2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷数学5（解析版）

13/152025年秋季高二开学摸底考试模拟卷数学•全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（

）A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行C．模为1的向量都是相等向量D．向量的模可以比较大小【答案】D【分析】由向量的相关概念逐一判断即可.【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错；由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错；长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错；向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确.故选：D.2.复数是纯虚数，则实数的值为（

）A．0 B． C．3 D．0或3【答案】A【分析】利用纯虚数的定义列式求解.【详解】由是纯虚数，得，所以.故选：A3．在中，，．若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、的值，即可得解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，又，、不共线，所以，所以.故选：C4．已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可.【详解】，，，又，，，，，，，，则，故选：C．5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可【详解】因为，所以，且，所以，所以，所以．故选：C．6.在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（

）A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论.【详解】在中，，又，故．由余弦定理得，结合，得，解得，所以一定是等边三角形．故选：D．7.甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（

）A．0.4 B．0.6 C． D．0.76【答案】C【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可.【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件，则恰有一人破译密码为，而互斥，由互斥事件概率公式得，由题意得相互独立，相互独立，由独立事件概率公式得，，由题意得，，则，，得到，则恰有一人破译密码的概率为，故C正确.故选：C8.如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值．【详解】过点分别作交于点，交于点，连接，要想平面，则四边形为平行四边形，故，设，则，故，由勾股定理得，其中，当且仅当时，等号成立，故.故选：B.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在某次测量中得到的样本数据为6，7，9，13，13，18，若样本数据恰好是样本数据每个都减2后所得数据，则两个样本的下列数字特征对应相同的是（

）A．极差 B．众数 C．平均数 D．方差【答案】AD【分析】求出.B样本数据，然后分别求解极差判断A，根据众数的概念判断B，根据平均数的性质判断C，根据方差的含义判断D.【详解】由题意得B样本数据为4，5，7，11，11，16，样本A的极差为，样本B的极差为，极差相同，A正确．样本A的众数为13，样本B的众数为11，B错误．样本A的平均数比样本B的平均数大2，C错误．样本A和B中的数据的稳定性相同，则样本A和B的方差相同，D正确．故选：AD10.已知的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的有（

）A． B．若，则C．若，则 D．的最小值为【答案】ACD【分析】由，结合余弦定理，求得和，进而得到，再由正弦定理，得到，可判定A正确；由，求得，可判定B不正确；由，求得，所以，由正弦定理，求得，再由，结合面积公式，可判定C正确；由，求得，得到，结合基本不等式，可判定D正确.【详解】对于A中，由余弦定理得，因为，可得和，可得，又由正弦定理，可得，即，所以，所以A正确；对于B中，由，可得，解得，因为，所以或，所以B不正确；对于C中，由，且，可得，所以，因为，由正弦定理，可得，又由，所以的面积为，所以C正确；对于D中，由，可得可得，则，当且仅当时，即时，即，等号成立，所以D正确.故选：ACD.11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是（

）A．圆锥的侧面积为B．三棱锥体积的最大值为C．圆锥外接球体积为D．若，为线段上的动点，则的最小值为【答案】BCD【分析】代入圆锥的侧面积公式，判断A，根据点的位置，确定三棱锥体积的最大值，判断B，根据题中的条件，确定圆锥的外接球的球心和半径，判断C，翻折，使四点共面，即可确定的最小值.【详解】由条件可知，，圆锥的侧面积为，故A错误；B.当是的高时，此时的面积和三棱锥的体积最大，体积的最大值是，故B正确；C.因为，所以圆锥外接球的球心即为点，半径为，所以外接球的体积为，故C正确；D.若，则是等腰直角三角形，，，所以是等边三角形，如图，将沿翻折，使四点共面，此时三点共线时，的最小值是，中，，由余弦定理可知，，故D正确.故选：BCD第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．12.甲、乙二人共同参与一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，并可以获得200元奖金.已知甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同.已知.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊情况需要终止比赛.现将200元奖金按两人各自最终获胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得元.【答案】【分析】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜，根据二人在每局比赛中获胜的可能性相同，计算出他们最终获胜的概率，即可得甲应该分到的奖金数.【详解】由题意，如果比赛继续，乙要连赢三局才能获胜，因为甲、乙二人在每局比赛中获胜的可能性均相同，则乙连赢三局的概率为，甲获胜的概率为，所以甲应该分得奖金的，乙应该分得奖金的，所以元.故答案为：.13.如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为．【答案】【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答.【详解】在中，，即，又，即，因此，而点B，P，N共线，于是，解得.故答案为：14.已知，，且，，（1）；（2）.【答案】【分析】根据条件可得、，利用差角正切公式求得，即有，再应用和角正切公式求得，结合求角.【详解】因为，，所以，故，所以，所以，解得，所以，故，因为，所以，故，因为，所以.故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）若，，求的值．（2）已知，，，求的值．【答案】（1）（2）．【分析】（1）将已知两等式平方相加可求得的值；（2）利用同角的正余弦的平方关系求得，，进而利用可求值.【详解】（1）由，，可得，故，即，解得．（2）因为，所以．又．所以．因为，，所以．所以．16．（15分）已知向量满足，与的夹角为．(1)求的值；(2)已知，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据向量夹角公式，求出、和，进而求得的值；（2）根据向量运算的分配律展开，再结合已知条件得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围.【详解】（1）计算，可得.已知，则.可得.所以.又.根据向量夹角公式，可得.（2）根据向量运算的分配律展开：可得：将，，代入上式可得：求解不等式.移项可得，即.解得.即的取值范围为.17．（15分）某商场为了吸引顾客，规定购买一定价值的商品可以获得一次抽奖机会，奖品价值分别为10元、20元、30元、40元．已知甲抽到价值为10元、20元、30元、40元的奖品的概率分别为，且每次抽奖结果相互独立．(1)已知甲参与抽奖两次，求甲两次抽到的奖品价值不同的概率；(2)求甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，且获得的奖品价值总和不低于80元的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得甲两次抽到相同奖品的概率，利用对立事件的概率公式可求得甲两次抽到的奖品价值不同的概率；（2）先得甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品的所有情况，求得对应的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可.【详解】（1）记甲两次抽到相同奖品为事件，记甲在一次抽奖中抽到值为10元、20元、30元、40元分别为事件，则，，所以甲两次抽到的奖品价值不同的概率为；（2）甲参与抽奖三次，抽到两种不同价值的奖品，所以其中一种奖品抽到两次，另一种抽到一次.又获得的奖品价值总和不低于80元，故可能两次抽到40元，一次抽到30元或两次抽到40元，一次抽到20元或两次抽到40元，一次抽到10元或两次抽到30元，一次抽到40元或两次抽到30元，一次抽到20元或两次抽到20元，一次抽到40元，又两次抽到40元，一次抽到30元的概率，两次抽到40元，一次抽到20元的概率，两次抽到40元，一次抽到10元的概率，两次抽到30元，一次抽到40元的概率，两次抽到30元，一次抽到20元的概率，两次抽到20元，一次抽到40元的概率，所以获得的奖品价值总和不低于80元的概率为：.18．（17分）已知复数，其中是实数.(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，求【答案】(1).(2)【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出的值.（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答.【详解】（1）复数，则，又a是实数，因此，解得，所以实数a的值是.（2）复数，，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，，，，则，，，，，即有，，所以.19．（17分）如图，三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，，，分别为，的中点.(1)证明：平面；(2)求与平面所成角的余弦值；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）如图，易知，根据面面垂直的性质、线面垂直的性质可得，利用线面垂直的判定定理与性质可得，结合和线面垂直的判定定理即可证明；（2）如图，确定为与平面所成的角.在中，利用勾股定理和余弦定理计算即可求解；（3）由（1），根据线面垂直的性质与判定定理确定为二面角的平面角，利用等面积法和正弦定理计算即可求解.【详解】（1）取中点，连接.因为是等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.又因为，，、平面，所以平面，而平面，所以.因为为