重难点解析北师大版9年级数学上册期末试卷及完整答案详解【网校专用】

北师大版9年级数学上册期末试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A． B．C． D．2、如图，菱形的顶点在直线上，若，，则的度数为(

)A． B． C． D．3、图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF为菱形，O为AE，DF的交点，S△ABC＝8，则S菱形ADEF＝（）A．4 B．4 C．4 D．44、如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（

）A． B． C． D．5、已知（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）A． B． C．2a＝3b D．3a＝2b6、距考试还有20天的时间，为鼓舞干劲，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的小组共写了30份留言，该小组共有（）A．7人 B．6人 C．5人 D．4人二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且．如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（）A． B． C．2 D．-22、手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画．下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形．等边三角形．正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形相似的是（

）A． B．C． D．3、下列命题正确的是（

）A．菱形既是中心对称图形又是轴对称图形B．的算术平方根是5C．如果一个多边形的各个内角都等于108°，则这个多边形是正五边形D．如果方程有实数根，则实数4、下列命题中的真命题是（

）A．矩形的对角线相等 B．对角线相等的四边形是矩形C．菱形的对角线互相垂直平分 D．对角线互相垂直的四边形是菱形5、设点和B（，）是反比例函数图象上的两个点，当＜＜0时，＜，则一次函数的图象经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6、如图，在□ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF，BF.下列结论正确的是(

)A．∠ABC=2∠ABF B．EF=BF C．S四边形DEBC=2S△EFB D．∠CFE=4∠DEF第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、一菱形的对角线长分别为24cm和10cm，则此菱形的周长为________，面积为________．2、已知菱形的边长为，两条对角线的长度的比为3：4，则两条对角线的长度分别是_____________．3、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO，AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把△ADE作轴对称变换得△A′DE，点A′恰好在x轴上，若△OA′D与△OAB相似，则OA′的长为________.（结果保留2个有效数字）4、一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2，则其斜边的长是___．5、如图，D是的边BC上一点，，，．如果的面积为15，那么的面积为______．6、如图所示，在中，，，．（1）如图1，四边形为的内接正方形，则正方形的边长为_________；（2）如图2，若内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于，则正方形的边长为_________．7、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为_______．8、如果关于x的方程有两个相等的正实数根，那么m的值为____________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△ADG∽△ABF；（2）若，AF＝6，求GF的长．2、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价为1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利8000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？3、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；(2)求出△BPE周长的最小值．4、某商店如果将进价8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨1元，那么每天的进货量就会减少20件，要想每天获得640元的利润，则每件商品的售价定为多少元最为合适？5、用适当的方法解方程：(1)(1-x)2-2(x-1)-35＝0；(2)x2+4x-2＝0．6、如图是由一些棱长都为的小正方体组合成的简单几何体.（1）画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加__________块小正方体.-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，故选A．【考点】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.2、B【解析】【分析】由∠MCN=180°，可求出∠BCD的度数，根据菱形的性质可得∠A的度数，再由AB=AD，进而可求出∠ABD的度数．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠A=∠BCD，AB=AD．∵∠1=50°，∠2=20°，∴∠BCD=180°-50°-20°=110°∴∠A=110°．∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=（180°－110°）÷2=35°．故选B．【考点】本题考查了菱形的性质、三角形内角和定理的运用以及等腰三角形的判定和性质，熟记菱形的各种性质是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据菱形的性质，结合AB=AC，得出DF为△ABC的中位线，DF∥BC，，从而得出AE为△ABC的高，得出，再根据菱形的面积公式，即可得出菱形的面积．【详解】解：∵四边形ADEF为菱形，∴EF∥AB，DE∥AC，AF=EF=DE=AD，AE⊥DF，∴，，，，，∴CF=EF，DE=DB，，，∴DF∥BC，，，，，，，即，，故C正确．故选：C．【考点】本题主要考查了菱形的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质和判断，平行线的性质，菱形的面积，三角形面积的计算，根据菱形的性质和等腰三角形的性质得出DF为△ABC的中位线，是解题的关键．4、D【解析】【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D【考点】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．5、C【解析】【分析】根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”对各选项分析判断即可得．【详解】解：A、∵，∴，∴，选项说法错误，不符合题意；B、∵，∴，∴，选项说法错误，不符合题意；C、∵，∴，选项说法正确，符合题意；D、∵，∴，选项说法错误，不符合题意；故选C．【考点】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟记比例的性质．6、B【解析】【分析】设小组有x人，根据题意，得x(x-1)=30，解方程即可．【详解】设小组有x人，根据题意，得x(x-1)=30，整理，得，解方程，得(舍去)，故选B．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程的应用是解题的关键．二、多选题1、AD【解析】【分析】利用方程根的定义去验证判断即可．【详解】∵，，∴，∴，，∴，，∵是方程的一个根，∴是方程的一个根，∴是方程的一个根，即时方程的一个根.∵是方程的一个根，∴，当x=时，，∴是方程的根．故选：A，D．【考点】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．2、ABC【解析】【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．【详解】解：A、形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故该选项符合题意；B、形状相同，符合相似形的定义，故该选项符合题意；C、形状相同，符合相似形的定义，故该选项符合题意；D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故该选项不符合题意；故选：ABC．【考点】本题考查的是相似形的概念，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例．3、AD【解析】【分析】利用菱形的对称性、算术平方根的定义、多边形的内角和、一元二次方程根的判别式等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，故命题正确，符合题意；B、的算术平方根是，故命题错误，不符合题意；C、若一个多边形的各内角都等于108°，各边也相等，则它是正五边形，故命题错误，不符合题意；D、对于方程，当a＝0时，方程，变为2x＋1＝0，有实数根，当a≠0时，时，即，方程有实数根，综上所述，方程有实数根，则实数，故命题正确，符合题意．故选：AD．【考点】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、多边形的内角和、一元二次方程根的判别式等知识，难度不大．4、AC【解析】【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的判定和性质即可进行判断．【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直平分，是真命题，符合题意；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是假命题，不符合题意；故选AC．【考点】本题考查了，矩形的判定，菱形的判定与性质，解题的关键是掌握所学的定理．5、BCD【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质得出k的取值范围，进而根据一次函数的性质得出一次函数y＝−2x＋k的图象不经过的象限．【详解】解：∵点和B（，）是反比例函数图象上的两个点，当＜＜0时，＜，∴＜＜0时，y随x的增大而增大，∴k＜0，∴一次函数y＝−2x＋k的图象不经过第一象限．故答案为：BCD．【考点】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的性质，根据反比例函数的性质得出k的取值范围是解题关键．6、ABC【解析】【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．根据等边对等角和平行线的性质可证得∠CBF＝∠FBH，进而即可求证∠ABC＝2∠ABF；根据“AAS”证得△DFE≌△FCG，易知FE＝FG，进而可得∠EBG＝90°，根据直角三角形斜边中线定理即可求证BF＝EF；根据全等三角形的性质可得S△DFE＝S△CFG，进而可得S四边形DEBC＝S△EBG，进而即可求证S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF；求证四边形BCFH是平行四边形，进而证得四边形BCFH是菱形，根据菱形的性质可得∠BFC＝∠BFH，进而根据等边对等角和平行线的性质可得∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，进而即可验证结论∠CFE=4∠DEF．【详解】如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝AD＝CB，∴∠CFB＝∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH，∴∠CBF＝∠FBH，∴∠ABC＝2∠ABF．故A选项正确；∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG，∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△FCG（AAS），∴FE＝FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG＝90°，∴BF＝EF＝FG，故B选项正确；∵△DFE≌△FCG，∴S△DFE＝S△CFG，∴S四边形DEBC＝S△EBG，∵FE＝FG，∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故C选项正确；∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF＝BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC＝∠BFH，∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，∴∠EFC＝3∠DEF，故D选项错误，故选：ABC．【考点】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、填空题1、

52cm

120cm2【解析】【分析】根据菱形对角线互相平分且垂直得到边长，从而计算出周长，再根据面积公式计算出面积．【详解】解：∵菱形的对角线长分别为24cm和10cm，∴对角线的一半长分别为12cm和5cm，∴菱形的边长为：=13cm，∴菱形的周长为：13×4=52cm，面积为：×10×24=120cm2．故答案为：52cm，120cm2．【考点】此题主要考查学生对菱形的性质的理解及运用，属于基础题，关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．2、，【解析】【分析】如图BD：AC=3：4，AB=10cm，设BD=3x，则AC=4x，根据菱形的性质，DO=BO=，AO=CO=2x，在RtΔAOD中，AD2+DO2+AO2，，求出x，BD=3x，AC=4x即可．【详解】如图BD：AC=3：4，AB=10cm，设BD=3x，则AC=4x，根据菱形的性质，DO=BO=，AO=CO=2x，AC垂直BD在RtΔAOD中，AD2+DO2+AO2，，x=4，AC=4×4=16，BD=3×4=12，则两条对角线的长度分别是12cm,16cm．故答案为：12cm,16cm．【考点】本题考查菱形的对角线问题，掌握菱形的性质，利用对角线之间的关系，和勾股定理构造方程是解题关键．3、2.0或3.3【解析】【分析】由点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），可得OA=5，OB=7，AB=4，然后分别由△OA′D∽△OAB与△OA′D∽△OBA，根据相似三角形的对应边成比例，即可得答案．【详解】∵点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），∴OA==5，OB=7，AB==4，若△OA′D∽△OAB，则，设AD=x，则OD=5﹣x，A′D=x，即，解得：x≈2.2，∴，∴OA′=2.0；若△OA′D∽△OBA，则，同理：可得：OA′≈3.3．故答案为2.0或3.3．【考点】此题考查了相似三角形的性质与折叠的知识．注意数形结合与方程思想的应用，小心别漏解是解题关键．4、cm【解析】【分析】设较短的直角边长是xcm，较长的就是（x+5）cm，根据面积是7cm，求出直角边长，根据勾股定理求出斜边长．【详解】解：设这个直角三角形的较短直角边长为xcm，则较长直角边长为（x＋5）cm，根据题意，得，所以，解得，，因为直角三角形的边长为正数，所以不符合题意，舍去，所以x＝2，当x＝2时，x＋5＝7，由勾股定理，得直角三角形的斜边长为＝＝cm．故答案为：cm．【考点】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，关键是知道三角形面积公式以及直角三角形中勾股定理的应用．5、5【解析】【分析】先证明△ACD∽△BCA，再根据相似三角形的性质得到：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，再结合△ABD的面积为15，然后求出△ACD的面积即可．【详解】∵，，∴，∵，，∴，∴的面积，故答案是：5．【考点】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答本题的关键．6、

【解析】【分析】（1）根据题意画出图形，作CN⊥AB，再根据GF∥AB，可知△CGF∽△CAB，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长；（2）设正方形的边长是x，则过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，易得△CGF∽△CAB，所以，求出x值即可．【详解】解：（1）在图1中，作CN⊥AB，交GF于点M，交AB于点N．在Rt△ABC中，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴AB•CN=BC•AC，∴CN=，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CM：CN=GF：AB，设正方形边长为x，则，解得：，∴正方形DEFG的边长为；（2）如图，过点C作CN⊥AB，垂足为N，交GF于点M，设小正方形的边长为x，∵四边形GDEF为矩形，∴GF∥AB，CM⊥GF，同理算出CN=，∴，即，∴，即小正方形的边长是．【考点】本题主要考查了正方形，矩形的性质和相似三角形的性质．会利用三角形相似中的相似比来得到相关的线段之间的等量关系是解题的关键．7、38【解析】【分析】根据题目要求，要使四边形AGCD的面积最小，因为的面积固定，只需使的面积最小即可，即的高最小即可，又在中，，则BG=2，高的最小值为点B到AC的距离减去BG的长度，则可求解．【详解】依题意，在中，为EF的中点，，，点G在以B为圆心，2为半径的圆与长方形重合的弧上运动，,要使四边形AGCD的面积最小，则B所在直线垂直线段AC，又，点B到AC的距离为，此时点G到AC的距离为，故的最小面积为，，故答案为：38．【考点】本题考查了动点问题中四边形的最小面积问题，利用勾股定理，直角三角形中线的性质，三角形等积法求高等性质定理进行求解，对于相关性质定理的熟练运用是解题的关键．8、4【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求得或，再根据方程有两个相等的正实数根，可知两根之和为正数，据此即可解答．【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根解得或又关于x的方程有两个相等的正实数根两根之和为正数，即，解得故故答案为：4【考点】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解决本题的关键解．四、解答题1、（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DAG=∠BAF，再由∠ADE=∠B，即可证明△ADG∽△ABF；（2）由△ADG∽△ABF，可得，即可得到，则GF=AF-AG=2．【详解】解：（1）∵AF平分∠BAC，∴∠DAG=∠BAF，∵∠ADE=∠B，∴△ADG∽△ABF；（2）∵△ADG∽△ABF，∴，∵，，∴，∴GF=AF-AG=2．【考点】本题主要考查了角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．2、每千克应涨价10元【解析】【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，每天盈利8000元，列出方程，求解即可．【详解】解：设每千克应涨价x元，由题意得：，解得，，要使顾客得到实惠，应取x=10，答：每千克应涨价10元．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．3、(1)见解析(2)12【解析】【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△ABP′≌△ADP′，即可求解；（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．(1)解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∵AP′=AP′，∴△ABP′≌△ADP′，∴BP′=DP′，∴BP+PE=DP′+P′E≥DE，即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；(2)解：由（1）得：BP′=DP′，∴P′B＋P′E＝DE．∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6．∴AD＝AB＝8．∴DE＝＝10．∴PB＋PE的最小值是10．∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．【考点】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三