《医用高等数学》课件 4.1-4.2 多元函数

第四章多元函数微积分第四章多元函数微积分理解二元函数(functionoftwovariables)的概念、连续、间断点与极限；熟练掌握求二元函数的一、二阶偏导数(partialderivative)及全微分熟练掌握求二元函数的无条件极值理解二重积分(doubleintegrals)的概念.熟练掌握在直角坐标、极坐标系下计算二重积分二次曲面、条件极值、最小二乘法和二重积分在物理学中的应用不要求

第1节多元函数

了解空间直角坐标系理解二元函数的概念、连续、间断点、极限掌握平面区域的表示法横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手法则一、空间直角坐标系Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点轴X上点P轴Y上点Q轴Z上点R空间的点M向量的坐标式空间两点间的距离空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为

曲面方程（EquationsforaSurface)：

定义：在空间直角坐标系下，设有曲面S与三元方程

则称方程F(x,y,z)=0为曲面S的方程。1）曲面S

上任一点M(x,y,z)的坐标均满足F(x,y,z)=0;方程曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形。2）不在曲面S上的点的坐标均不满足方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0,若满足解：设M(x,y,z)为球面上的任意一点，则例2设有点解：设M(x,y,z)为中垂面面上的任意一点，例1建立球心在点半径为R的球面方程。求线段AB的垂直平分面.柱面

定曲线C为柱面的准线定义平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为柱面.动直线L为柱面的母线柱面方程

xyz0平面方程平面方程空间曲线空间直线二、多元函数基本概念

例1理想气体的体积V与温度T成正比，而与压强P成反比，它们之间的关系，由下面的公式给出（其中R是比例常数）

例2三角形的面积A依赖于三角形的两条边b和c,以及这两边的夹角C，它们之间的关系，由下面的公式给出这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系。一元函数的定义设数集

,则称映射f：为定义在D上的函数(function).记为:变量x

称为自变量(independentvariable);变量y

称为因变量(dependentvariable);因变量与自变量间的依赖关系称为函数关系;类似地可定义三元及三元以上函数．二元函数的定义

定义域自变量因变量邻域邻域区域区域例平面点集E区域设D是开集，如果对于D内任何两点，都可用属于D内的折线连接起来，则称开集是连通的。连通的开集称为区域或开区域。开区域连同它的边界一起，称为闭区域区域对于平面点集E，如果存在某一正数r，例1

求的定义域解所求定义域为例2

求的定义域。解所求定义域为用不等式表示区域

二元函数的图形y=f(x)是平面上的一条曲线。说明：二元函数的图形通常是一张曲面.例如0xz

yD半球面一元函数的极限描述性定义:当自变量x以任意方式无限地趋近于时,若函数f(x)无限地趋近于一个常数A,则称:当时,函数f(x)以A为极限.记为:三、二元函数的极限与连续1.二元函数的极限注意：（2）定义中的方式是任意的；（3）二元函数的极限也叫二重极限（1）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限不同于二次极限例1

求极限解其中多元函数的极限可以应用一元函数求极限的法则例2证明不存在．证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．一元函数连续的定义2.二元函数的连续性1）定义2)间断点函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：例3讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．多元初等函数：由常数和含有多个自变量的基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的函数叫多元初等函数多元初等函数在其定义区域是连续的．初等函数:例4解例5解baf(b)Cf(x)f(a)闭区间上连续函数的性质

bf(x)aabyx二元函数连续性性质有限个连续函数的和、差、积仍是连续函数在分母不为零处，连续函数的商还是连续函数连续函数的复合函数也是连续函数二元初等函数在其定义区域内连续在有界闭区域D上连续的二元函数，在D上一定能取到最大值和最小值；（最值定理）在有界闭区域D上连续的二元函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任意值至少一次(介值定理)可以推广到n元函数思考判断题不能。无数条不能代表任意方式

第1节多元函数小结

空间直角坐标系二元函数的概念、连续、间断点、极限平面区域的表示法相关习题：习题4：1～5.第2节偏导数与全微分(Partialderivative&totaldifferentiation)

目的与要求理解偏导数的概念与几何意义熟练掌握求二元函数的一、二阶偏导数理解全微分的概念并会求二元函数的全微分一元函数导数的定义

问题的提出一元函数的导数定义为函数增量与自变量增量的比值的极限，它刻画了函数对于自变量的变化率。对于多元函数来说，虽然自变量的个数增多了，我们仍然可以考虑函数对某一个自变量的变化率，亦即其中一个自变量发生变化，而其余自变量都保持不变的情形下，考虑函数对于该自变量的变化率。

比如：一定量理想气体的体积V，压强P与绝对温度T之间存在着某种联系，我们可以在等温条件下，考察体积对于压强的变化率。

多元函数对某一个自变量的变化率引出了多元函数的偏导数概念一、偏导数的定义及其计算法偏导数的概念可以推广到二元以上函数如三元函数在处解解证解例4求的偏导数将y和z都看作常量，对变量x求导数，得根据自变量x,y,z在表达式中的对称性，立即写出已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)

求证

;

偏导数的记号是一个整体记号

不能看作分子分母之商解：一元函数导数的几何意义二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义如图几何意义:混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.三、高阶偏导数

(Partialderivativesofhigherorder)

纯偏导解结论：混合偏导数并不都是相等的.一元函数的微分

全增量的概念在许多实际问题中，我们需要研究函数形如例如：已知矩形的边长和由变为，研究矩形面积S的全增量解：四、全微分

(Totaldifferential)线性主部无穷小量

全微分的定义

可微的条件证明总成立,同理可得记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数

通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．叠加原理也适用于二元以上函数的情况．对x的偏微分对y的偏微分一元函数在某点的导数存在