取值范围是（）例1A．B．C．D．【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．【解答】解：，，方程有实数根，，，故选：．例2如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（）例2A．B．C．D．变1关于的方程无实数根，那么满足的条件是变1A．B．C．D．【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可．【解答】解：当时，方程无解．即．故选：．变2若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（）变2A．B．C．D．【分析】由于方程有两个实数根，则，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得，所以．故选：．题型二直接开平方法解方程题型二直接开平方法解方程例1解方程：．例1【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．【解答】解：移项，得，，解得，．例2解方程：．例2【答案】，变1解方程：．变1【分析】用直接开方法解方程即可．【解答】解：，，，，．变2方程的根是______．变2【分析】直接开平方即可得出答案．【解答】解：，或，解得，，故答案为：，．知识点二配方法知识点二配方法分类配方法将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程.【配方法的步骤】1.先将方程化为一般形式：；2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”；3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方；4.利用直接开平方法解方程.题型三配方法解一元二次方程题型三配方法解一元二次方程例1一元二次方程，配方后可变形为（）例1A．B．C．D．【答案】D【分析】首先进行移项，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．【详解】解：∵，∴，，∴．故选：D．例2将方程配方成的形式为（）例2A．B．C．D．【答案】A【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．【详解】解：，，，，，故选：A．变1一元二次方程，经过配方可变形为（）变1A．B．C．D．【答案】A【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．【详解】解：方程移项得：，配方得：，即．故选：A．变2用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（）变2A．B．C．D．【答案】A【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都除以2再都加上，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．【详解】解：，，，，，故选：A．例3例3（1）（2）（3）（4）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据题意，利用配方法解一元二次方程；（2）根据题意，利用配方法解一元二次方程；（3）根据题意，利用配方法解一元二次方程；（4）根据题意，利用配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，，，∴，解得：；（2）解：，，即，∴，解得：；（3）解：，∴，∴，即，解得：；（4）解：，，，，∴，解得：．变3用配方法解方程：变3（1）（2）（3）（4）【答案】(1)(2)，(3)，(4)【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）根据配方法解一元二次方程即可求解；（3）根据配方法解一元二次方程即可求解；（4）根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：∴即，解得（2）解：即，解得（3）解：，∴，解得，；（4）解：∴，∴，∴，解得．知识点三配方法的应用知识点三配方法的应用分类平方的非负性1.是非负数，即，此外.2.有最_____值，此时_____；3.有最_____值，此时_____；4.有最_____值，此时_____,利用配方法求最值将式子配方为或，根据平方的非负性，则：1.有最_____值，此时_____；2.有最_____值，此时_____.题型四利用配方法求最值题型四利用配方法求最值例1例1（1）当_____，有最_____值_____；（2）当_____，有最_____值_____；变1填空：变1（1）当_____，有最_____值_____；（2）当_____，有最_____值_____；例2小萱的思考：代数式无论a取何值都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4．根据小丽的思考解决下列问题：例2（1）说明：代数式的最小值为______；（2）请仿照小萱的思考求代数式的最大值．【答案】(1)(2)17【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最小值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，根据平方结果为非负数确定出最大值即可．【详解】（1）解：原式，无论取何值，，，则的最小值为，故答案为：；（2），，原式，则的最大值为17．变2阅读理解：求代数式的最小值.变2解：因为，所以当时，代数式有最小值，最小值是1.仿照应用求值：（1）求代数式的最小值；（2）求代数式的最大值.【答案】(1)9(2)【分析】（1）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案；（2）先配方，再根据完全平方的非负性即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可得，，∵，∴，∴当时，代数式有最小值，最小值是9；（2）解：由题意可得，，∵，∴，∴当时，代数式有最大值，最大值为．例3无论x取何值，代数式的值（）例3A．总是大于8B．总是不小于8C．总是不小于11D．总是大于11【答案】B【分析】将代数式配方，得到，即可求解．【详解】解：，∵，∴代数式的值总是不小于8，故选：B．例4的最大值为______．例4【答案】【分析】将式子配方成完全平方式即可得出答案．【详解】解：，∵，∴，∴当时，原式取得最大值，故答案为：．变3求证：无论x为何值，代数式的值必不小于．变3【答案】证明见解析【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：，∵，∴，∴无论x为何值，代数式的值必不小于．变4当______时，代数式有最小值为______．变4【答案】3【分析】根据偶次方的非负性可知，当时有最小值，进而可求解．【详解】解：，当时代数式取得最小值，最小值为，即时，代数式的最小值为，故答案为：3；．例5已知代数式A=3x2-x＋1，B=4x2＋3x＋7，则A______B（填＞，＜或=例5【答案】<【分析】先求A-B的差，再将差用配方法变形为A﹣B＝﹣（x+2）2﹣2，然后利用非负数性质求解．【详解】解：A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∵﹣（x+2）2≤0，∴﹣（x+2）2﹣2<0，∴A﹣B<0，∴A<B，故答案为：<．变5已知，则______．(填“”“”或“”)变5【答案】【分析】计算，然后将结果配方，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴,故答案为：．例6已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．例6【答案】【分析】由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是5．【详解】，，，代数式的最小值等于5，故答案为：．例7已知实数满足，则代数式的最小值等于（）例7A．1B．-4C．-8D．无法确定【答案】C【分析】由已知得，代入代数式即得变形为，再配方，即可求解．【详解】解：∵，∴，代入代数式即得，得，，，∵，∴，∴的最小值等于，故选：C例8若，则p的最小值是（）例8A．2021B．2015C．2016D．没有最小值【答案】C【分析】将等式右边分组，配成两个完全平方式，即可根据平方的非负性进行解答．【详解】解：，∵，，∴p的最小值为2016，故选：C．变6已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于______．变6【答案】【分析】将代入代数式，根据配方法即可求解．【详解】解：∵∴，∵，∴，故答案为：．变7已知实数a、b满足a-b2=4，则代数式a2-3b2+a-14的最小值是______．变7【答案】6【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．【详解】∵a－b2＝4∴将代入a2－3b2＋a－14中得：∵∴当a=4时，取得最小值为6∴的最小值为6∵∴的最小值6故答案为：6．变8整式的最小值为______．变8【答案】【分析】根据完全平方公式对多项式进行变形，根据平方的非负性解答．【详解】，，，，，当，时，整式有最小值，最小值为．故答案为：．课后强化课后强化1.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．【解答】解：关于的方程有实数根，，，故选：．2.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答．【解答】解：关于的方程可以用直接开平方法求解，，，故选：．3.方程的根是（）A．，B．，C．D．，【分析】利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：，，，，故选：．4.解方程：．【分析】利用直接开平方法解方程．【解答】解：开平方得：，即，．5.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：，移项得：，配方得：，整理得：，故选：B．6.把方程化成的形式，则（）A．17B．14C．11D．7【答案】A【分析】将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案．【详解】，故选A．7.把方程的左边配方后可得方程（）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先把常数项1移项后，再在左右两边同时加上一次项系数3的一半的平方，继而可求得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：D．8.用配方法解下列方程：（1）（2）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据配方法解一元二次方程；（2）根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：，，即，∴，解得：；（2）解：，，即，∴，解得．9.用配方法解下列方程：（1）（2）【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根据配方法一化，二移，三配，四开方即可得到答案；（2）根据配方法一化，二移，三配，四开方即可得到答案．【详解】（1）解：二次项系数化为一得，，移项得，，两边同时加即，两边开平方可得，解得：，；（2）解：移项得，．两边同时加，即，两边开平方可得，解得：，10.代数式的最小值为______．【答案】【分析】将代数式进行配方即可解答．【详解】解：∵，∴当时，y有最小值．故答案为：．11.用配方法证明：的最小值是．【答案】见解析【分析】将