（新高考）2022届高考数学考前冲刺卷（七）解析版

（新高考）2022届高考考前冲刺卷数学（七）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足，则（）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】令，则，且，所以，则，所以，可得，即，所以，故选C．2．已知函数，则（）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】D【解析】根据题意，，则，又，故选D．3．若直线与直线垂直，垂足为，则（）A． B．4 C． D．【答案】D【解析】因为与直线垂直，故，即，因为垂足为，故，故，故，故选D．4．设直线m，n方向向量分别记作，，，表示两个平面，若，，则“”是“”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，，时，直线与平面平行，所以当时，不成立，当时，因为，，所以，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．5．某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为（）(参考数据：，)A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】设至少需要过滤n次，则，即，∴，即，又，∴，∴使产品达到市场要求的过滤次数最少为8次，故选C．6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知底面外接圆的圆心为点，设外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径为，，，由余弦定理得，由正弦定理得，所以，过做垂直于底面的直线交中截面于点，则为外接球的球心，由题意得，所以外接球的表面积，故选C．7．已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：，，，设，，则在中，由余弦定理得，，化简得，该式可变成，，，故选B．8．若定义在上的函数满足：，且时，有，当时，的最大值、最小值分别为，则的值为（）A．2018 B．2019 C．4036 D．4038【答案】C【解析】由题意得，对于任意的，，都有，令，得，再令，将代入可得，即得，不妨设，则，，，又，可得，即函数在R上递增，故当时，，，又由，可得，的值为4036，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．学校为了了解本校学生上学的交通方式，在全校范围内进行了随机调查，将学生上学的交通方式归为四类方式：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并把收集的数据整理分别绘制成柱形图和扇形图，下面的柱形图和扇形图只给出了部分统计信息，则根据图中信息，下列说法正确的是（）A．扇形图中D的占比最小B．柱形图中A和C一样高C．无法计算扇形图中A的占比D．估计该校学生上学交通方式为A或C的人数占学生总人数的一半【答案】ABD【解析】对于A：由扇形图可得，D的占比最小，故A正确；对于B：因为D的人数为18，且D占比为，所以总人数为人，所以A组人数为，所以柱形图中A和C一样高，故B正确；对于C：由（2）可得，A组30人，占比为，故C错误；对于D：A或C的人数和为60人，总人数为120，占学生总人数的一半，故D正确，故选ABD．10．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（）A．，，有两解 B．，，有一解C．，，有一解 D．，，有一解【答案】CD【解析】A选项，由正弦定理得，，有唯一解，A选项错误；B选项，由正弦定理得，，，而，，所以有两解，B选项错误；C选项，，，，是直角三角形，有一解，C选项正确；D选项，由于为钝角，，所以有一解，D选项正确，故选CD．11．如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD，BC交于点F，H，设，，则（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，设，，则，，，，，．又F为的重心，则，直线AG的方程为，直线BC的方程为，联立解得，则，，，，因为，，所以，，，，故选ACD．12．在数列中，对于任意的都有，且，则下列结论正确的是（）A．对于任意的，都有B．对于任意的，数列不可能为常数列C．若，则数列为递增数列D．若，则当时，【答案】ACD【解析】A：由，对有，则，即任意都有，正确；B：由，若为常数列且，则满足，错误；C：由且，当时，，此时且，数列递增；当时，，此时，数列递减；所以时，数列为递增数列，正确；D：由C分析知：时，且数列递减，即时，，正确，故选ACD．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知，．若，则________．【答案】【解析】因为，所以，解之得，故答案为．14．某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长8%，则2026年的利润是__________万元．（结果精确到1万元）【答案】147【解析】由题意可知，(万元)，即2026年的利润大约是147万元，故答案为147．15．已知函数，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________．【答案】【解析】由题意，令，，得，，∴的第2个、第3个正零点分别为，，∴，解得，令，，∴，，令，在上单调递增，∴，∴，解得，综上，ω的取值范围是，故答案为．16．已知函数，其中．若，则有_________个零点；若有两个零点，则实数的值构成的集合是__________．【答案】，（或）【解析】由，的图象可知，在第二象限必有一个交点，即方程有一个负根，又时，，的图象交于，两点，所以时，函数有个不同的零点．令，即（其中），由，的图象可知，它们在第二象限必有一个交点，即函数必有一个小于的零点；当时，对两边取对数，得，所以有一个根，即的图象与直线一个公共点，令，则，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，当的值趋近于时，的值趋近于．当时，，当时，．函数的图象如下：则或，即或（不符合题意），所以实数的值构成的集合是，故答案为，．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，内角的对边分别为，已知．（1）求角A的大小；（2）若的面积为，且，求的周长．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，即，，，又，故．（2）由（1）知，，，，，，，故，的周长为．18．（12分）已知数列，，，，数列的前n项和为，．（1）求的值和数列的通项公式；（2）令，求．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意得①，由，，得，当时，或（舍），．当时，②，①－②得，即，由于，所以，整理得（常数），由于，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，故，所以．（2）由（1）得，所以，故．19．（12分）2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办．为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A､B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；②每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分．已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为，答对B难度问题的概率为，且每轮答题互不影响．（1）若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；（2）若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为．【解析】（1）他最终得分为10分，则3轮比赛中有且仅有1轮比赛答对A难度问题，故所求概率为．（2）依题意得，X的可能取值为0，5，10，15，，，，，所以X的分布列为X051015P所以X的数学期望．20．（12分）如图①，平面图形ABCDE中，，四边形BCDE是等腰梯形，，．沿BE将△ABE折起，使平面平面BCDE，得到四棱锥，连接CE，如图②．（1）设平面ABC与平面ADE的交线为l，求证：；（2）当四棱锥的体积为时，求侧面ACD与侧面ABE所成的二面角的平面角．【答案】（1）证明见解析；（2）60°．【解析】（1）因为平面平面BCDE，平面平面，，平面ABE，所以平面BCDE，因为平面BCDE，所以．在等腰梯形BCDE中，由，，可得，在△BCE中，由余弦定理得，所以，则．因为，所以平面ABC．因为l是平面ABC与平面ADE的交线，所以平面ABC，所以．（2）如图，过点C作于点G，易得，则梯形BCDE的面积，所以，解得，如图，以B为坐标原点，分别以BE，BA所在直线为y轴，z轴，在平面BCDE内以垂直于BE的直线为x轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面ACD的法向量为，则，即，令，得，则，所以，又平面ABE的法向量为，所以，由图可知所求二面角为锐角，所以侧面ACD与侧面ABE所成的二面角的平面角大小为60°，综上，所求的二面角的平面角为60°．21．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点，直线和的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）离心率为，∴，又∵点是椭圆上一点，∴，又，解得，因此，椭圆的方程为．（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，不妨设，则，又，解得，根据椭圆的对称性，不妨取，则，则，，所以；当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点，联立，得，则，，因为，得，即，所以，解得，，原点到直线AB的距离为，因为，且，所以（定值），综上所述四边形ABCD的面积为定值．22．（12分）设函数．（1）求函数的单调区间；（2）若的图象在处的切线方程为，求证：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由，