2026届高考数学总复习精讲册课件：8 1　直线和圆

8.1直线和圆考情清单考点清单题型清单目录考点1直线的方程考点2圆的方程考点3直线与圆、圆与圆的位置关系题型一直线的倾斜角和斜率题型二求直线、圆的方程题型三直线和圆、圆和圆位置关系判断题型四与圆的切线相关的问题题型五与圆有关的弦长问题题型六对称问题题型七与圆有关的最值问题考点真题示例考向5年考频核心素养直线与圆、圆与圆

的位置关系2023新课标Ⅰ,6直线与圆相切6考数学运算直观想象2022新高考Ⅰ,14求公切线方程2023新课标Ⅱ,15;2022新高考Ⅱ,15直线与圆相交2021新高考Ⅰ,11;2021新高考Ⅱ,11直线与圆的位置关

系椭圆的定义和标准方程2021新高考Ⅱ,20(1);2020新高考Ⅱ,21(1);2020新高考Ⅰ,22(1);2021新高考Ⅰ,5求椭圆方程及椭圆定义的应用4考数学运算椭圆的几何性质2023新课标Ⅰ,5;2024新课标Ⅰ,16(1)椭圆的离心率3考直观想象逻辑推理2023新课标Ⅱ,5椭圆的焦点坐标双曲线的定义和标准方程2023新课标Ⅱ,21(1);2022新高考Ⅱ,21(1);2021新高考Ⅰ,21(1)求双曲线的方程5考数学运算逻辑推理2020新高考Ⅰ,9;2020新高考Ⅱ,10标准方程辨析双曲线的几何性质2023新课标Ⅰ,16;2024新课标Ⅰ,12双曲线的离心率3考数学运算2021新高考Ⅱ,13双曲线的渐近线抛物线的几何性质2023新课标Ⅱ,10;2022新高考Ⅰ,11;2021新高考Ⅰ,14;2022新高考Ⅱ,10;2024新课标Ⅱ,10多种性质综合6考逻辑推理2021新高考Ⅱ,3抛物线的焦点坐标直线与圆锥曲线的位置关系2021新高考Ⅰ,21(2);2022新高考Ⅰ,21(1)斜率与角度问题15考直观想象2022新高考Ⅰ,21(2);2020新高考Ⅱ,21(2);2022新高考Ⅰ,16;2020新高考Ⅰ,13;2020新高考Ⅱ,14;2024新课标Ⅰ,16(2)弦长与面积问题逻辑推理2021新高考Ⅱ,20

(2);2023新课标Ⅰ,22(2);2022新高考Ⅱ,21

(2);2024新课标Ⅱ,19证明与探究性问题数学运算2023新课标Ⅱ,21(2);2020新高考Ⅰ,22(2)定点、定值问题逻辑推理数学运算2022新高考Ⅱ,16中点弦问题直观想象轨迹方程问题2023新课标Ⅰ,22

(1);2024新课标Ⅰ,11直接法求轨迹方程3考数学运算2024新课标Ⅱ,5相关点法求轨迹方

程命题形式本专题内容命题形式多样,在选择题、填空题中主要考查直线与圆的位置关系,圆锥曲

线的定义、方程和几何性质,解答题中主要考查直线与圆锥曲线的方程及位置关系;直

线与圆锥曲线的位置关系题目涉及弦长、弦中点、定点、定值和取值范围等问题,常

与函数、不等式等知识综合考查,双曲线几何性质的考查多集中在双曲线的渐近线和

离心率上,而抛物线则侧重考查抛物线定义在求解与距离相关的最值问题中的转化,以及抛物线焦点弦的性质.结合本专题命题特点,复习过程中需注意以下几点:①求解直线与圆的问题时,要注意圆

的性质的应用,常采用几何法求解,同时要注意与其他知识的交汇问题;②求圆锥曲线方

程时,需关注待定系数法与定义法的应用;③求解有关弦中点问题时,需关注点差法和根与系数的关系的应用;④求解定值、定点问题时,需注意求解思路与问题转化方法.考点1直线的方程1.直线的倾斜角(1)倾斜角:当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成

的角α叫做直线l的倾斜角.(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定l的倾斜角为0°.(3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°.2.直线的斜率(1)定义:当直线l的倾斜角α≠

时,其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,则k=tanα.(2)范围:全体实数R.(3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为

=

.3.直线的方向向量直线AB上的向量

以及与它平行的非零向量都是直线AB的方向向量.若直线AB的斜率为k,

=(x,y),则k=

(x≠0).4.直线方程的几种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x0,y0)y-y0=k(x-x0)直线的斜率必存在斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by=kx+b直线的斜率必存在两点式两点(x1,y1),(x2,y2)

=

直线的斜率必存在且不为零截距式直线在x轴上的截距a与

直线在y轴上的截距b

+

=1直线的斜率必存在且不

为零,且直线不过原点一般式——Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平面直角坐标系内的所有直线知识拓展

1.直线系方程符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的直线系方程有如下几种:(1)过定点M(x0,y0)的直线系方程为y-y0=k(x-x0)(不包含直线x=x0);(2)和直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+C'=0(C'≠C);(3)和直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx-Ay+C'=0;(4)经过两相交直线A1x+B1y+C1=0(

+

≠0)和A2x+B2y+C2=0(

+

≠0)的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).2.直线的参数方程如图,设直线l经过点P0(x0,y0),v=(m,n)是它的一个方向向量,P(x,y)是直线l上的任意一点,

则向量

与v共线.根据向量共线的充要条件,知存在唯一的实数t,使

=tv,即(x-x0,y-y0)=t(m,n),所以

①在①中,实数t是对应点P的参变数,简称参数.

5.两直线的位置关系方程位置

关系

斜截式一般式l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2l1:A1x+B1y+C1=0(

+

≠0),l2:A2x+B2y+C2=0(

+

≠0)相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2且b1≠b2

或

6.距离公式点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=

点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=

两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=

考点2圆的方程标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圆心为(a,b)半径为r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)充要条件:D2+E2-4F>0圆心坐标:

半径r=

知识拓展

1.同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数.2.在平面内给定相异两点A,B,设P点在同一平面内,且满足

=λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.(链接人教A版选择性必修第一册P89第9题)3.若圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆上任意一点P(x,y)的坐标可表示为

其中θ为参数.(链接人教A版选择性必修第一册P89第10题)考点3直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系的判断设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),d为圆心(a,b)到直线l的距离,联

立直线和圆的方程,消元后得到一元二次方程根的判别式Δ.位置关系图形判断方法公共点个数代数法几何法相交

Δ>0d<r2相切

Δ=0d=r1相离

Δ<0d>r02.与圆的切线有关的结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点P(a,b)作圆的切线PA,PB,其中A,B为切点,则直线AB的方程为ax+

by=r2,切线长|PA|=

.(4)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点P(x0,y0)引圆的切线,切点为T,则切线长|PT|

=

.3.直线与圆相交直线与圆相交时,若l为弦长,d为弦心距,r为半径,则有r2=d2+

,即l=2

,求弦长或已知弦长求其他量时,一般用此公式.4.圆与圆的位置关系的判断及公切线条数设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(R>r),则位置关系图形公共点个数d,R,r的关系公切线条数外离

0d>R+r4外切

1d=R+r3相交

2R-r<d<R+r2内切

1d=R-r1内含

0d<R-r0知识拓展

两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)①,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)②,若两圆相交,则有一条公共弦,由①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0③.方程③表示圆C1

与C2的公共弦所在直线的方程.(链接人教A版选择性必修第一册P98练习第2题)即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等.

(

)(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x0,y0),则l的斜率为

.

(

)(3)不经过原点的直线都可以用

+

=1表示.(

)(4)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆,则有E≠0.

(

)(5)直线l:x=0与圆x2+y2=1的位置关系是相交且过圆心.

(

)(6)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.

(

)×××√√×2.圆x2+y2=5过点M(2,1)的切线方程为

.3.直线y=1-x被圆x2+y2+2y-2=0截得的弦长为

.4.圆x2-4x+y2=0与圆x2+y2+4x+3=0的公切线共有

条.2x+y-5=0

24题型一直线的倾斜角和斜率典例1

(2025届吉林名校联盟联考,4)已知直线l的斜率k∈(-1,

),则直线l的倾斜角的取值范围是

(

)A.

B.

C.

∪

D.

∪

D解析

设直线l的倾斜角为α,则k=tanα.因为k∈(-1,

),且α∈[0,π),所以α∈

∪

.(可结合正切函数的图象求解)故选D.变式训练1-1

(设问条件变式)(多选)(2025届河北沧州月考,9)已知点A(-3,-5),B(2,0),直

线l过点P(-2,3)且与线段AB的延长线(不含点B)有公共点,则直线l的斜率的取值可能为

(

)A.-

B.-

C.

D.1BC解析

由图可知要使l与线段AB的延长线(不含点B)有公共点,则kBP<kl<kAB,又kBP=

=-

,kAB=

=1,则l的斜率的取值范围是

.故选BC.

题型二求直线、圆的方程角度1求直线的方程典例2已知A(1,0),B(-2,-1),C(2,5),若直线l经过BC的中点,且与直线AB平行,则l的方程

为

.y=

x+2解析

由题意知kAB=

=

,BC的中点坐标为(0,2),所以l的方程为y-2=

x,即y=

x+2.变式训练2-1

(2025届云南昭通市直中学月考,5)经过直线l1:y=-2x-1和l2:y=2x+3的交点,

且倾斜角是直线l2的倾斜角的两倍的直线方程为(

)A.2x+y+1=0

B.x-4y+3=0C.4x+3y+1=0

D.3x+4y-1=0C解析

由

解得

则l1与l2的交点坐标为(-1,1).令直线l2的倾斜角为α,则tanα=2,显然α是锐角,则所求直线的斜率k=tan2α=

=

=-

,所以所求的直线方程为y-1=-

(x+1),即4x+3y+1=0.故选C.角度2求圆的方程典例3已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且在直线x-y-3=0上截得

的弦长为

,则圆C的方程为

.(x-1)2+(y+1)2=2(或x2+y2-2x+2y=0)解析

解法一:求圆心与半径∵所求圆的圆心在直线x+y=0上,∴可设所求圆的圆心为(a,-a).∵所求圆与直线x-y=0相切,∴半径r=

=

|a|.又所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为

,圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=

=

,∴d2+

=r2,即

+

=2a2,解得a=1,∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.解法二:待定系数法(设圆的方程为标准方程)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=

,∴r2=

+

,即2r2=(a-b-3)2+3.①∵所求圆与直线x-y=0相切,∴

=r,即(a-b)2=2r2.②又∵圆心在直线x+y=0上,∴a+b=0.③联立①②③,解得

故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.解法三:待定系数法(设圆的方程为一般方程)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心为

,半径r=

.∵圆心在直线x+y=0上,∴-

-

=0,即D+E=0.①又∵圆C与直线x-y=0相切,∴

=

,即D2+E2+2D·E-8F=0.②又知圆心

到直线x-y-3=0的距离d=

,由已知得d2+

=r2,即(D-E+6)2+12=2(D2+E2-4F).③联立①②③,解得

故圆C的方程为x2+y2-2x+2y=0.方法总结

求圆的方程的两种方法1.几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出圆的方程.2待定系数法:(1)若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r

的方程组,从而求出a,b,r的值;(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关

于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.变式训练2-2

(2025届湖南长沙长郡中学模块测,14)设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②

被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在满足条件①,②的所有圆中,圆心到直线l:x-2y

=0的距离最小的圆的方程为

.(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2解析

设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°,可得圆P截x轴所得的弦长为

r,故r2=2b2,又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1,从而得2b2-a2=1.又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=

,所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时等号成立,此时5d2

=1,从而d取得最小值.由此有

解此方程组得

或

由r2=2b2知r=

.于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.题型三直线和圆、圆和圆位置关系判断角度1直线和圆的位置关系典例4直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是

(

)A.相交

B.相切

C.相离

D.不确定A解析

解法一:直线系法直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为12+(1-1)2<5,则点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直

线l与圆相交,故选A.解法二:几何法因为圆C的圆心为C(0,1),半径r=

,则C到直线l的距离d=

=

<

=1<r=

.所以直线与圆相交.故选A.变式训练3-1

(关键元素变式)若圆x2+y2=4上恰有4个点到直线x-y+m=0的距离等于1,则

m的取值范围是

.(-

,

)解析

由题意得

<1,解得-

<m<

.角度2圆和圆位置关系的判断典例5

(多选)(2024河北衡水枣强中学期末,9)已知圆C1:(x+2)2+y2=1,圆C2:x2+(y-a)2=9,则

下列结论正确的是

(

)A.若C1和C2外离,则a>2

或a<-2

B.若C1和C2外切,则a=±2

C.当a=0时,有且仅有一条直线与C1和C2均相切D.当a=2时,C1和C2内含ABC解析

圆C1:(x+2)2+y2=1的圆心为C1(-2,0),半径r1=1,圆C2:x2+(y-a)2=9的圆心为C2(0,a),半径r2=3,所以|C1C2|=

.若C1和C2外离,则|C1C2|=

>r1+r2=4,解得a>2

或a<-2

,故A正确;若C1和C2外切,则|C1C2|=

=4,解得a=±2

,故B正确;当a=0时,|C1C2|=2=r2-r1,则C1和C2内切,故仅有一条公切线,故C正确;当a=2时,2=r2-r1<|C1C2|=2

<r1+r2=4,则C1和C2相交,故D错误.故选ABC.题型四与圆的切线相关的问题典例6已知点P在圆C:(x-a)2+y2=a2(a>0)上,点A(0,2),若|PA|的最小值为1,则过点A且与

圆C相切的直线方程为

(

)A.x=0或7x+24y-48=0B.x=0或7x-24y-48=0C.x=1或24x-7y-48=0D.x=1或24x+7y-48=0A解析

由圆C的方程可得圆心为C(a,0),半径r=a,因为|PA|的最小值为1,所以

-a=1,(圆外一定点A到圆上的点的距离的最小值为|AC|-r)解得a=

,故圆C的方程为

+y2=

.当过点A(0,2)的切线斜率存在时,设切线方程为y=kx+2,则

=

,解得k=-

,所以切线方程为y=-

x+2,即7x+24y-48=0;当过点A(0,2)的切线斜率不存在时,切线方程为x=0.综上,过点A且与圆C相切的直线方程为x=0或7x+24y-48=0.故选A.归纳总结

过点(x0,y0)的圆的切线的两种情况1.点(x0,y0)在圆上.(1)若切线的斜率存在且不为零,则先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线

的斜率为-

,然后由点斜式可得切线方程.(2)若切线的斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程.2.点(x0,y0)在圆外.(1)设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,即得切

线方程.(2)当用(1)中方法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,因为在上面的解法中不包括

斜率不存在的情况.(3)过圆外一点的切线有两条.变式训练4-1

(2025届河南省实验中学月考,14)已知点P为直线l:x+y-2=0上的动点,过

点P作圆C:x2+2x+y2=0的切线PA,PB,切点分别为A,B,当|PC|·|AB|最小时,直线AB的方程为

.3x+3y+1=0解析

因为圆C:x2+2x+y2=0可化为(x+1)2+y2=1,所以圆心为C(-1,0),半径为r=1,因为PA,PB是圆C

的两条切线,则PA⊥AC,PB⊥BC,由圆的知识可知,A,P,B,C四点共圆,且AB⊥CP,|PA|=|

PB|,所以|PC|·|AB|=4S△PAC=4×

×|PA|×|AC|=2|PA|,又|PA|=

,所以当|PC|最小,即PC⊥l时,|PC|·|AB|取得最小值,此时PC的方程为y=x+1,联立

解得x=

,y=

,即P

,故以PC为直径的圆的方程为

(x+1)+y

=0,即x2+

x+y2-

y-

=0,又圆C:x2+2x+y2=0,所以两圆的方程相减即为直线AB的方程:3x+3y+1=0.题型五与圆有关的弦长问题典例7

(多选)已知圆O:x2+y2=9,过点A(2,0)的动直线l与圆O相交于M,N两点,则

(

)A.存在直线l,使得|MN|=4B.使得|MN|为整数的直线l有3条C.存在直线l,使得△MON的面积为

D.存在直线l,使得△MON的面积为

BD解析

因为圆O的半径为3,|OA|=2,所以2

≤|MN|≤6,即2

≤|MN|≤6,(|MN|最短时,MN与OA垂直)故A不正确.若|MN|为整数,则|MN|=5或|MN|=6,且满足|MN|=5的直线l有2条,满足|MN|=6的直线有1条,

故B正确.S△MON=

|OM||ON|sin∠MON=

sin∠MON,若S△MON=

,则sin∠MON=1,则∠MON=

,则O到直线l的距离为3cos

=

>2,不符合题意,故C不正确.若S△MON=

,则sin∠MON=

,则∠MON=

或

.若∠MON=

,则O到直线l的距离为3cos

=

>2,不符合题意.若∠MON=

,则O到直线l的距离为3cos

=

<2,符合题意,故D正确.故选BD.变式训练5-1

(关键元素变式)过三点A(1,0),B(2,1),C(2,-3)的圆与直线x-2y-1=0交于M,N

两点,则|MN|=

(

)A.

B.

C.

D.2

B解析

设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,则有

解得D=-6,E=2,F=5,则圆的方程为x2+y2-6x+2y+5=0,即(x-3)2+(y+1)2=5,其圆心为(3,-1),半径r=

,点(3,-1)到直线x-2y-1=0的距离为d=

=

,所以|MN|=2

=2

=

.故选B.题型六对称问题角度1点关于点的对称问题典例8直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程为

.2x+11y-38=0解析

解法一:由中心对称的性质知,所求直线与已知直线平行,故可设所求直线方程为2x+11y

+c=0(c≠16).由点到直线的距离公式,得

=

,即|11+c|=27,解得c=16(舍去)或c=-38.故所求直线方程为2x+11y-38=0.解法二:在直线2x+11y+16=0上取一点A(-8,0),则点A(-8,0)关于P(0,1)的对称点为B(8,2).

由中心对称的性质知,所求直线与已知直线平行,故可设所求直线方程为2x+11y+c=0(c

≠16).将B(8,2)代入,解得c=-38.故所求直线方程为2x+11y-38=0.角度2点关于直线的对称问题典例9

(2025届吉林名校联盟月考,14)已知点P(1,4),Q(6,3),直线l:x+y-3=0,M为直线l上

一