2021-2022学年湖南省长沙市八年级下学期期中数学试题及答案

2021-2022学年湖南省长沙市八年级下学期期中数学试题及答案一、选择题（本大题共10小题，共30分）据新华社消息，2022北京冬奥会开幕式中国大陆地区观看人数约为3.16亿人，其中3.16亿用科学记数法表示为(    )A.3.16×107 B.3.16×108 C.下列二次根式中是最简二次根式的是(    )A.12 B.6 C.8 D.下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是(    )A.1，2，3 B.1，1，2 C.6，8，10 D.5，12，15矩形具有而菱形不具有的性质是(    )A.两组对边分别相等 B.两组对边分别平行

C.两条对角线相等 D.两条对角线互相垂直下列函数中，属于正比例函数的是(    )A.y=x2+2 B.y=-2x+1 C.y=如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，若AB=12，则CD的长是(    )A.12B.6

C.4D.3将函数y=2x的图象向上平移4个单位后，下列各点在平移后的图象上的是(    )A.(1,5) B.(0,4) C.(-1,3) D.(2,-3)如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是(    )A.AB=BC B.AD=BC C.∠A=∠C D.∠B+C=180°已知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，则一次函数y=kx-k的图象可能是下图中的(    )A. B.

C. D.如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且AB/​/y轴．直线M：y=-x沿x轴正方向平移，被矩形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离a之间的函数图象如图②，那么矩形ABCD的面积为(    )A.10 B.12 C.15 D.18二、填空题（本大题共6小题，共18分）因式分解：2x2-6x=______函数y=xx-4中，自变量x的取值范围是______．如图，点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若MN=2，则BC=______．

如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F处，如果∠AEF=75°，那么∠BAF=______°.

如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是______．

如图1所示，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为CD、BC的中点，AE和DF相交于点G；如图2所示，将图1中边长为4的正方形ABCD折叠，使得点D落在边BC的中点D'处，点A落在点A'处，折痕为MN.现有四个结论：

图1中：①AE=DF；②AE⊥DF；③DG=345；

图2中：④MN=25．

其中正确的结论有：______.(三、解答题（本大题共9小题，共72分）计算：|3-22|+20220先化简，再求值：(2xx+1-1)÷x2-x学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．

已知：△ABC．

求作：BC边上的中线AD．

作法：如图，

①分别以点B，C为圆心，AC，AB长为半径作弧，两弧相交于P点；

②作直线AP，AP与BC交于D点，所以线段AD就是所求作的中线．

根据小明设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明．

证明：连接PB，PC．

∵PC=AB，______，

∴四边形ABPC是平行四边形(______)(填推理的依据)．

∴DB=DC(______)(填推理的依据)．

∴AD是BC边上的中线．

某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2142%良好m40%合格6n待合格36%(1)本次调查随机抽取了______名学生；表中m=______，整数n=______；

(2)补全条形统计图；

(3)若全校有3000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．

如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．

(1)求证：AB=BC；

(2)若AB=4，AC=43，求平行四边形ABCD的面积．

我市某中学计划举行以“古诗词飞花令”为形式的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和3件乙种奖品共需60元，2件甲种奖品和2件乙种奖品共需80元．

(1)求甲、乙两种奖品的单价；

(2)根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共50件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

如图，OA=OB，OC=OD．

(1)求证：△ABC≌△BAD．

(2)若∠C=90°，∠DBA=30°，AD=23，求AB的长和△AOB的面积．

数学中，定义符号max{m,n}表示两个数中的最大值，如max{1,2}=2，max{3,3}=3，现有函数y=max{-x+1,2x-2}，请回答如下问题：

(1)①当x=-1时，函数y=max{-x+1,2x-2}的函数值y=______；

②当x=1时，函数y=max{-x+1,2x-2}的函数值y=______；

③当x=3时，函数y=max{-x+1,2x-2}的函数值y=______；

(2)求函数y=max{-x+1,2x-2}的解析式．

(3)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，点A的坐标为(1,0)，函数y=kx+1(k为常数，且0<k<2)与函数y=max{-x+1,2x-2}相交于不同两点B(0,1)、C，分别记△OAC，△OBC的面积为S1、S2，且有S1-S2如图1所示，在平面直角坐标系中，动点A(0,a)，B(b,0)分别在y轴、x轴的正半轴上，射线AC、BC是△OAB的两条外角平分线，且它们相交于定点C(3,3)．

(1)若点A的坐标为(0,2)，求直线AC的解析式；

(2)求证：a2+b2=(6-a-b)2；

(3)在图1中，延长CA、CB分别交x轴、y轴于点D，E

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：3.16亿=316000000=3.16×108，

故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，2.【答案】B

【解析】解：A．12的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

B.6是最简二次根式，故本选项符合题意；

C.8的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

D.9的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

故选：B．

根据最简二次根式的定义逐个判断即可．

本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②3.【答案】C

【解析】解：A、22+12≠32，∴三角形不是直角三角形，故选项不符合题意；

B、1+1=2，不能组成三角形，故选项不符合题意；

C、62+82=102，∴三角形是直角三角形，故选项符合题意；

D、524.【答案】C

【解析】解：矩形的性质是：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对边相等且互相平行，③矩形对角线相等且互相平分；

菱形的性质是：①菱形的四条边都相等，菱形的对边互相平行；②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，

所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等，

故选：C．

根据矩形的性质和菱形的性质即可解决问题．

本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记知识点是解此题的关键．

5.【答案】D

【解析】解：A.是二次函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；

B.是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；

C.是反比例函数，不是正比例函数，故本选项不符合题意；

D.是正比例函数，故本选项符合题意；

故选：D．

根据正比例函数的定义逐个判断即可．

本题考查了正比例函数的定义，能熟记正比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如y=kx+b(k、b为常数，k≠0)的函数，叫一次函数，当b=0时，y=kx也叫正比例函数．

6.【答案】B

【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，AB=12，

则CD=12AB=7.【答案】B

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x的图象向上平移4个单位后所得直线的解析式为：y=2x+4，

当x=1时，y=2+4=6≠5，

当x=0时，y=0+4=4，

当x=-1时，y=-2+4=2≠3，

当x=2时，y=4+4=8≠-3，

所以在平移后的函数图象上的是(0,4)，

故选：B．

根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，然后把各选项中点的坐标代入即可判断．

本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

8.【答案】C

【解析】解：一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是∠A=∠C，理由如下：

∵AB/​/CD，

∴∠A+∠D=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠D=180°，

∴AD/​/BC，

又∵AB/​/CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

故选：C．

由平行线的性质得∠A+∠D=180°，再由∠A=∠C，得∠C+∠D=180°，证出AD/​/BC，即可得出结论．

本题考查了平行四边形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明AD/​/BC是解题的关键．

9.【答案】D

【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，

∴k>0，

∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限．

故选：D．

由正比例函数图象经过第一、三象限可求出k>0，再利用一次函数图象与系数的关系即可得出一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限，此题得解．

本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．

10.【答案】C

【解析】解：由图可知，当a=1时，直线M过点A．

当a=4时，直线M经过点B．

当a=6时，直线M经过点D．

当a=9时，直线M经过点C．

故当F在BC上移动时，4≤a≤9，BC=9-4=5，

当F在AB上移动时，1≤a≤4，

又此时AF=AE，

∴AB=4-1=3．

故矩形ABCD的面积未5×3=15．

故选：C．

根据图象折线中各个端点的位置，判断与长方形顶点的关系，求出长方形的长和宽，再计算面积．

本题考查动点问题的函数图象．解题的关键在于判断怎么用图中的数据表示长方形的长和宽．

11.【答案】2x(x-3)

【解析】解：2x2-6x=2x(x-3)．

故答案为：2x(x-3)12.【答案】x≥0且x≠4

【解析】解：由题意得：x≥0，x-4≠0，

解得：x≥0且x≠4，

故答案为：x≥0且x≠4．

根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．

本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．

13.【答案】4

【解析】解：∵点M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，

∴MN是△ABC的中位线，

∴BC=2MN，

∵MN=2，

∴BC=4，

故答案为：4．

根据三角形中位线定理解答即可．

本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．

14.【答案】60

【解析】解：∵将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，

∴∠DAE=∠EAF，∠AED=∠AEF=75°，

∵∠DAE=90°-∠AED=15°，

∴∠DAF=3∠DAE=30°，

∴∠BAF=90°-∠DAF=60°．

故答案为：60°．

利用翻折变换的性质得出∠DAE=∠EAF，∠AED=∠AEF=75°，进而求出∠DAE的度数，从而可求得∠DAF的度数，即可求BAF的度数．

此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出∠DAE=∠EAF是解题关键．

15.【答案】17cm

【解析】解：∵AB的垂直平分线交AC于D，

∴AD=BD，

∵AC=16cm，BC=10cm，

∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=7+10=17(cm)．

故答案为：17cm．

由AB的垂直平分线交AC于D，根据线段垂直平分线的性质，即可得AD=BD，又由△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+AC，即可求得答案．

此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．

16.【答案】①②④

【解析】解：如图：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵点E，F分别为CD、BC的中点，

∴DE=12CD=12BC=CF，

∴△ADE≌△DCF(SAS)，

∴AE=DF，故①正确；

∠DAE=∠CDF，

∵∠DAE+∠DEA=90°，

∴∠CDF+∠DEA=90°，

∴∠DGE=90°，

∴AE⊥DF，故②正确；

∵AD=4，DE=12CD=2，

∴AE=AD2+DE2=25，

∵2S△ADE=AD⋅DE=AE⋅DG，

∴DG=AD⋅DEAE=4×225=455，故③错误；

图2中，过点M作MG⊥CD于点G，连接DD'交MG于K，如图：

由题意可知MG=BC=CD，

由折叠可知，DD'⊥MN，

∴∠NMG+∠MKD'=90°，

∵∠DKG+∠D'DC=90°，∠MKD'=∠DKG(对顶角相等)，

∴∠NMG=∠D'DC．

在△MNG与△DEC中，

∠NMG=∠D'DCMG=CD∠MGN=∠DCD'=90°，

∴△MNG≌△DD'C(ASA)．

∴MN=DD'=CD2+CD'2=42+22=25，故17.【答案】解：原式=3-22+1-2+22【解析】直接利用绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂以及二次根式的化简分别化简，进而得出答案．

本题是实数的运算，主要考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质，关键是熟记这些性质．

18.【答案】解：原式=(2xx+1-x+1x+1)÷x(x-1)(x+1)2

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19.【答案】AC=PB

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

平行四边形的对角线互相平分

【解析】解：(1)如图，图形如图所示：

(2)连接PB，PC．

∵PC=AB，AC=PB，

∴四边形ABPC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．

∴DB=DC(平行四边形的对角线互相平分)．

故答案为：AB=PB，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．

(1)根据要求作出图形即可．

(2)利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．

本题考查作图-基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

20.【答案】50

20

12

【解析】解：(1)本次调查随机抽取了学生：21÷42%=50(名)，

m=50×40%=20，

n%=6÷50×100%=12%，

∴n=12，

故答案为：50，20，12；

(2)等级为“良好”的学生有：50-21-6-3=20(人)，

补全的条形统计图如下；

(3)3000×(42%+40%)

=2000×82%

=2460(人)，

即估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有2460人．

(1)根据等级为优秀的频数和频率可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出m、n的值；

(2)根据(1)中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出等级为良好的人数，从而可以将条形统计图补充完整；

(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．

本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD/​/BC，

∴∠DAC=∠BCA，

∵∠BAC=∠DAC，

∴∠BAC=∠BCA，

∴AB=BC；

(2)解：连接BD交AC于O，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=23，OB=OD=12BD，

∴OB=42-(2【解析】(1)根据平行四边形的性质得出AD/​/BC，根据平行线的性质得出∠DAC=∠BCA，求出∠BAC=∠BCA即可；

(2)求出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理求出BO，求出BD，根据面积公式求出即可．

本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．

22.【答案】解：(1)设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，

依题意得：x+3y=602x+2y=80，

解得：x=30y=10．

答：甲种奖品的单价为30元/件，乙种奖品的单价为10元/件．

(2)设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品(50-m)件，

依题意得：m≥50-m，

解得：m≥25．

设购买两种奖品的总费用为w元，则w=30m+10(50-m)=20m+500，

∵20>0，

∴w随m值的增大而增大，

∴当m=25时，w取得最小值，最小值=20×25+500=1000，此时50-m=50-25=25．

∴当学校购买25件甲种奖品、25件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是【解析】(1)设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，利用总价=单价×数量，结合“1件甲种奖品和3件乙种奖品共需60元，2件甲种奖品和2件乙种奖品共需80元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品(50-m)件，根据购进甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设购买两种奖品的总费用为w元，利用总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．

23.【答案】(1)证明：∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵OC=OD，OA=OB，

∴OA+OC=OB+OD，即AC=BD，

在△ABC和△BAD中，

AC=BD∠CAB=∠DBAAB=BA，

∴△ABC≌△BAD(SAS)；

(2)解：由(1)得：△ABC≌△BAD，

∴∠D=∠C=90°，

在Rt△DBA中，∠DBA=30°，AD=23，

∴AB=2AD=43，

由勾股定理得，BD=AB2-AD2【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，利用SAS公理证明△ABC≌△BAD；

(2)根据含30°角的直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式计算即可．

本题考查的是三角形全等的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

24.【答案】2

0

4

【解析】解：(1)①当x=-1时，则y=max{2,-4}=2；

②当x=1时，则函数y=max{0,0}=0；

③当x=3时，则函数y=max{-2,4}=4；

故答案为：2；0；4；

(2)函数y=max{-x+1,2x-2}的解析式为：y=-x+1(x≤1)2x-2(x>1)；

(3)∵函数y=kx+1(k为常数，且0<k<2)与函数y=max{-x+1,2x-2