重难点解析京改版数学9年级上册期末试卷附参考答案详解（夺分金卷）

京改版数学9年级上册期末试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题26分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、二次函数的顶点坐标为，图象如图所示，有下列四个结论：①；②；③④，其中结论正确的个数为（

）A．个 B．个 C．个 D．个2、如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC、BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG、AE．则下列结论：①OG=AB；

②四边形ABDE是菱形；③；其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3、在中，AC=4，BC=3，则cosA的值等于（

）A． B． C．或 D．或4、已知为锐角，且，则（）A． B． C． D．5、若y=（m＋1）是二次函数，则m=

（

）A．－1 B．7 C．－1或7 D．以上都不对6、对于反比例函数y＝﹣，下列说法错误的是（）A．图象经过点（1，﹣5）B．图象位于第二、第四象限C．当x＜0时，y随x的增大而减小D．当x＞0时，y随x的增大而增大二、多选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、在同一平面直角坐标系中，如图所示，正比例函数与一次函数的图象则二次函数的图象可能是（

）A． B．C． D．2、在Rt△ABC中，∠C=90°，当已知∠A和a时，求c，不能选择的关系式是（

）A．c= B．c= C．c=a·tanA D．c=3、如图，下列条件能判定△ABC与△ADE相似的是（

）A． B．∠B=∠ADEC． D．∠C=∠AED4、如图，AB是的直径，C是上一点，E是△ABC的内心，，延长BE交于点F，连接CF，AF．则下列结论正确的是（

）A． B．C．△AEF是等腰直角三角形 D．若，则5、下列用尺规等分圆周的说法中，正确的是（

）A．在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆B．作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆C．按A的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆D．按B的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆周6、如图是抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是（

）A． B．方程有两个相等的实根C． D．点P到直线AB的最大距离7、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形中相似的为（）A．△BEA与△ACD B．△FED与△DEB C．△CFD与△ABG D．△ADF与△EFD第Ⅱ卷（非选择题74分）三、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为_____．2、二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，方程的解为___________________；不等式的解集为___________________．3、写出一个满足“当时，随增大而减小”的二次函数解析式______．4、一个横断面是抛物线的渡槽如图所示，根据图中所给的数据求出水面的宽度是____cm．5、如图，是⊙O的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度．6、cos45°-tan60°=________；7、在平面直角坐标系中，已知和是抛物线上的两点，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为_____．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、(1)阅读理解如图，点，在反比例函数的图象上，连接，取线段的中点．分别过点，，作轴的垂线，垂足为，，，交反比例函数的图象于点．点，，的横坐标分别为，，．小红通过观察反比例函数的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一个关于，，之间数量关系的命题：若，则______．(2)证明命题小东认为：可以通过“若，则”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若，，且，则”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明(1)中的命题．2、（1）计算：．（2）解方程：．3、某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可以多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？4、已知关于的二次函数．(1)求证：不论为何实数，该二次函数的图象与轴总有两个公共点；(2)若，两点在该二次函数的图象上，直接写出与的大小关系；(3)若将抛物线沿轴翻折得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值3，求的值．5、如图1，某同学家的一面窗户上安装有遮阳篷，图2和图3是截面示意图，CD是遮阳篷，窗户AB为1.5米，BC为0.5米．该遮阳篷有伸缩功能．如图2，该同学在夏季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为60°，遮阳篷CD正好将进入窗户AB的阳光挡住；如图3，该同学在冬季某日的正午时刻测得太阳光和水平线的夹角为30°，将遮阳篷收缩成CD′时，遮阳篷正好完全不挡进入窗户AB的阳光．（1）计算图3中CD′的长度比图2中CD的长度收缩了多少米；（结果保留根号）（2）如果图3中遮阳篷的长度为图2中CD的长度，请计算该遮阳篷落在窗户AB上的阴影长度为多少米？（请在图3中画图并标出相应字母，然后再计算）6、如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△ADG∽△ABF；（2）若，AF＝6，求GF的长．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据二次函数的性质和已知条件，对每一项逐一进行判断即可．【详解】解：由图像可知a＜0，c＞0，∵对称轴在正半轴，∴＞0，∴b＞0，∴，故①正确；当x=2时，y＞0，故，故③正确；函数解析式为：y=a（x-1）2+2=ax2-2ax+a+2假设成立，结合解析式则有a+2＜，解得a＜，故②，④正确；故选：A．【考点】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合图象，运用所学知识是解题关键．2、D【解析】【分析】证明四边形ABDE为平行四边形可得OB=OD，由菱形ABCD可得AG=DG，根据三角形中位线定理可判断①；根据等边三角形的性质和判定可得△ABD为等边三角形AB=BD，从而可判断平行四边形ABDE是菱形，由此判断②；借助相似三角形的性质和判定，三角形中线有关的面积问题可判断③．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD=AD，OA=OC，OB=OD，∵CD=DE，∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴BG=EG，AB=DE，AG=DG，又∵OD=OB，∴OG是△BDA是中位线，∴OG=AB，故①正确；∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD=AB，∴是菱形，故②正确；∵OB=OD，AG=DG，∴OG是△ABD的中位线，∴OG∥AB，OG=AB，∴△GOD∽△ABD（ASA），△ABF∽△OGF（ASA），∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，∴S四边形ODGF=S△ABF；故③正确；故选：D．【考点】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识．判断①的关键是三角形中位线定理的运用，②的关键是利用等边三角形证明BD=AB；③的关键是通过相似得出面积之间的关系．3、C【解析】【分析】分两种情况：①AB为斜边；②AC为斜边，根据勾股定理求出AB长，然后根据余弦定义即可求解.【详解】由题意，存在两种情况：①当AB为斜边时，∠C=90º，∵AC=4，BC=3，∴AB=，∴cosA=；②当AC为斜边时，∠B=90º，∵AC=4，BC=3，∴AB=，∴cosA=，综上，cosA的值等于或，故选：C.【考点】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义，并注意分类讨论是解答本题的关键.4、A【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】∵为锐角，且，∴．故选A．【考点】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．5、B【解析】【分析】令x的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．【详解】由题意得：m2-6m-5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1，∴m=7，故选：B．【考点】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0．6、C【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：反比例函数y＝﹣，A、当x＝1时，y＝﹣＝﹣5，图像经过点（1，-5），故选项A不符合题意；B、∵k＝﹣5＜0，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；D、当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选C．【考点】本题考查的是反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．二、多选题1、BD【解析】【分析】根据正比例函数图象和一次函数图象可得，，然后分两种情况讨论：当时，；当时，，即可求解．【详解】解：根据题题得：当x=-1时，正比例函数与一次函数的图象相交，∴，，即，当时，，对于二次函数，当x=-1时，，即，且，故B选项正确；当时，，对于二次函数，当x=1时，，即，且，故D选项正确；故选：BD【考点】本题主要考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．2、BCD【解析】【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=变形可判断A，在Rt△ABC中，∠C=90°，由cosA=和tanA=，可得可判断B、D，在Rt△ABC中，∠C=90°，由tanA=，可得，由勾股定理c=，可判断C．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinA=，∴c=，故选项A正确；在Rt△ABC中，∠C=90°，∵cosA=∴∵tanA=∴∴故选项B不正确；在Rt△ABC中，∠C=90°，∵tanA=∴∴c=故选项C不正确在Rt△ABC中，∠C=90°，∵tanA=∴∵cosA=∴∴故选项D不正确；不能选择的关系式是BCD．故选择BCD．【考点】本题主要考查解三角形，勾股定理，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解．3、ABD【解析】【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对A、C进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对B、C进行判断．【详解】解：∵∠EAD=∠BAC，当，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，故选项A符合题意；当∠B=∠ADE时，△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；C选项中角A不是成比例的两边的夹角，故选项C不符合题意；当∠C=∠AED时，△ABC∽△ADE，故选项D符合题意；故选：ABD．【考点】本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4、BCD【解析】【分析】由圆周角定理可得∠ACB=∠AFB=90°，再由E是△ABC的内心可得∠EAB+∠EBA=45°，从而得出∠AEF=45°，进一步得到△ABC是等腰直角三角形，再由垂径定理得EF=EB，从而可得AE=EB，由中位线定理得AE=2OE=2，最后求出．【详解】∵AB为直径，，∴∠ACB=∠AFB=90°，∴∠CAB+∠CBA=180°，∵E是△ABC的内心，∴∠EAB=∠CAB，∠EBA=∠CBA，∴∠EAB+∠EBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，故选项B正确，∴∠AEF=∠EAB+∠EBA=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，故选项C正确，∴AF=EF，AE=EF，∵，∴EF=EB，∴AE=EB，故选项A错误，∵OA=OB，EF=EB，∴AE=2OE=2，∴EF=BE=2，∴，故选项D正确，故选：BCD【考点】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，中位线定理，三角形内心性质，等腰直角三角形，等知识，证明△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．5、ABCD【解析】【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理得出ABCD正确，即可得出结论．【详解】解：根据圆心角、弧、弦的关系定理得：在圆上依次截取等于半径的弦，六条弧相等，就可以六等分圆，∴A正确；∵相互垂直的两条直径得出4个相等的圆心角是直角，∴4条弧相等，∴B正确；在圆上依次截取等于半径的弦，六条弧相等，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆，∴C正确；∵相互垂直的两条直径得出4个相等的圆心角是直角，再平分四条弧，就可以八等分圆周,∴D正确；故选：ABCD．【考点】本题考查了正多边形和圆、圆心角、弧、弦的关系定理；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理，由题意得出相等的弧是解题的关键．6、BCD【解析】【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系、坐标系内直线的平移、利用配方法求二次三项式的最值即可一一判断．【详解】解：由图象可知，，则，故A选项错误；由图象可知，直线与抛物线只有一个交点，则方程有两个相等的实根，故B选项正确；当时，抛物线由最大值，则，即，故C选项正确；设直线AB的表达式为，且A（1，3），B（4，0）在直线上，则，解得，，即，由抛物线的对称轴为得，则，即，又A（1，3），B（4，0）在抛物线上，则，解得，，将直线向上平移与抛物线有一个交点时至，要求点P到直线AB的最大距离，即点P为直线与抛物线的交点，过点作于，轴，如图所示，由直线AB可得，为等腰直角三角形，又直线由直线平移得到，且轴，,,是等腰直角三角形，由平移的性质可设直线的表达式为，当与抛物线有一个交点时，即，整理得，由于只有一个交点，则，解得，即直线AB向上平移了：，则，则，点P到直线AB的最大距离，故D选项正确，故选BCD．【考点】本题考查了二次函数的图象及性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系、平面直角坐标系内直线的平移，解题的关键学会利用函数图象解决问题，灵活运用相关知识解决问题，本题难点在于要求抛物线上的点到直线的最大距离即求直线平移至与抛物线有一个交点时交点到直线的距离．7、ABCD【解析】【分析】根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断．【详解】解：根据题意得：∠BAE＝∠ADC＝∠AFE＝90°∴∠AEF＋∠EAF＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°∴∠AEF＝∠ACD∴△BEA∽△ACD；∵∠AEB＝∠FEA，∠AFE＝∠EAB＝90°，∴△AFE∽△BAE，∴，又∵AE＝ED，∴而∠BED＝∠BED，∴△FED∽△DEB；∵ABCD，∴∠BAC＝∠GCD，∵∠ABE＝∠DAF，∠EBD＝∠EDF，且∠ABG＝∠ABE＋∠EBD，∴∠ABG＝∠DAF＋∠EDF＝∠DFC；∵∠ABG＝∠DFC，∠BAG＝∠DCF，∴△CFD∽△ABG；∵△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵AG＝DG，∴∠DAF＝∠ADG，∴∠DAF＝∠EFD，∴△ADF∽△EFD．故选：ABCD．【考点】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．三、填空题1、17【解析】【分析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，整理得x2-（10+k）x+36=0，∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），∴k的最大值是15，最小值是2，∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：17．【考点】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．2、

，

或【解析】【分析】根据抛物线的对称轴和抛物线与x轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．【详解】∵抛物线的对称轴为，抛物线与x轴一个交点为（5，0）∴抛物线与x轴另一个交点为（-1，0）∴方程的解为：，由图像可知，不等式的解集为：或．故答案为：，；或．【考点】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．3、（答案不唯一）【解析】【分析】先根据二次函数的图象和性质取对称轴x=2，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，由于在抛物线对称轴的右边，y随x增大而减小，得出a<0，于是去a=-1，即可解答．【详解】解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2，∵在抛物线对称轴的右边，y随x增大而减小，∴a<0，符合上述条件的二次函数均可，可取a=-1，则y=-(x-2)2．故答案为：y=-(x-2)2．【考点】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质．4、2【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后根据图中数据确定点A和点B的坐标，从而利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后求得C、D两点的坐标，从而求得水面的宽度．【详解】如图建立直角坐标系．则点A的坐标为（-2，8），点B的坐标为（2，8），设抛物线的解析式为y=ax2，代入点A的坐标得8=4a，解得：a=2，所以抛物线的解析式为y=2x2，令y=6得：6=2x2，解得：x=±，所以CD=-（-）=2（cm）．故答案为：2．【考点】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，并建立正确的平面直角坐标系．5、120【解析】【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．【详解】连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．∴∠OAH=∠OAM．又∵OA=OB,AD=EB,∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,∴△ODA△OEB（SAS）,∴∠DOA=∠EOB,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．又∵∠C=60°以及同弧，∴∠AOB=∠DOE=120°．故本题答案为：120．【考点】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．6、【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算．【详解】解：原式．故答案是：．【考点】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．7、4【解析】【分析】通过A、B两点得出对称轴，再根据对称轴公式算出b，由此可得出二次函数表达式，从而算出最小值即可推出n的最小值．【详解】∵A、B的纵坐标一样，∴A、B是对称的两点，∴对称轴，即，∴b=-4．∴抛物线解析式为：．∴抛物线顶点(2，-3)．∴满足题意n的最小值为4，故答案为：4．【考点】本题考查二次函数对称轴的性质，顶点式的变形及抛物线的平移，关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对称轴．四、解答题1、(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG=2CF，可得．（2）利用求差法比较大小.【详解】(1)∵,,,,,∴.(2)∵,∵，∴,∴,∴.【考点】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2、（1）10；（2）无解．【解析】【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，特殊角三角函数值，二次根式性质，负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式；（2）去分母得：2＋1−x＝2x−6，解得：x＝3，经检验x＝3是增根，分式方程无解．【考点】此题考查了解分式方程以及实数的运算，熟记特殊角三角函数值，实数的运算法则以及分式方程的解法是解本题的关键．3、（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【解析】【分析】（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意列出方程，解方程即可得出结论；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，根据题意列出函数解析式，根据二次函数的性质求出函数的最值．【详解】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x-5）元，根据题意得：，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），经检验，x=15是原分式方程的解，符合实际，∴x-5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，由题意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，当a=5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．【考点】本题考查了分式方程及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，准确列出分式方程及函数关系式．4、(1)见解析(2)(3)的值为1或-5【解析】【分析】（１）计算判别式的值，得到，即可判定；（２）计算二次函数的对称轴为：直线，利用当抛物线开口向上时，谁离对称轴远谁大判断即可；（３）先得到抛物线沿y轴翻折后的函数关系式，再利用对称轴与取值范围的位置分类讨论即可．(1)证明：令，则∴∴不论为何实数，