2025年河南省荥阳高中数学高三上期末考试试题

2025年河南省荥阳高中数学高三上期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则的大小关系为（）A． B． C． D．2．若函数的图象过点，则它的一条对称轴方程可能是（）A． B． C． D．3．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（）A．1 B． C． D．4．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．5．给出个数，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能()A．； B．；C．； D．；6．已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．1 C．或1 D．或97．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．8．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则 B．若，,则C．若,,则 D．若,,则9．在复平面内，复数（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为()A．1 B．2 C． D．12．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图在三棱柱中，，，，点为线段上一动点，则的最小值为________.14．如图，直线平面，垂足为，三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，在平面内，是直线上的动点，则点到平面的距离为_______，点到直线的距离的最大值为_______.15．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________．16．已知，满足，则的展开式中的系数为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围.18．（12分）如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,是的中点.（1）.求证:平面平面;（2）.若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.19．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求实数的取值范围.20．（12分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.22．（10分）已知数列是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，为数列的前项和，记，证明：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【解析】

由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知，由对数函数的图像与性质可知，，所以最小；而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知，代入上式可得所以，综上可知，故选：D.本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.2．B【解析】

把已知点坐标代入求出，然后验证各选项．【详解】由题意，，或，，不妨取或，若，则函数为，四个选项都不合题意，若，则函数为，只有时，，即是对称轴．故选：B．本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．3．C【解析】

根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减；当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选：C本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.4．C【解析】

将函数解析式化简，并求得，根据当时可得的值域；由函数在上单调递减可得的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得的取值范围.【详解】依题意，则，当时，，故函数在上单调递增，当时，；而函数在上单调递减，故，则只需，故，解得，故实数的取值范围为.故选：C.本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.5．A【解析】

要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.6．C【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．7．B【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数，可得，时，，单调递增，∵，故不等式的解集等价于不等式的解集．．∴．故选：B．本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.8．C【解析】

在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或．【详解】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则：在A中，若，，则与相交或平行，故A错误；在B中，若，，则或，故B错误；在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若，，则与平行或，故D错误．故选C．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．9．D【解析】

将复数化简得,,即可得到对应的点为,即可得出结果.【详解】，对应的点位于第四象限.故选:.本题考查复数的四则运算,考查共轭复数和复数与平面内点的对应,难度容易.10．B【解析】

根据所给函数解析式，画出函数图像.结合图像，分段讨论函数的零点情况：易知为的一个零点；对于当时，由代入解析式解方程可求得零点，结合即可求得的范围；对于当时，结合导函数，结合导数的几何意义即可判断的范围.综合后可得的范围.【详解】根据题意，画出函数图像如下图所示：函数的零点，即.由图像可知，，所以是的一个零点，当时，，若，则，即，所以，解得；当时，，则，且若在时有一个零点，则，综上可得，故选：B.本题考查了函数图像的画法，函数零点定义及应用，根据零点个数求参数的取值范围，导数的几何意义应用，属于中档题.11．D【解析】

按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.【详解】，，.故选：D本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.12．D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

把绕着进行旋转，当四点共面时，运用勾股定理即可求得的最小值.【详解】将以为轴旋转至与面在一个平面，展开图如图所示，若，，三点共线时最小为，为直角三角形，故答案为：本题考查了空间几何体的翻折，平面内两点之间线段最短，解直角三角形进行求解，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.14．【解析】

三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，所以在平面的投影为的重心，利用解直角三角形，即可求出点到平面的距离；，可得点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径，即可求出结论.【详解】边长为，则中线长为，点到平面的距离为，点是以为直径的球面上的点，所以到直线的距离为以为直径的球面上的点到的距离，最大距离为分别过和的两个平行平面间距离加半径.又三棱锥的底面边长和侧棱长都为4，以下求过和的两个平行平面间距离，分别取中点，连，则，同理，分别过做，直线确定平面，直线确定平面，则，同理，为所求，，，所以到直线最大距离为.故答案为:；.本题考查空间中的距离、正四面体的结构特征，考查空间想象能力，属于较难题.15．【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时.因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为：.本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.16．1【解析】

根据二项式定理求出，然后再由二项式定理或多项式的乘法法则结合组合的知识求得系数．【详解】由题意，．∴的展开式中的系数为．故答案为：1．本题考查二项式定理，掌握二项式定理的应用是解题关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）或；（2）【解析】

（1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果.（2）利用等价转化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果.【详解】（1）当时，原不等式可化为.①当时，则，所以；②当时，则，所以；⑧当时，则，所以.综上所述：当时，不等式的解集为或.（2）由，则，由题可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求实数的取值范围是.本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题.18．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据平面有，利用勾股定理可证明，故平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）在点建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值为建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.试题解析：（Ⅰ）平面平面因为,所以,所以,所以,又，所以平面.因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）如图，以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则.设，则取，则为面法向量．设为面的法向量，则，即，取，则依题意，则．于是．设直线与平面所成角为，则即直线与平面所成角的正弦值为．19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用零点分段讨论法把函数改写成分段函数的形式,分三种情况分别解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,结合题意,只需即可,解不等式即可求解.【详解】（Ⅰ）当时，，，或，或，或所以不等式的解集为；（Ⅱ）因为，又（当时等号成立），依题意，，，有，则，解之得，故实数的取值范围是.本题考查由存在性问题求参数的范围、零点分段讨论法解绝对值不等式、利用绝对值三角不等式和均值不等式求最值；考查运算求解能力、分类讨论思想、逻辑推理能力；属于中档题.20．（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】

（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，，∴成立.当时，，，∴.当时，，，∴，即.综上.本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．（1）（2）是，【解析】

（1）设,根据条件可求出的坐标，再利用在椭圆上，代入椭圆方程求出即可;（2）设运用勾股定理和点满足椭圆方程，求出，,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值．【详解】(1)设,因为,即则,即,因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;(2)