（人教A版）选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习 专题30 分布列归类（解析版）

第页专题30分布列归类目录TOC\o"1-1"\h\u【题型一】两点分布 1【题型二】二项分布 4【题型三】几何分布 6【题型四】超几何分布 9【题型五】正态分布 13【题型六】分布列综合应用 15培优第一阶——基础过关练 19培优第二阶——能力提升练 22培优第三阶——培优拔尖练 24【题型一】两点分布【典例分析】已知随机变量满足，，且，．若，则（

）．A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】B【分析】根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由可得,根据方差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果.【详解】由题知变量，的分布列均为两点分布．变量，的分布列如下：0101则，，，，由，因为，，函数在上单调递增，所以.故选:B．【提分秘籍】基本规律两点分布（又称0，1分布）011-=，=【变式训练】1.若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量服从两点分布，其中，，，，在A中，，故A正确；在B中，，故B正确；在C中，，故C错误；在D中，，故D错误．故选：AB．2.若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差.【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以，，所以，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D不正确.故选：ABC3.已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.【详解】随机变量满足,,其中.则随机变量的分布列为:所以随机变量,所以当时,,当时,所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):则当即,解得.所以A、B错误.恒成立.所以C错误,D正确故选:D【题型二】二项分布【典例分析】在n次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然，，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．据此，若随机变量X服从二项分布时，且相应的“几何分布”的数学期望，则n的最小值为（

）A．6 B．18 C．36 D．37【答案】D【分析】根据二项分布和“几何分布”的定义，列不等式求解.【详解】由题可知，，，，因为，所以，解得，所以n的最小值为37.故选：D.【提分秘籍】基本规律二项分布（1）伯努利试验：我们把只包含两个_可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验重复进行n次所组成的随机试验称为_n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有共同特征：同一个伯努利试验重复做n次，且各次试验的结果相互独立.（2）二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～_，且有，.注：①n次独立重复试验中恰好发生k次的概率与第k次才发生的概率计算公式分别是与.（3）二项分布的增减性与最大值记，则当时，，pk递增；当时，，递减.故最大值在时取得（此时，两项均为最大值；若非整数，则k取的整数部分时，最大且唯一）.【变式训练】1.已知随机变量X服从二项分布，若，则等于（

）A． B．8 C．12 D．24【答案】D【分析】根据二项分布的数学期望和方差公式，再结合数学期望和方差性质求解即可.【详解】随机变量X服从二项分布，，因为，所以.因为，所以.故选：D2.若随机变量X服从两点分布，且成功概率为0.7；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据二点分布及二项分布的性质求解即可.【详解】由二点分布与二项分布的概率、期望、方差公式可知，，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B3.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家､物理学家拉普拉斯在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此，人们把这个结论称为棣莫弗一拉普拉斯极限定理.现拋掷一枚质地均匀的硬币900次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为（

）附：若，则，A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，求出，再结合正态分布的对称性，即可求解【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币900次，设硬币正面向上次数为，则，由题意，，且，因为，即，所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于420次的概率为.故选：A.【题型三】几何分布【典例分析】春节期间某网络支付平台开展集“福”字活动：共有5种不同的“福”字电子卡，每完成一笔网络支付交易就能随机获赠一张“福”字卡，集齐5张不同的“福”字卡即可获奖．某网购平台上购买一袋脆干面，内随赠一张水浒传一百单八将的好汉卡，集齐完整一套好汉卡将获得生产商颁发的大奖（好汉卡一套共108张，每张上画有一将，每将都有很多张）．（1）若每完成一笔网络支付交易获赠每种“福”字卡的可能性相同．①求获得第二种“福”字卡的概率；②平均要完成多少笔交易才能集齐5个不同的“福”字卡？（2）如果购买一袋脆干面随赠一张一百单八将的好汉卡中每一张的可能性是一样的，那么平均要购买多少袋脆干面才能获得生产商颁发的大奖？（结果保留到整数）参考信息：①．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在独立重复试验中，某事件第1次发生时所作试验的次数的概率分本，称服从几何分布，记作；的数学期望；②．若干个相互独立、且是按先后次序依次连续发生的随机变量之和的数学期望等于这些随机变量数学期望的之和；③．，．【答案】（1）①，②12；（2）568.【分析】首先，分析确定独立重复试验的随机变量为抽取到所有n种不同卡完成事务的总次数，而它们的概率分别为，则，由，即可求抽取到所有n种不同卡完成事务的总次数.【详解】（1）由题意知：5种福卡获赠的概率均为.第一次所获福卡1，则后续获除福卡1外其它福卡的概率为；若获得福卡2，则后续获除福卡1、2外其它福卡的概率为；若获得福卡3，则后续获除福卡1、2、3外其它福卡的概率为；若获得福卡4，则后续获除福卡1、2、3、4外的福卡的概率为；①由上知：获得第二种福卡的概率为；②若表示抽到5种不同福卡所完成的交易数，则为获得第张不同福卡后，重计交易次数直到获得第张不同福卡，所以集齐5个不同的“福”字卡所需的总交易次数为，其中，∴由题意，，，，，∴，而，∴平均至少要完成12笔交易才能集齐5个不同的“福”字卡.（2）同（1），若表示抽到108种不同好汉卡所购买的次数，则为获得第张不同好汉卡后，重计交易次数直到获得第张不同好汉卡，所以集齐108个不同好汉卡所需的总购买次数为，其中，当抽到第张不同好汉卡后，后续获得第张不同好汉卡的概率为，∴，所以平均要购买568袋脆干面才能获得生产商颁发的大奖.【提分秘籍】基本规律几何分布：若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中，在第次首次发生的概率为，，。【变式训练】1.几何分布（Geometricdistribution）是一种离散型概率分布，定义：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率，即前次失败，第k次成功的概率，因此实验次数k服从几何分布．现甲参加射击考核，甲每次命中的概率为0.68，考核通过的规则为命中即可获得“通过”，故考核通过的射击次数服从几何分布，若每次射击需要一发子弹，则甲至少需要申请______发子弹保证有98％的概率获得“通过”．（参考数据：）【答案】4【分析】设甲申请了发子弹，则能获得“通过”的概率，依题意可得，即，两边取对数可得，即可求出的取值范围，从而得解；【详解】解：设甲申请了发子弹，则能获得“通过”的概率，令，即，即，两边取以10为底的对数得，即，即，即，故．故答案为：2.在n次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然，，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．据此，若随机变量X服从二项分布时，且相应的“几何分布”的数学期望，则n的最小值为（

）A．6 B．18 C．36 D．37【答案】D【分析】根据二项分布和“几何分布”的定义，列不等式求解.【详解】由题可知，，，，因为，所以，解得，所以n的最小值为37.故选：D.【题型四】超几何分布【典例分析】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；（4）某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．【答案】答案见解析【分析】根据超几何分布的概念逐一判断即可.【详解】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．【提分秘籍】基本规律超几何分布总数为的两类物品，其中一类为件，从中取件恰含中的件，，其中为与的较小者，，称服从参数为的超几何分布，记作，此时有公式。【变式训练】1.写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？（1）X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数．（2）X2表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和．（3）有一批产品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件数为X3．（4）有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法抽n件，出现次品的件数为X4(N－M>n>0)．【答案】答案见解析．【分析】（1）由条件可知，写出二项分布列；（2）根据古典概型求概率；（3）因为是有放回，所以每此抽取，抽出次品的概率是，，写出二项分布列；（4）X4服从超几何分布，根据超几何分布求概率分布.【详解】【解】（1）X1的分布列为X1012…nP…X1服从二项分布，即X1～．（2）X2的分布列为X223456789101112P（3）X3的分布列为X3012…nP…X3服从二项分布，即X3～.(4)X4的分布列为X401…k…nP……X4服从超几何分布．2.．设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球．(1)记随机变量表示从甲盒取出的红球个数，求期望的值；(2)求从乙盒取出2个红球的概率．上海市南汇中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题【答案】(1)(2)【分析】（1）根据超几何分布概率求解；（2）根据甲盒任取2球放入乙盒的不同情况，分类讨论，利用超几何分布概率模型求解.【详解】（1）由题可知，随机变量可能的取值有，所以分布列如下：012所以.（2）(i)若，则此时甲盒取出来了2个白球放入乙盒，此时乙盒有6个白球，1个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为0；(ii)若，则此时甲盒取出来了1个白球，1个红球放入乙盒，此时乙盒有5个白球，2个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；(iii)若，则此时甲盒取出来了2个红球放入乙盒，此时乙盒有4个白球，3个红球，所以从乙盒取出2个红球的概率为；所以从乙盒取出2个红球的概率为.3.2018年茂名市举办“好心杯”少年美术书法作品比赛，某赛区收到200件参赛作品，为了解作品质量，现从这些作品中随机抽取12件作品进行试评.成绩如下：67,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.（1）求该样本的中位数和方差；（2）若把成绩不低于85分（含85分）的作品认为为优秀作品，现在从这12件作品中任意抽取3件，求抽到优秀作品的件数的分布列和期望.【答案】（1）中位数为81.5，方差为98.83（2）详见解析【分析】（1）把样本数据排序后可得中位数，计算样本数据的平均数再利用公式计算其方差.（2）利用超几何分布可求优秀作品的件数的分布列和期望.【详解】（1）样本数据按顺序为59，67,73,76,78,81,82,84,85,86,93,96.数据的中位数为：平均数为

方差为（2）设抽到优秀作品的个数为，则的可能值为0,1，2,3所以的分布列为：0123期望为【题型五】正态分布【典例分析】设，，这两个正态分布曲线如图所示，下列结论中正确的是（

）A．B．C．对任意正数t，D．对任意正数t，【答案】C【分析】直接由正态密度曲线得到，，再依次判断4个选项即可.【详解】由图象可知：，所以，A错误；的正态密度曲线较的“瘦高”，故，所以，B错误；由图象知，对任意正数t，，，C正确，D错误.故选：C.【提分秘籍】基本规律正态分布（1）若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为，（其中是参数，且，）。其图像如图13-7所示，有以下性质：=1\*GB3①曲线在轴上方，并且关于直线对称；=2\*GB3②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；=3\*GB3③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”；=4\*GB3④图像与轴之间的面积为1.（2）=，=，记作.当时，服从标准正态分布，记作.（3），则在，，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。【变式训练】1.某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（

）A．5 B．10 C．20 D．30【答案】D【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数.【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称，则，所以，所以的学生人数为：人.故选：D.2.已知随机变量服从正态分布，则与的值分别为（

）A．13

18 B．13

6 C．7

18 D．7

6【答案】C【分析】根据正态分布中的参数含义，结合均值和方差的性质即可求解.【详解】由随机变量服从正态分布可知,所以故选:C4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：），则下列说法错误的是（

）A．该校学生每周平均阅读时间为B．该校学生每周阅读时间的标准差为C．若该校有名学生，则每周阅读时间在的人数约为D．该校学生每周阅读时间不低于的人数约占【答案】C【分析】根据正态分布的特点可得A,B选项的正误，根据的数据可得C,D选项的正误.【详解】由知平均阅读时间为，标准差为，所以A,B正确；因为，，每周阅读时间在的人数约占，人数约为，所以C错误；该校学生每周阅读时间低于小时的人数约占，D正确；故选：C.【题型六】分布列综合应用【典例分析】为了更好地做好个人卫生，某市卫生组织对该市市民进行了网络试卷竞答，制定奖励规则如下：试卷满分为100分，成绩在分内的市民获二等奖，成绩在分内的市民获一等奖，其他成绩不得奖．随机抽取了50名市民的答题成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．(1)现从该样本中随机抽取2名市民的成绩，求这2名市民中恰有1名市民获奖的概率．(2)若该市所有市民的答题成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该市某小区有3000名市民参加了试卷竞答，试估计成绩不低于93分的市民数（结果四舍五入到整数）；②若从该市所有参加了试卷竞答的市民中（参加试卷竞答市民数大于300000）随机抽取4名市民进行座谈，设其中竞答成绩不低于69分的市民数为，求随机变量的分布列和数学期望．附：若随机变量X服从正态分布，则，，．【答案】(1)(2)①该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68；②分布列见解析，2【分析】（1）先根据频率分布直方图求出抽取的50名市民中有8人获奖，42人没有获奖，再利用组合知识求出古典概型的概率；（2）①计算出样本平均数的估计值，得到X近似服从正态分布，利用原则，求出特殊区间的概率和对应的市民数；②求出，得到分布列，计算出期望值.【详解】（1）由样本频率分布直方图，得样本中获一等奖的有（人），获二等奖的有（人），所以有8人获奖，42人没有获奖．从该样本中随机抽取2名市民的成绩，样本点总数为．设抽取的2名市民中恰有1名市民获奖为事件A，则事件A包含的样本点的个数为．由古典概型概率计算公式，得，所以抽取的2名市民中恰有1名市民获奖的概率为．（2）由样本频率分布直方图，得样本平均数的估计值．故该市所有参加试卷竞答的市民成绩X近似服从正态分布．①因为，所以．，故该市某小区参加试卷竞答成绩不低于93分的市民数约为68．②由，得，即从该市所有参加试卷竞答的市民中随机抽取1名市民，其成绩不低于69分的概率为，所以随机变量．随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4．，，，，，随机变量的分布列如下：01234P所以．【变式训练】1.宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为.(1)求n的值；(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)4(2)分布列见解析，【分析】（1）根据古典概型计算公式可得，即可解得；（2）易知随机变量X的可能取值，利用超几何分布可求得其对应概率即可得分布列和期望值.【详解】（1）由题知，共有个机房，抽取2个机房有种方法，其中全是小机房有种方法，因此全是小机房的概率为，解得.即n的值为4.（2）X的可能取值为0，1，2，3.，，，.则随机变量X的分布列为X0123P则X的数学期望.2.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可；（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可.【详解】（1）解：由题意得：设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．；（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．，，，．应聘者乙正确完成题数的分布列为3.端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列详见解析，数学期望为【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案.（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望.【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.（2）的可能取值为，则，，，所以的分布列如下：所以.分阶培优练分阶培优练培优第一阶——基础过关练1．已知正态分布的密度函数，，以下关于正态曲线的说法错误的是（

）A．曲线与x轴之间的面积为1B．曲线在处达到峰值C．当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移D．当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“矮胖”【答案】D【分析】利用正态分布的密度曲线的性质，逐项分析判断作答.【详解】因正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1，则A正确；因，有，因此，当且仅当时取“=”，即曲线在处达到峰值，B正确；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，C正确；当一定时，曲线的形状由确定，越小，峰值越高，正态曲线越“瘦高”，D错误.故选：D2．若随机变量的分布列如表，则的值为（

）1234A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得：可得，利用对立事件求解．【详解】根据题意可得：故选：C．3．已知某随机变量的概率分布列如表，其中，，则随机变量的数学期望____．123【答案】2【分析】根据分布列的性质以及期望的计算公式即可求解.【详解】由题意，，即故答案为：24．若随机变量X的分布列为则X的数学期望为______________．X－1245P0.20.350.250.2【答案】##【分析】根据期望公式计算即可.【详解】.故答案为：.5．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值；(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)；平均分为分(2)分布列答案见解析，期望为1【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；（2）根据二项分布概率公式计算列的分布列，数学期望计算即可.【详解】（1）由频率分布直方图知，，由，解得，（分）.（2）评分在90分以上的频率为，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，,的所有可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列为：01234.培优第二阶——能力提升练1．袋子中有6个白球，8个黑球，现从袋子里有放回地取7次球，用表示取到白球的个数，则（

）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】求出一次摸到白球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布的期望公式即可得解.【详解】每次摸到白球的概率为，因为是有放回地取7次球，所以，所以.故选：C.2．小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是，小智连续两盘都获胜的概率是，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，根据题意可得出、，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记事件小智第一盘获胜，事件小智第二盘获胜，则，，因此，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是.故选：B.3．北京市某银行营业点在银行大厅悬挂着不同营业时间段服务窗口个数的提示牌，如图所示．设某人到达银行的时间是随机的，记其到达银行时服务窗口的个数为X，则______.【答案】##【分析】列出随机变量的分布列求解.【详解】由题意银行营业时长为8小时，可得到达银行时服务窗口的个数X的分布列为X54342P则.故答案为：4．2021年11月27日奥密克戎毒株输入我国香港，某医院委派甲、乙、丙、丁四名医生前往三个小区做好防疫工作，每个小区至少委派一名医生，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的概率为____．【答案】【分析】根据分组分配利用排列组合计算个数，结合条件概率的计算公式即可求解.【详解】记事件为“甲派往小区”，事件为“乙派往小区”，则若A小区分配甲一个人，则有，若A小区分配甲以及另一个人一起，则有,故事件包含的基本事件个数为，在甲派往小区的条件下，乙派往小区的情况为：①只有甲派往小区，只有乙派往小区，另外两个人去C小区，则有1种情况，②从丙丁中选一个人连同甲一起派往小区，只有乙派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，③从丙丁中选一个人连同乙一起派往小区，只有甲派往小区，剩下一个人去C小区，则有种情况，,故答案为：5．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：(2)分布列答案见解析，数学期望：(3)答案见解析【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的所有可能取值为，则，所以的分布列为012所以的数学期望为.（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，则，，，所以的分布列为012所以的数学期望为.（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.培优第三阶——培优拔尖练1．已知随机变量的分布列为：xyPyx则下列说法正确的是（

）A．存在x，， B．对任意x，，C．对任意x，， D．存在x，，【答案】C【分析】对A、B：根据期望的计算公式结合二次函数分析运算；对C：先求，利用作差法比较大小；对D：换元令，结合二次函数求的取值范围.【详解】由题意可得：，且，即，对A、B：由题意可得：，∵开口向下，对称轴，，则，故，即，不存在x，，，A错误；例如，则，即存在x，，，B错误；对C：，则，故对任意x，，则，C正确；对D：令，则开口向下，对称轴，且，故，即，不存在x，，，D错误；故选：C.2．过正态分布曲线上非顶点的一点作切线，若切线与曲线仅有一个交点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可得正态函数二次求导之后在处的导数为，计算可得答案.【详解】因为正态分布曲线在拐点处切线穿过曲线，与曲线有且仅有一个交点令即故选：A3．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时，____________．【答案】17.8##【分析】首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出.【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布，最大时，即最大，超几何分布最大项问题，利用比值求最大项设则令故当时，严格增加，当时，严格下降，即时取最大值，此题中，根据超几何分布的期望公式可得，故答案为：17.84．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则___________.【答案】8【分析】方法一：根据古典概型性质，先计算出某一情况下取球方法数的总数，在列举出第三次取球为白球的情形以及对应的取法数，根据古典概型计算概率，最后逐一将所有情况累加即可得出总概率，最后即可得到答案.【详解】方法一：设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为，第三次取出的是白球的取法有如下四种情形：白白白，取法数为：红白白，取法数为：白红白，取法数为：红红白：取法数为：所以第三次取出的是白球的总情形数为：则在第k个袋子中取出的是白球的概率为：，因为选取第k个袋的概率为，故任选袋子取第三个球是白球的概率为：当时，.故答案为:8．方法二：设“取出第个袋子”，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”，则，且，，，两两互斥，，，，所以，所以，，即，解得：.故答案为：．【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题根据题意首先分类讨论不同k值情况下的抽取总数(可直接用k值表示一般情况)再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)最后即可计算得出含k的概率一般式，累加即可.累加过程中注意式中n与k的关系可简化累加步骤.5．某商场计