2025年中考试题：几何图形强化训练-角度与正弦余弦函数应用

2025年中考试题：几何图形强化训练——角度与正弦余弦函数应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.小明在教室里看黑板，黑板的一角呈45度角，如果小明离黑板5米远，那么他眼睛到黑板的水平距离大约是多少米？A.5米B.3.54米C.7.07米D.1米2.一个等腰三角形的底边长为8厘米，腰长为5厘米，那么这个三角形的顶角是多少度？A.36度B.72度C.108度D.144度3.在直角三角形中，如果其中一个锐角是30度，那么斜边上的高是斜边的一半，这个说法对吗？A.对B.错4.一个圆的半径为3厘米，那么这个圆的周长是多少厘米？A.6π厘米B.9π厘米C.12π厘米D.18π厘米5.一个正方形的边长为4厘米，那么这个正方形的对角线长是多少厘米？A.4厘米B.4√2厘米C.8厘米D.8√2厘米6.在直角三角形中，如果其中一个锐角是60度，那么另一个锐角是多少度？A.30度B.45度C.60度D.90度7.一个等边三角形的边长为6厘米，那么这个三角形的高是多少厘米？A.3厘米B.3√3厘米C.6厘米D.6√3厘米8.在直角三角形中，如果两条直角边的长度分别是3厘米和4厘米，那么斜边的长度是多少厘米？A.5厘米B.7厘米C.9厘米D.12厘米9.一个圆的直径为10厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？A.10π平方厘米B.20π平方厘米C.50π平方厘米D.100π平方厘米10.一个等腰直角三角形的斜边长为10厘米，那么这个三角形的面积是多少平方厘米？A.25平方厘米B.50平方厘米C.100平方厘米D.200平方厘米二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）1.在直角三角形中，如果其中一个锐角是45度，那么另一个锐角是度。2.一个等边三角形的边长为10厘米，那么这个三角形的高是厘米。3.在直角三角形中，如果两条直角边的长度分别是6厘米和8厘米，那么斜边的长度是厘米。4.一个圆的半径为7厘米，那么这个圆的周长是厘米。5.一个正方形的边长为9厘米，那么这个正方形的对角线长是厘米。三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。）1.小红在操场上放风筝，风筝线长50米，风筝与地面成60度角，请问小红距离地面的高度大约是多少米？请写出解题步骤。2.一个等腰三角形的底边长为12厘米，腰长为10厘米，求这个三角形的顶角和底角分别是多少度？请写出解题步骤。3.在直角三角形ABC中，已知∠A=30度，BC=6厘米，求斜边AB的长度和直角边AC的长度。请写出解题步骤。4.一个圆的周长是20π厘米，求这个圆的半径是多少厘米？请写出解题步骤。5.一个正方形的对角线长是10厘米，求这个正方形的面积是多少平方厘米？请写出解题步骤。四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）1.在直角三角形ABC中，∠C=90度，∠A=∠B，求证：AC=BC。请写出证明过程。2.在等边三角形ABC中，点D是AB的中点，点E是AC的中点，求证：DE垂直于BC。请写出证明过程。本次试卷答案如下一、选择题答案及解析1.答案：B解析：小明看黑板的一角呈45度角，可以想象成一个等腰直角三角形，小明到黑板的水平距离就是等腰直角三角形的腰长，根据等腰直角三角形的性质，腰长等于斜边长乘以sin45度，sin45度约等于0.707，所以小明到黑板的水平距离大约是5米乘以0.707，等于3.54米。2.答案：B解析：等腰三角形的两个底角相等，底边长为8厘米，腰长为5厘米，可以根据余弦定理求出底角的大小，cos底角=(8^2+5^2-5^2)/(2*8*5)=0.8，底角约等于36.87度，因为等腰三角形的两个底角相等，所以顶角是180度减去两个底角的和，即180度-2*36.87度=106.26度，约等于72度。3.答案：A解析：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么根据30度角的性质，斜边上的高确实是斜边的一半，这个说法是正确的。4.答案：A解析：圆的周长公式是2πr，其中r是半径，所以这个圆的周长是2π*3厘米=6π厘米。5.答案：B解析：正方形的对角线可以将正方形分成两个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边就是正方形的对角线，根据勾股定理，对角线的长度是边长的√2倍，所以这个正方形的对角线长是4厘米*√2=4√2厘米。6.答案：B解析：直角三角形的两个锐角之和是90度，如果一个锐角是60度，那么另一个锐角就是90度-60度=30度。7.答案：B解析：等边三角形的高也可以看作是一个30度-60度-90度直角三角形的中线，在这个直角三角形中，高是短边的√3倍，等边三角形的边长是6厘米，所以高是6厘米*√3/2=3√3厘米。8.答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两条直角边的平方和的平方根，所以斜边的长度是√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5厘米。9.答案：C解析：圆的面积公式是πr^2，其中r是半径，直径是10厘米，所以半径是10厘米/2=5厘米，圆的面积是π*5^2=25π平方厘米。10.答案：B解析：等腰直角三角形的两个直角边相等，斜边长为10厘米，根据等腰直角三角形的性质，直角边长是斜边长除以√2，所以直角边长是10厘米/√2=5√2厘米，三角形的面积是1/2*直角边长*直角边长=1/2*(5√2厘米)*(5√2厘米)=25平方厘米。二、填空题答案及解析1.答案：45解析：直角三角形的两个锐角之和是90度，如果一个锐角是45度，那么另一个锐角也是45度。2.答案：5√3解析：等边三角形的高也可以看作是一个30度-60度-90度直角三角形的中线，在这个直角三角形中，高是短边的√3倍，等边三角形的边长是10厘米，所以高是10厘米*√3/2=5√3厘米。3.答案：10解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长等于两条直角边的平方和的平方根，所以斜边的长度是√(6^2+8^2)=√(36+64)=√100=10厘米。4.答案：14π解析：圆的周长公式是2πr，其中r是半径，所以这个圆的周长是2π*7厘米=14π厘米。5.答案：9√2解析：正方形的对角线可以将正方形分成两个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边就是正方形的对角线，根据勾股定理，对角线的长度是边长的√2倍，所以这个正方形的对角线长是9厘米*√2=9√2厘米。三、解答题答案及解析1.答案：约25米解析：可以将风筝线、小红到地面的距离和风筝与地面的连线看作一个直角三角形，风筝线是斜边，小红到地面的距离是直角边，风筝与地面的连线是另一个直角边，根据正弦函数的定义，sin60度=小红到地面的距离/风筝线长，小红到地面的距离=sin60度*风筝线长≈0.866*50米≈43.3米，所以小红距离地面的高度大约是43.3米。2.答案：顶角约为126度，底角约为27度解析：等腰三角形的两个底角相等，底边长为12厘米，腰长为10厘米，可以根据余弦定理求出底角的大小，cos底角=(12^2+10^2-10^2)/(2*12*10)=0.9，底角约等于20.56度，因为等腰三角形的两个底角相等，所以顶角是180度减去两个底角的和，即180度-2*20.56度=139.88度，约等于126度，底角约为27度。3.答案：斜边AB约6.9厘米，直角边AC约3厘米解析：在直角三角形ABC中，∠C=90度，BC=6厘米，∠A=30度，根据30度角的性质，斜边AB是BC的两倍，所以斜边AB=2*BC=2*6厘米=12厘米，根据勾股定理，直角边AC=√(AB^2-BC^2)=√(12^2-6^2)=√(144-36)=√108≈10.39厘米，所以斜边AB约6.9厘米，直角边AC约3厘米。4.答案：半径是5厘米解析：圆的周长公式是2πr，其中r是半径，周长是20π厘米，所以2πr=20π厘米，r=20π厘米/2π=10厘米，所以这个圆的半径是5厘米。5.答案：面积是50平方厘米解析：正方形的对角线可以将正方形分成两个全等的直角三角形，每个直角三角形的斜边就是正方形的对角线，根据勾股定理，正方形的边长是√(对角线^2/2)，所以正方形的边长是√(10^2/2)=√50=5√2厘米，正方形的面积是边长的平方，所以面积是(5√2厘米)^2=50平方厘米。四、证明题答案及解析1.证明：在直角三角形ABC中，∠C=90度，∠A=∠B，因为∠A+∠B+∠C=180度，