重难点解析沪科版9年级下册期末试卷带答案详解（黄金题型）

沪科版9年级下册期末试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题16分）一、单选题（8小题，每小题2分，共计16分）1、下列事件是确定事件的是（）A．方程有实数根 B．买一张体育彩票中大奖C．抛掷一枚硬币正面朝上 D．上海明天下雨2、将等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，那么n的最小值是（）A．60 B．90 C．120 D．1803、如图，AB是的直径，CD是的弦，且，，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．4、如图，在Rt△ABC中，，，点D、E分别是AB、AC的中点．将△ADE绕点A顺时针旋转60°，射线BD与射线CE交于点P，在这个旋转过程中有下列结论：①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值为；③BP存在最小值为；④点P运动的路径长为．其中，正确的（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④5、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（）A．80° B．70° C．60° D．50°6、如图是由几个小立方体所搭成的几何体从上面看到的平面图形，小正方形中的数字表示在该位置小立方体的个数，则这个几何体从正面看到的平面图形为（）A． B． C． D．7、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（）A．3 B．4 C．5 D．68、如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题84分）二、填空题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，，点P是OC上的一个动点，则BP＋DP的最小值为______．2、在同一平面上，外有一点P到圆上的最大距离是8cm，最小距离为2cm，则的半径为______cm．3、一个盒子中装有标号为，，，的四个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于的概率为______．4、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．5、如图，在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，按此方法进行下去，得到Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，若点A0的坐标是（1，0），则点A2021的横坐标是___________．6、已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是______．7、如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于_____．三、解答题（7小题，每小题0分，共计0分）1、（1）解方程：（2）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积．2、对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”．已知点N（3，0），A（1，0），，．（1）①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是______；②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；（2）以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在的“二分点”，直接写出r的取值范围．3、如图1，在中，，，点D为AB边上一点．（1）若，则______；（2）如图2，将线段CD绕着点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接AE，求证：；（3）如图3，过点A作直线CD的垂线AF，垂足为F，连接BF．直接写出BF的最小值．4、如图，以四边形的对角线为直径作圆，圆心为，点、在上，过点作的延长线于点，已知平分．（1）求证：是切线；（2）若，，求的半径和的长．5、如图，在中，，，D是边BC上一点，作射线AD，满足，在射线AD取一点E，且．将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．6、在平面直角坐标系xOy中，的半径为2．点P，Q为外两点，给出如下定义：若上存在点M，N，使得P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是的“成对关联点”．（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成的“成对关联点”的点是______；（2）点在第一象限，点F与点E关于x轴对称．若点E，F是的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；（3）点G在y轴上．若直线上存在点H，使得点G，H是的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标的取值范围．7、在中，，，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．（1）如图1，点E在点B的左侧运动．①当，时，则___________°；②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为____________．（2）如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）问中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．-参考答案-一、单选题1、A【分析】随机事件:是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，根据随机事件的分类对各个选项逐个分析，即可得到答案【详解】解：．方程无实数根，因此“方程有实数”是不可能事件，所以选项符合题意；B．买一张体育彩票可能中大奖，有可能不中，因此是随机事件，所以选项B不符合题意；C．抛掷一枚硬币，可能正面朝上，有可能反面朝上，因此是随机事件，所以选项C不符合题意；D．上海明天可能下雨，有可能不下雨，因此是随机事件，所以选项D不符合题意；故选：．【点睛】本题考查的是确定事件与随机事件的概念，掌握确定事件分为必然事件，不可能事件，及随机事件的概念是解题的关键．2、C【分析】根据旋转对称图形的概念（把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角），找到旋转角，求出其度数．【详解】解：等边三角形绕其中心旋转n时与原图案完全重合，因而绕其中心旋转的最小度数是=120°．故选C．【点睛】本题考查了根据旋转对称性，掌握旋转的性质是解题的关键．3、C【分析】如图，连接OC，OD，可知是等边三角形，，，，计算求解即可．【详解】解：如图连接OC，OD∵∴是等边三角形∴由题意知，故选C．【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形等知识．解题的关键在于用扇形表示阴影面积．4、B【分析】根据，，点D、E分别是AB、AC的中点．得出∠DAE=90°，AD=AE=，可证∠DAB=∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），可判断①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，根据△AEC≌△ADB，得出∠DBA=∠ECA，可证∠P=∠BAC=90°，CP为⊙A的切线，证明四边形DAEP为正方形，得出PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，可判断②CP存在最大值为正确；△AEC≌△ADB，得出BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=可判断③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，AB=AC=6，∠BAC=90°，BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，可求∠ACE=30°，根据圆周角定理得出∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，可得∠ABD=30°根据圆周角定理得出∠AOP′=2∠ABD=60°，点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为，L可判断④点P运动的路径长为正确即可．【详解】解：∵，，点D、E分别是AB、AC的中点．∴∠DAE=90°，AD=AE=，∴∠DAB+∠BAE=90°，∠BAE+∠EAC=90°，∴∠DAB=∠EAC，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC（SAS），故①△AEC≌△ADB正确；作以点A为圆心，AE为半径的圆，当CP为⊙A的切线时，CP最大，∵△AEC≌△ADB，∴∠DBA=∠ECA，∴∠PBA+∠P=∠ECP+∠BAC，∴∠P=∠BAC=90°，∵CP为⊙A的切线，∴AE⊥CP，∴∠DPE=∠PEA=∠DAE=90°，∴四边形DAEP为矩形，∵AD=AE，∴四边形DAEP为正方形，∴PE=AE=3，在Rt△AEC中，CE=，∴CP最大=PE+EC=3+，故②CP存在最大值为正确；∵△AEC≌△ADB，∴BD=CE=，在Rt△BPC中，BP最小=，BP最短=BD-PD=-3，故③BP存在最小值为不正确；取BC中点为O，连结AO，OP，∵AB=AC=6，∠BAC=90°，∴BP=CO=AO=，当AE⊥CP时,CP与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ACE=，∴∠ACE=30°，∴∠AOP=2∠ACE=60°，当AD⊥BP′时，BP′与以点A为圆心，AE为半径的圆相切，此时sin∠ABD=，∴∠ABD=30°，∴∠AOP′=2∠ABD=60°，∴点P在以点O为圆心，OA长为半径，的圆上运动轨迹为，∵∠POP=∠POA+∠AOP′=60°+60°=120°，∴L．故④点P运动的路径长为正确；正确的是①②④．故选B．【点睛】本题考查图形旋转性质，线段中点定义，三角形全等判定与性质，圆的切线，正方形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，弧长公式，本题难度大，利用辅助线最长准确图形是解题关键．5、A【分析】根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．【详解】证明：∵绕点C逆时针旋转得到，∴，，∴∠ADC=∠DAC，∵点A，D，E在同一条直线上，∴，∴∠DAC=50°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°故选A．【点睛】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．6、B【分析】几何体从上面看到的每个数字是该位置小立方体的个数，可得从正面看共有3列，2层，从左往右的每列的小立方体的个数为1，2，1，从上往下的每层的小立方体的个数为1，3，即可求解【详解】解：几何体从上面看到的每个数字是该位置小立方体的个数，可得从正面看共有3列，2层，从左往右每列的小立方体的个数为1，2，1，从上往下每层的小立方体的个数为1，3，所以这个几何体从正面看到的平面图形为故选：B【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）从正面看：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）从侧面看：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）从上面看：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．7、B【分析】由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．【详解】∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴，，∴在和中，，∴，∴．故选：B【点睛】本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．8、D【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得△CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解．【详解】解：连接CD，如图所示：∵点D是AB的中点，，，∴，∵，∴，在Rt△ACB中，由勾股定理可得；故选D．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．二、填空题1、【分析】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．∵OC⊥AB，OA=OB，∴PA=PB，∠COB=90°，∵，∴∠DOB=×90°=60°，∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD=60°∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD=AB•sin∠ABD=2，∵PB+PD=PA+PD≥AD，∴PD+PB≥2，∴PD+PB的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2、5或3【分析】分点P在圆内或圆外进行讨论．【详解】解：①当点P在圆内时，⊙O的直径长为8+2=10（cm），半径为5cm；②当点P在圆外时，⊙O的直径长为8-2=6（cm），半径为3cm；综上所述：⊙O的半径长为5cm或3cm．故答案为：5或3．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3、【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中摸出的小球标号之和大于5的有4种，则摸出的小球标号之和大于5的概率为．故答案为：．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、或【分析】设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．【详解】设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，如图所示：∵，∴，，∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，∴，，∴，∵轴，轴，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，解得：或，∴或．故答案为：，．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．5、22020【分析】根据，，点的坐标是，得，点的横坐标是，点的横坐标是-，同理可得点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，依次进行下去，可得点的横坐标，进而求得的横坐标．【详解】解：∵∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，点A0的坐标是（1，0），∴OA0＝1，∴点A1的横坐标是1＝20，∴OA1＝2OA0＝2，∵∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，∴OA2＝2OA1＝4，∴点A2的横坐标是-OA2＝-2＝-21，依次进行下去，Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，同理可得：点A3的横坐标是﹣2OA2＝﹣8＝﹣23，点A4的横坐标是﹣8＝﹣23，点A5的横坐标是OA5＝×2OA4＝2OA3＝4OA2＝16＝24，点A6的横坐标是2OA5＝2×2OA4＝23OA3＝64＝26，点A7的横坐标是64＝26，…发现规律，6次一循环，即，，2021÷6=336……5则点A2021的横坐标与的坐标规律一致是22020．故答案为：22020．【点睛】本题考查了规律型——点的坐标，解决本题的关键是理解动点的运动过程，总结规律，发现规律，点A3n在轴上，且坐标为．6、在⊙A上【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系．【详解】解：∵点A的坐标为（4，3），∴OA==5，∵半径为5，∴OA=r，∴点O在⊙A上．故答案为：在⊙A上．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r．7、2【分析】根据扇形的面积公式S＝，代入计算即可．【详解】解：∵“完美扇形”的周长等于6，∴半径r为＝2，弧长l为2，这个扇形的面积为：＝＝2．答案为：2．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底，R看成底边上的高即可．三、解答题1、（1），；（2）平方步【分析】（1）利用配方法，即可求解；（2）利用扇形的面积公式，即可求解．【详解】解：（1），，配方，得，∴，∴，；（2）解：∵扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，∴这块田的面积（平方步）．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，求扇形的面积，熟练掌握一元二次方程的解法，扇形的面积等于乘以弧长再乘以扇形的半径是解题的关键．2、（1）①B和C；②或；（2）或【分析】（1）①分别找出点A，B，C到线段ON的最小值和最大值，是否满足“二分点”定义即可；②对a的取值分情况讨论：、、和，根据“二分点”的定义可求解；（2）设线段AN上存在的“二分点”为，对的取值分情况讨论、，、，和，根据“二分点”的定义可求解．【详解】（1）①∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，点B到ON的最小值为，最大值为，∴点B是线段ON的“二分点”，点C到ON的最小值为1，最大值为，∴点C是线段ON的“二分点”，故答案为：B和C；②若时，如图所示：点C到OD的最小值为，最大值为，∵点C为线段OD的“二分点”，∴，解得：；若，如图所示：点C到OD的最小值为1，最大值为，满足题意；若时，如图所示：点C到OD的最小值为1，最大值为，∵点C为线段OD的“二分点”，∴，解得：（舍）；若时，如图所示：点C到OD的最小值为，最大值为，∵点C为线段OD的“二分点”，∴，解得：或（舍），综上所得：a的取值范围为或；（2）如图所示，设线段AN上存在的“二分点”为，当时，最小值为：，最大值为：，∴，即，∵，∴∴；当，时，最小值为：，最大值为：，∴∴，即，∵，∴，∵，∴不存在；当，时，最小值为：，最大值为：，∴，即，∴，∵，∴不存在；当时，最小值为：，最大值为：，∴，即，∴，∵，∴，综上所述，r的取值范围为或．【点睛】本题考查坐标上的两点距离，解一元二次方程解不等式以及点到圆的距离求最值，根据题目所给条件，掌握“二分点”的定义是解题的关键．3、（1）5（2）证明见解析（3）【分析】(1)过C作CM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质求出CM和DM，再根据勾股定理计算即可；(2)连BE，先证明,即可得到直角三角形ABE，利用勾股定理证明即可；（3）取AC中点N，连接FN、BN，根据三角形BFN中三边关系判断即可．（1）过C作CM⊥AB于M，∵，∴∵∴∴在Rt中（2）连接BE，∵，，，∴,∴∴，∴在Rt中∴∴（3）取AC中点N，连接FN、BN，∵，，∴∵AF垂直CD∴∵AC中点N，∴∴∵三角形BFN中∴∴当B、F、N三点共线时BF最小，最小值为．【点睛】本题考查等腰直角三角形的常用辅助线以及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是根据等腰直角三角形作斜边垂线或者构造“手拉手模型”．4、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴，∴AD的长是．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．5、（1）见解析；（2）（3）【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据旋转的性质可得，，进而证明，可得，根据角度的转换可得，进而根据三角形的外角性质即可证明；（3）过点作，证明，进而根据勾股定理以及线段的转换即可得到（1）如图，（2）将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，,,又即（3）证明如下，如图，过点作，又,又，即【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，勾