2023年九年级数学上册《与一元二次方程有关的动点问题》知识考点练习（含答案）

与一元二次方程有关的动点问题考点先知考点先知知识考点动点问题1.与面积有关的动点问题2.与长度有关的动点问题题型精析题型精析题型一与面积有关的动点问题题型一与面积有关的动点问题例1如图，在△ABC内，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2例1例2如图，在中，∠B=90°，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．例2（1）填空：________，________；（用含t的代数式表示）（2）当t为几秒时，的长度等于？（3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，变1中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．变1（1）填空________，________（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，的长度等于？（3）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．变2如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．变2（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？题型二与长度有关的动点问题题型二与长度有关的动点问题例1如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．例1（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．例2如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．例2（1）问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．变1如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．变1（1）用含t的式子表示线段的长：__________；__________．（2）当t为何值时，P、Q两点间的距离为？（3）当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．变2如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：变2（1）当x为何值时，为等腰三角形；（2）当x为何值时，的面积为；（3）当x为何值时，为等腰三角形．课后强化课后强化1.如图，中，∠B=90°，，，点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，的面积等于8cm2？2.如图，在中，∠B=90°，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：（1）经过多少时间，的面积是，此时，PQ长为多少．（2）)探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．3.如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？4.已知：如图所示，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？（3）的面积能否等于？请说明理由．5.如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？与一元二次方程有关的动点问题考点先知考点先知知识考点动点问题1.与面积有关的动点问题2.与长度有关的动点问题题型精析题型精析题型一与面积有关的动点问题题型一与面积有关的动点问题例1如图，在△ABC内，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当其中一个动点到达终点时，另一动点也随之停止运动，当如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2例1【解题思路】过点Q作QE⊥PB于E，由30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出QE=12QB，设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据△PBQ的面积等于4cm2，即可得出关于【解答过程】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.∵∠ABC＝30°，∴QE=12设经过t秒后△PBQ得面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t，根据题意得：12•（6﹣t）•t整理得：t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，∴t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．例2如图，在中，∠B=90°，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．例2（1）填空：________，________；（用含t的代数式表示）（2）当t为几秒时，的长度等于？（3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由，【答案】(1)(2)(3)存在，2【分析】（1）由路程速度时间，可直接求解；（2）由勾股定理构建方程求解；（3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解．【详解】（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，，，故答案为：，；（2）由题意得，，解得：，（不合题意，舍去），当时，的长等于；（3）存在，理由如下：若四边形的面积等于面积的，的面积等于面积的，，，解得：或，当时，当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去，存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2．变1中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．变1（1）填空________，________（用含t的代数式表示）；（2）当t为何值时，的长度等于？（3）是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或时，的长度等于(3)存在，【分析】（1）根据路程速度时间即可得出，然后用就可得出的值；（2）运用勾股定理可得：，代入（1）中数据计算即可；（3）根据三角形面积计算公式可得：，代入数据计算即可．【详解】（1）解：由题意得，，，，故答案为：；（2），∴是直角三角形，根据勾股定理得：，即：，解得：，，或时，的长度等于；（3）由题意得：，即，解得：，，当点Q运动到点C时，两点停止运动，即，解得，时，的面积等于．变2如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．变2（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【解题思路】（1）设经过x秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（2）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜t≤4）；②点P在线段AB上，点Q在线段CB上（4＜t≤6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（t＞6）；进行讨论即可求解．【解答过程】解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴12（6﹣x）•2x=∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4由题意知：12（6﹣t）（8﹣2t整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+2（不合题意，应舍去），t2＝5−②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：12（6﹣t）（2t整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，由题意知：12（t﹣6）（2t整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+2，t2＝5−综上所述，经过5−2秒、5秒或5+2秒后，△题型二与长度有关的动点问题题型二与长度有关的动点问题例1如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．例1（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）．【答案】(1)(2)秒(3)6.6秒或6秒或5.5秒【分析】（1）根据题意可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；（3）用t分别表示出AQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【详解】（1）当时，则，∵，∴，在中，由勾股定理可得，即PQ的长为；（2）由题意可知，∵，∴，当为等腰三角形时，则有，∴，解得，∴出发秒后能形成等腰三角形；（3）在中，由勾股定理可求得，当点Q在AC上时，，∴，∵为等腰三角形，∴有和三种情况，①当时，如图1，过B作，则，在中，求得，在中，由勾股定理可得，即，解得或（舍去）；②当时，则，解得；③当时，则，∴，∴，∴，∴，即，解得；综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，为等腰三角形．例2如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．例2（1）问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的；（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．【答案】(1)秒(2)秒或秒【分析】（1）要使四边形的面积是矩形面积的，此时点P应在上，才是四边形．根据路程=速度时间，分别用t表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解；（2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论．【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是矩形面积的，，，解得：∴两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的．（2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为，①当时，当点在点上方时，则，即，过点作于点，则，，，∴，在Rt中，∵，，，∴，∴，解得（舍），．当点在点下方时，则，即，过点作于点，则，，，∴，在Rt中，∵，，，∴，∴，解得，（舍）．②当时，则∵，，∴，∴，在Rt中，∵，，，∴有，得方程：，，此方程无实根．综上所述，当点P运动s或s时，点P与点Q之间的距离为．变1如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接，．变1（1）用含t的式子表示线段的长：__________；__________．（2）当t为何值时，P、Q两点间的距离为？（3）当t为何值时，四边形的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【答案】(1)，(2)、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是(3)、出发3秒时四边形为矩形【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）可通过构建直角三角形来求解．过作于，如果设出发秒后，．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．（3）利用矩形的性质得出当时，四边形为矩形求出即可【详解】（1）解：由题意得：，∵，∴；故答案为，；（2）解：设出发秒后、两点间的距离是．则，，作于，∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，由勾股定理得：，解得：或，答：、出发0.6和5.4秒时，，间的距离是；（3）解：四边形的形状有可能为矩形；理由如下：当四边形为矩形，则，即，解得：．答：当、出发3秒时四边形为矩形．变2如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：变2（1）当x为何值时，为等腰三角形；（2）当x为何值时，的面积为；（3）当x为何值时，为等腰三角形．【答案】(1)当时，是等腰三角形(2)x为1或5时，的面积为(3)x为或时，是等腰三角形【分析】（1）由题意得，得，当为等腰三角形时，，得出方程，解方程即可；（2）由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可；（3）根据题意，分两种情况：①当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当时，在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，∴，，，根据题意得：，∴，当为等腰三角形时，，∴，解得：，即当时，是等腰三角形；（2）解：由题意得：，整理得：，解得：，答：当x为1或5时，的面积为；（3）解：根据题意，分两种情况：①当时，如图1所示：在和中，由勾股定理得：，，∴，解得：或（不合题意舍去），∴；②当时，如图2所示：在和中，，，∴，解得：或（不合题意舍去），∴．综上所述，当x为或时，是等腰三角形．课后强化课后强化1.如图，中，∠B=90°，，，点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以的速度移动．如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，的面积等于8cm2？【答案】经过2或4秒钟，的面积等于【分析】设经过秒钟，的面积等于，则，，，根据，计算求解满足要求的值即可．【详解】解：设经过秒钟，的面积等于，∴，，，∴，整理得，，∴，令，，解得，，∴经过2或4秒钟，的面积等于．2.如图，在中，∠B=90°，，，点从点出发沿边向以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动，请回答：（1）经过多少时间，的面积是，此时，长为多少．（2）)探究：是否存在某一时刻，使，如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1秒，(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设运动时间为秒，根据题意表示出、的长，再根据三角形的面积公式列方程即可，再根据勾股定理求得此时的长度；（2）由得，根据三角形的面积公式列出方程，判断该方程的根的情况即可得出结论．【详解】（1）解：设运动时间为秒，，则，由题意得：，，，，即解得：，（不符合题意，舍去），，当时，，，，经过1秒，的面积是，此时，的长为；（2）解：不存在，理由如下：，，，，，没有实数根，故不存在某一时刻，使．3.如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，两点的距离是？【答案】秒或秒【分析】点的速度，点的速度，设经过秒，由此可用含的式子表示，在中根据勾股定理即可求解．【详解】解：点的速度，点的速度，，，∴点到点的时间为，点到点的时间为，∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，∴设经过秒后，两点的距离是，且，根据题意，，，在中，，∴，整理得，解得，，当时，，符合题意，∴秒或秒，两点的距离是．4.已知：如图所示，在中，∠B=90°，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？（3）的面积能否等于？请说明理由．【答案】(1)