【《量子力学基本原理分析概述》2600字】

量子力学基本原理分析概述量子信息的物理依据是量子力学。在微观世界中，量子具有一些特殊的性质REF_Ref68609212\r\h[1]REF_Ref68610365\r\h[64]，并通过数学工具进行了严密的推导REF_Ref68618045\r\h[65]REF_Ref68618089\r\h[66]。在这一小节我们简单介绍量子力学的一些相关定理。酉变换与密度矩阵系统的态的空间也被叫做希尔伯特（Hilbert）向量空间，是指拥有内积的复杂向量的空间。作为最简单的量子系统，每个量子比特都可以表示为一个两个维度上的量子态矢量空间。假设该矢量空间的正交基为和，那么任何一个量子比特都能够被写为： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s11）其中存在的归一化的条件。在没有经过测量时，一个量子比特时刻居于和的叠加。而当该量子比特被测量后，它坍塌为态的概率为，坍塌为态的概率为。只有经过测量，才可以获知量子态的准确状态。我们一般用酉变换来刻画量子系统的演化过程。酉变换是一种线性变换，又被称作幺正变换。物理系统的矢量随时间的变化过程通常由薛定谔方程来表示。即 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s14）其中，为普朗克常数。为量子系统的哈密顿算符，代表量子系统的总能量。为虚数，。假设在时间时的量子态为，在时间时的量子态为，那么可用一个只与和有关的酉换来刻画系统的演化过程。即 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s12）其中 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s13）上述酉变换描述了封闭的量子系统在两个不同时间的量子态是如何相关的。当量子系统为单个量子比特时，我们能够在现实中实现任意一个酉变换。我们通常使用密度算符来表示封闭且未知的量子系统。密度算符一般用矩阵描述，因此也被写为密度矩阵。如果一个量子系统可以用一组正交基来表示，可以称这个系统为纯态系统，用表示。与此相对应的是量子混合态，混合态是具有相应概率的各种纯态的集合。如果一个量子态处于纯态的若干态之一，分别具有概率。将称为纯态的集合。那么这个系统的量子态的密度矩阵可以用以下式子来描述： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s15）若一个量子系统的初始态为个具有概率的态。在进行酉变换之后该系统变为具有概率的态。如果用方程来描述量子系统的演化，则可以写作： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s16）如果量子系统的态是混合态的概率叠加，那么需要引入密度矩阵。密度矩阵描述了一个以概率为的态叠加形成的量子系统。设来自于纯态的集合，那么这个量子态的密度矩阵如下： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s17） 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s18）类似于上述，我们可以理解为处于纯态的概率是。海森堡不确定性原理不确定性原理的主要思想体现为在微观世界中，如果需要测量一个粒子，测量者永远做不到同时得到该粒子的位置和动量这二者的精确值。故也把这个定理叫做测不准原理。粒子的动量与它的波长有关，依据物质波公式，有： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s19）其中代表粒子动量，为光的波长。波速通常为光速。 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s110）由此可见，动量和频率成正比。由于光具有波粒二象性，光子会以概率波的方式呈正态分布。设粒子的位置表达式如下，起始位置为0，遵循正态分布原则。 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s111）将该位置分布表达式经过傅里叶变换后，获取到粒子的频域分布： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s112）从表达式中可以看到，粒子位置分布的方差越小，则粒子频域的方差一定越大，也就是说，粒子的位置和频率无法同时达到最小方差的值，由于频率和动量成正比，可利用傅里叶变换原理证得不确定性原理。假设对于一个粒子，用代表它的坐标的不确定性，代表它的动量的不确定性。它们之间的关系受到不等式的约束。即在测量微观粒子时，粒子的坐标测量越精准，那么与之对应，它的动量越不确定；反过来，粒子的动量测量越精准，其坐标越不确定。所以说，即便通过测量，人们也无法同步获知精确的坐标和动量。通过后续的研究可得，不仅是坐标和动量，时间和能量、方位角与动力矩等相对应的物理量也具有相关的不确定性定理。量子不可克隆定理量子具有不可克隆的特性，即不可以产生量子系统的几个完全相同的副本，这一点在文献REF_Ref68609176\r\h[3]中得到证实。如果量子可以克隆，那么可以产生同极化的克隆的光子，经过测量确定它的极化，由此实现超光速通信。但实际上量子是不可被克隆的，因此超光速通信是不可能实现的。如果一个光子极化态为，代表两个相同的光子，其中每个光子极化都为，和分别代表复制设备的初始态和最终态。 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s113）关于水平态和垂直态，同样具有和。在量子力学中，这种变换可以使用酉算子来描述，设光子为线性组合，那么它与设备的相互作用可以用以上两个方程式的叠加表示 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s114）如果与相同，那么即为，如果与不同，那么这两个光子为混合极化态。无论是哪种情况，最终结果都与我们所需要的两个分别量子态为的光子不同，因此我们无法通过复制的方式获得未知量子态的副本。由此可见，我们通过数学理论可以证明，量子具有不可克隆的特性。量子测量通过量子测量，可以得知得到每一种结果的概率分别是多少，和在经过测量之后量子的态的变化描述。由于量子系统在通过测量之后会发生坍缩现象，所以只能测量一次。测量是量子通信中极为关键的部分，一般用酉算子的集合来表示，其中索引是可能的测量结果。假设一个量子系统用表示，那么通过测量获得的概率为： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s115）测量之后，量子系统的态为。投影测量用一个可被观测到的厄密算符表示，也就是每个元素之间是互相正交的，它可以被分解为： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s116）为正交投影，为特征值。量子系统通过测量其结果为的概率为： 式（STYLEREF1\s2SEQ式（\*ARABIC\s117）测量之后系统的态为。投影测量可以用来测量正交的量子系统，如果测量量子态为，可以设置厄米算符为，，。其中符合完备性关系：和。POVM测量为正算符取值测度，用于测量非正交的量子态。若，则通过测量取得结果的概率为。为正算子POVM集合，并且满足。如果不需要知道量子系统经过测量之后量子态的演变，而只想获取到经过测量之后得到各种结果的概率，那么可以选择POVM测量。theChurch–Turingprincipleandtheuniversalquantumcomputer[J].ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondon.A.MathematicalandPhysicalSciences,1985,400(1818):97-117.王永利,徐秋亮.量子计算与量子密码的原理及研究进展综述[J].计算机研究与发展,2020,57(10):2015-2026.WoottersWK,ZurekWH.Asinglequantumcannotbecloned[J].Nature,1982,299(5886):802-803.AchuthanP,VenkatesanK.Generalprinciplesofquantummechanics[J].HandbuchderPhysik,1958,5(Part1).李科.关于量子信道容量的研究[D].中国科学技术大学,2009.陈小余.量子信道容量研究[D].浙江大学,2002.BennettCH,BrassardG,CrépeauC,etal.TeleportinganunknownquantumstateviadualclassicalandEinstein-Podolsky-Rosenchannels[J].Physicalreviewletters,1993,70(13):1895.HilleryM,BužekV,BerthiaumeA.Quantumsecretsharing[J].PhysicalReviewA,1999,59(3):1829.龙桂鲁,王川,李岩松,等.量子安全直接通信[J].中国科学:物理学力学天文学,2011,41:332-342.BennettCH,BrassardG.Quantumcryptography:Publickeydistributionandcointossing[J].arXivpreprintarXiv:2003.06557,2020.EkertAK.QuantumcryptographybasedonBell’stheorem[J].Physicalreviewletters,1991,67(6):661.BennettCH.Quantumcryptographyusinganytwononorthogonalstates[J].Physicalreviewletters,1992,68(21):3121.李冬芬,王瑞锦,张凤荔,等.噪声信道下量子隐形传态协议研究综述[J].电子科技大学学报,2018,47(1):73-79.BouwmeesterD,PanJ,MattleK,etal.Experimentalquantumteleportation[J].Nature,1997,390(6660):575-579.LloydS,ShapiroJH,WongFNC,etal.InfrastructureforthequantumInternet[J].ACMSIGCOMMComputerCommunicationReview,2004,34(5):9-20.龙桂鲁.量子安全直接通信原理与研究进展[J].信息通信技术与政策,2020(7):10-19.LongGL,LiuXS.Theoreticallyefficienthigh-capacityquantum-key-distributionscheme[J].PhysicalReviewA,2002,65(3):032302.DengFG,LongGL,LiuXS.Two-stepquantumdirectcommunicationprotocolusingtheEinstein-Podolsky-Rosenpairblock[J].PhysicalReviewA,2003,68(4):042317.DengFG,LongG