《医用高等数学》课件 7.4 线性方程组

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第七章第四节线性方程组若系数行列式

定理7-13(克拉默法则)

含有元个方程的线性方程组那么此线性方程组有唯一解例7-33解线性方程组解:

上述克拉默法则只适于求变量个数与方程个数相等的线性方程组,且须满足系数行列式的条件.在实际中,常会遇到不满足上述条件的线性方程组.下面简要介绍有关线性方程求解的基本知识.从现在起,我们将元线性方程组记为其中A为矩阵,为矩阵,为矩阵.当方程组中常数项全为零时,则方程化为

称为齐次线性方程组;当时,称为非齐次线性方程组.只证明(1)由定理7-5,存在.因此方程只能有唯一解.定理7-14(1)当时,方程组只有零解;(2)

当时,方程组除具有零解外,还有无数多个解.例7-34当为何值时,齐次线性方程组有非零解?当有非零解时,求它的解.解:

当时,齐次线性方程组有非零解,并且从阶梯矩阵知齐次线性方程组解为

其中为自由元,取为不为零的任意数,即可得到不同的非零解.,则是齐次方程组当自由元时特解;该齐次线性方程的通解可用向量表示为(为任意常数)

注意:用消元法解线性方程组时,只能对矩阵作初等行变换,而不能作列变换.

定义7-23阶矩阵称为非齐次线性方程组的增广矩阵.

定理7-15(1)当时,非齐次线性方程组无解;(2)当时,非齐次线性方程组有唯一解;(3)当时,非齐次线性方程组有无穷多解.例7-35取何值时

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