2026届高考数学总复习精讲册课件：3 1　导数的概念及运算

3.1导数的概念及运算考情清单考点清单题型清单目录考点1导数的概念及几何意义考点2导数的运算考点3复合函数的导数题型一导数的运算题型二曲线的切线问题考点真题示例考向5年考频核心素养导数的概念及运算2024新课标Ⅱ,16(1)求某点处的切线方

程7考数学运算直观想象2021新高考Ⅱ,162020新高考Ⅰ,21(1)2022新高考Ⅱ,14过某点的切线方程2022新高考Ⅰ,152021新高考Ⅰ,72024新课标Ⅰ,13公切线问题导数与函数的单调性2022新高考Ⅱ,22(1)不含参函数的单调

性6考数学抽象数学运算逻辑推理2021新高考Ⅱ,22(1)2021新高考Ⅰ,22(1)2022新高考Ⅰ,7利用单调性比较大

小2023新课标Ⅰ,19(1)讨论含参函数的单

调性2023新课标Ⅱ,6已知单调性求参利用导数研究函数的性质2024新课标Ⅰ,10三次函数的性质3考数学运算2024新课标Ⅱ,112022新高考Ⅰ,10导数与函数的极(最)值2024新课标Ⅱ,16(2)已知极值求参5考数学运算逻辑推理2023新课标Ⅱ,112023新课标Ⅱ,22(2)2022新高考Ⅰ,22(1)已知最值求参2021新高考Ⅰ,15求函数最值导数与函数不等式2022新高考Ⅱ,22(2)恒成立问题求参7考数学运算逻辑推理2020新高考Ⅰ,21(2)2024新课标Ⅰ,18

(1)(3)2023新课标Ⅰ,19(2)利用最值证明不等

式2023新课标II,22(1)2022新高考Ⅱ,22(3)利用放缩法证明不

等式2021新高考Ⅰ,22(2)构造函数证明不等

式导数与函数零点2022新高考Ⅰ,22(2)函数的零点个数问

题2考数学运算逻辑推理2021新高考II,22(2)命题形式本专题知识内容丰富,题目难度跨度较大,出题形式常常是一大一小.重点考查内容有:

①利用导数的几何意义求曲线的切线方程;②利用导数研究函数的单调性、极值、最

值问题;③利用导数解决不等式恒成立问题、不等式证明问题;④利用导数研究函数零

点问题.在复习备考中要注重练习含参问题的讨论、恒成立问题的转化以及有关不等

式证明问题的处理方法.重视数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程思想的

应用.考点1导数的概念及几何意义1.导数的概念一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

=

,称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'

,即f'(x0)=

=

.注意

f'(x)与f'(x0)的区别与联系:f'(x)是一个函数,f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常

数),所以[f'(x0)]'=0.2.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率.相应地,切线

方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变化

的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.考点2导数的运算1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

2.导数的运算法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);

'=

(g(x)≠0);[cf(x)]'=cf'(x).考点3复合函数的导数一般地,由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.知识拓展

'=

,(

)'=

.即练即清1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“✕”)(1)设f(x)为R上的可导函数,且f'(1)=1,则

=2.

(

)(2)函数y=2sin(1-3x)的导函数为y'=6cos(1-3x).

(

)2.已知函数f(x)=alnx+x2的图象在x=1处的切线方程为3x-y+b=0,则a+b=

(

)A.-2

B.-1

C.0

D.13.若f(x)=x3ex,则f'(x)=

.4.若g(x)=x3,则g'(3)=

.××B3x2ex+x3ex27题型一导数的运算典例1

(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)=

.若f

'(1)=

,则a=

.1解析

f'(x)=

=

,则f'(1)=

=

,解得a=1.变式训练1-1

(情境模型变式)(2025届福建泉州阶段练)已知函数f(x)=ex+2f

′(0)x+1,则f

′(2)的值为

.e2-2解析

由题意知f'(x)=ex+2f'(0),所以f'(0)=1+2f'(0),所以f'(0)=-1,所以f'(x)=ex-2,所以f'(2)=e2-2.变式训练1-2

(设问条件变式)若定义域都为R的函数f(x)及其导函数f

′(x),满足对任意

实数x都有f(x)-f(2025-x)=2x-2025,则

f'(k)=

.2024解析

对f(x)-f(2025-x)=2x-2025两边同时求导得f'(x)-f'(2025-x)(2025-x)'=2,即f'(x)+f'(2025-

x)=2(不要忘记对内层函数求导),则f'(1)+f'(2024)=2,f'(2)+f'(2023)=2,……,f'(1012)+f'(1013)=2,从而

f'(k)=2×1012=2024.题型二曲线的切线问题解决切线问题应注意以下三点:1.切点在切线上,即切点坐标可代入切线方程建立等式关系;2.切点在曲线上,即切点坐标可代入曲线方程建立等式关系;3.在切点横坐标处的导数等于切线的斜率.角度1在某点处的切线问题典例2

(2023全国甲文,8,5分)曲线y=

在点

处的切线方程为

(

)A.y=

x

B.y=

xC.y=

x+

D.y=

x+

C解析

由y=

,可得y'=

=

,则y'|x=1=

,∴曲线在点

处的切线方程为y-

=

(x-1),即y=

x+

,故选C.提示在某点处的切线,则该点一定为切点,该点的导函数值必为切线斜率.变式训练2-1

(关键元素变式)已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,

则(

)A.a=e,b=-1

B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1

D.a=e-1,b=-1D解析

∵y'=aex+lnx+1,∴y'|x=1=ae+1,∴2=ae+1,∴ae=1.∴a=e-1,切点坐标为(1,1),将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,∴b=-1,故选D.角度2过某点的切线问题典例3过点(0,m)可作曲线f(x)=ex-x的斜率为1的切线,则实数m=

.2-2ln2解析

由已知可得切点未知,故设切点坐标为(x0,y0),由f(x)=ex-x得f'(x)=ex-1,则有f'(x0)=

-1=1,解得x0=ln2,故y0=f(ln2)=eln2-ln2=2-ln2,故切点坐标为(ln2,2-ln2)且切线斜率为1,故切线方程为y-(2

-ln2)=x-ln2,由已知可知点(0,m)在切线上,则m=2-2ln2.提示

过某点的切线问题,该点不一定为切点,需要先设出切点坐标,再建立方程求解.变式训练2-2

(结论拓展变式)(2025届湖北省实验中学月考,13)已知直线y=kx+b与函

数f(x)=

x2+lnx的图象相切,则k-b的最小值为

.解析

设切点为P

,由f'(x)=x+

,得斜率k=x0+

,则切线方程为y-

=

(x-x0),即y=

x-

+lnx0-1,故

故k-b=

+x0+

-lnx0+1,令g(x)=

x2+x+

-lnx+1(x>0),则g'(x)=x+1-

-

=

,当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)=

,即k-b的最小值为

.提示

本题虽未出现“在”和“过”两个关键词,但仍然可以归类为切点未知型切线

问题,故先设切点坐标,再建立方程组求解.角度3公切线问题典例4若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=

.1-ln2解析

设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2和y=ln(x+1)的切点分别为(x1,lnx1+2)和(x2,ln(x2+1)).由y=lnx+2得y'=

,由y=ln(x+1)得y'=

,∴k=

=

,则切线分别为y-lnx1-2=

(x-x1),y-ln(x2+1)=

(x-x2),化简得y=

·x+lnx1+1,y=

x+ln(x2+1)-

,依题意

(利用两条切线重合,建立等式关系)解得x1=

,从而b=lnx1+1=1-ln2.注意

公切线问题通常需要设出两个切点的坐标,得到两条切线方程,再通过两条直线

重合建立关系式,得到相应结果.