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文档简介

线性代数

linearalgebra第七章第一节行列式一、行列式的概念和计算二、行列式的性质和计算一、行列式的概念和计算用消元法解二元线性方程组方程组的解为由方程组的四个系数确定.上述公式不易记忆,为此引进记号

由四个数排成二(横)行、二(竖)列,故称为二阶行列式.对角线法则二阶行列式的计算主对角线副对角线对于二元线性方程组系数行列式二元线性方程组的解为注意

:

分母都为原方程组的系数行列式.例7-1解二元一次方程组解:称为三阶行列式.对排成三行三列的式子引进记号(1)沙路法三阶行列式的计算

注意:

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明1

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(2)对角线法则

如果三元线性方程组的系数行列式

利用三阶行列式求解三元线性方程组

2.

三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.则三元线性方程组的解为:例7-2

解:按对角线法则，有例7-3

解线性方程组解:由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为:

定义7-1由个数排成行列,并左右两边各加一竖线,即称为阶行列式.当时,当时,其中

称为的代数余子式,为余子式.

是由阶行列式划去所在的第1行第列后留下的阶行列式.例如,四阶行列式中元素的余子式和代数余子式分别为例7-4按定义7-1计算行列式解:按第1行展开例7-5证明下三角行列式证明:按第1行展开

主对角线以上(下)元素全为0的行列式称为下(上)三角行列式.由于零元素集中,通常将零元素省略不写.例7-6计算四阶行列式解:按第1行展开二、行列式的性质和计算1.行列式的性质则行列式称为行列式的转置行列式.

性质1

行列式与它的转置行列式相等.若由性质1可知,行列式对行成立的性质对列也成立.例7-7计算上三角行列式解:由性质1可知,而为下三角行列式,由例7-6可得.性质2

行列式的两行(列)互换,则行列式反号.

性质3

行列式一行（列）的公因子可以提出来:例7-8计算五阶反对称行列式(中元素满足解:因为性质1性质3所以性质4

一行(列)元素全为零的行列式,其值为零.性质5

两行(列)完全相同的行列式,其值为零.证明:把这两行(列)互换,由性质2,有,故.性质6

两行(列)元素对应成比例的行列式,其值为零.

性质7若行列式的某行(列)所有元素都是两数之和,则该行列式等于两个同阶行列式之和:

性质8把行列式某行(列)乘以同一常数后加到另一行(列)上去，行列式的值不变．2.行列式的计算定理7-1行列式可以按第行展开也可以按第列展开行列式的计算方法(1)按行(列)展开.(2)化为上(下)三角行列式.例7-9计算解法1:解法2:例7-10

计算

解:这个行列式的特点是各行4个数之和都是6，今把第2，3，4列同时加到第一列，提出公因子6，然后各行减去第一行.

证明:用数学归纳法例7-11

证明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1阶范德蒙德行列式有

定理7-2

行列式中任一行(列)的元素乘以另外一行(列)的对应元素的代数余子式之和等于零,即

综合定理7-1和定理

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