5.5 三角函数模型的简单应用教学设计-2025-2026学年高中数学湘教版2019必修第一册-湘教版2019

5.5三角函数模型的简单应用教学设计-2025-2026学年高中数学湘教版2019必修第一册-湘教版2019课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计思路本节课以“5.5三角函数模型的简单应用”为主题，结合湘教版2019版必修第一册教材内容，通过实际生活中的案例引入，引导学生掌握三角函数模型的基本应用方法，并学会运用三角函数模型解决实际问题。课程设计注重理论与实践相结合，提高学生的数学思维能力和应用能力。二、核心素养目标培养学生数学建模能力，通过三角函数模型的应用，使学生学会从实际问题中抽象出数学模型，提高运用数学知识解决实际问题的能力。同时，增强学生的数学运算能力、逻辑推理能力和直观想象能力，提升学生对数学学科的认识和兴趣。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了三角函数的基本概念、图像和性质，以及三角函数的运算规则。他们对正弦、余弦、正切等基本三角函数的图像和周期性有初步的理解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，部分学生对三角函数模型的应用感到好奇和兴趣，而另一部分学生可能觉得抽象和难以理解。学生的数学能力差异较大，部分学生具备较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够较快地理解新概念；而部分学生可能在运算能力和空间想象能力上存在不足。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在应用三角函数模型解决实际问题时，可能会遇到以下困难：一是对数学模型的抽象理解不足，难以将实际问题转化为数学模型；二是缺乏实际应用背景，难以将所学知识与现实生活相联系；三是运算能力不足，导致在求解过程中出现错误。此外，学生可能对三角函数的周期性和对称性理解不够深入，影响模型构建的准确性。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生都有湘教版2019版必修第一册教材，以便学生能够跟随课程内容进行学习。

2.辅助材料：准备与三角函数模型相关的图片、图表和视频等多媒体资源，以增强学生的直观理解和兴趣。

3.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习；同时，准备实验操作台，用于演示三角函数模型的应用实例。五、教学流程一、导入新课（5分钟）

详细内容：

1.展示生活中的三角函数应用实例，如钟表指针的位置、海浪高度的变化等，激发学生的兴趣。

2.引导学生回顾已学三角函数的基本性质，为引入三角函数模型的应用做好铺垫。

3.提问：如何将这些实际情境转化为数学模型？引出本节课的主题。

二、新课讲授（15分钟）

1.详细内容一：讲解三角函数模型的构建方法，结合实例展示如何从实际问题中提取参数。

-例如，分析一个物体在简谐运动中的位移随时间变化的规律，构建正弦函数模型。

-分析时间与物体速度的关系，构建余弦函数模型。

2.详细内容二：介绍三角函数模型的应用，包括求解实际问题、绘制图像、分析函数性质等。

-例如，利用正弦函数模型计算钟表指针在不同时间的位置。

-利用余弦函数模型分析物体在不同时间的速度。

3.详细内容三：讲解三角函数模型的求解方法，如待定系数法、图像法等。

-例如，通过待定系数法求解一个简谐运动中的位移方程。

-通过图像法确定函数图像的参数。

三、实践活动（15分钟）

1.详细内容一：学生独立完成课本中的例题，巩固所学知识。

-例如，求解一个简谐运动中物体的位移方程，并绘制函数图像。

2.详细内容二：小组合作，解决实际问题，如设计一个节能方案，利用三角函数模型分析能量消耗。

-例如，小组讨论如何通过调整照明设备的开关时间，降低能源消耗。

3.详细内容三：学生展示小组成果，教师点评并总结。

-例如，展示节能方案的设计过程，分析三角函数模型在方案中的应用。

四、学生小组讨论（10分钟）

1.举例回答：如何从实际问题中提取参数？

-例如，从物体的运动轨迹中提取时间、位移等参数，构建正弦或余弦函数模型。

2.举例回答：如何分析三角函数模型的性质？

-例如，分析函数的周期性、对称性、极值等性质。

3.举例回答：如何求解三角函数模型的实际问题？

-例如，求解物体在简谐运动中的最大速度、最小位移等。

五、总结回顾（5分钟）

内容：

1.回顾本节课所学内容，强调三角函数模型的应用方法和求解技巧。

2.分析本节课的重难点，如参数提取、模型构建、性质分析等。

3.布置课后作业，巩固所学知识，如完成课本中的练习题，尝试解决实际问题。

（用时总计：45分钟）六、拓展与延伸一、提供与本节课内容相关的拓展阅读材料

1.《三角函数在物理学中的应用》

-内容摘要：本文介绍了三角函数在物理学中的广泛应用，如简谐振动、波的传播、光学中的干涉和衍射等，通过具体实例分析三角函数模型如何帮助理解物理现象。

2.《三角函数在工程学中的角色》

-内容摘要：探讨了三角函数在工程领域的应用，包括机械设计、建筑设计、信号处理等，展示了三角函数如何帮助工程师解决实际问题。

3.《三角函数在地理学中的意义》

-内容摘要：本文分析了三角函数在地理学中的应用，如地球测量、地图绘制、气候研究等，阐述了三角函数在地理学研究中的重要性。

二、鼓励学生进行课后自主学习和探究

1.学生可以尝试将三角函数应用于日常生活中的问题，如计算家庭用电器的周期性使用情况，分析城市交通流量的变化规律等。

2.鼓励学生探究三角函数在不同学科领域的交叉应用，例如在经济学中分析股市波动，在生物学中研究心脏跳动的周期性等。

3.学生可以尝试自己构建三角函数模型，并尝试解决一些开放性问题，如设计一个基于三角函数的天气预报模型，或者预测某城市未来几年的房价走势。

三、知识点拓展

1.三角函数的极限性质：学生可以探究三角函数在极限情况下的行为，例如当角度趋于无穷大时，正弦和余弦函数的极限值。

2.三角函数的积分和微分：通过学习三角函数的积分和微分公式，学生可以更深入地理解三角函数的连续性和可导性。

3.三角函数的级数展开：学生可以学习三角函数的级数展开，了解三角函数是如何通过无穷级数表示的。

四、实用性应用案例

1.利用三角函数模型分析太阳能板在不同时间段内的能量输出，为优化太阳能板的安装角度提供依据。

2.通过三角函数模型预测地震波的传播路径，为地震预警系统的设计提供参考。

3.应用三角函数模型优化生产线上的物流流程，减少等待时间和提高生产效率。七、板书设计①本文重点知识点：

-三角函数模型的基本概念

-三角函数模型的构建方法

-三角函数模型的应用实例

②关键词：

-三角函数

-模型

-应用

-构建方法

-实例分析

③重点句子：

-“三角函数模型是将实际问题转化为数学形式的有效工具。”

-“构建三角函数模型需要提取关键参数，并建立数学关系。”

-“三角函数模型的应用涉及图像分析、性质探究和实际问题解决。”八、教学评价1.课堂评价

-提问：通过课堂提问，检验学生对三角函数模型概念的理解程度，如询问学生如何从实际问题中提取参数，如何构建三角函数模型等。

-观察：注意学生在课堂上的参与度，观察他们是否能够积极参与讨论，是否能够正确运用三角函数模型解决简单问题。

-测试：在课堂教学中穿插小测验，评估学生对三角函数模型应用能力的掌握情况，如绘制三角函数图像，分析函数性质等。

2.学生小组讨论评价

-小组合作：评价学生在小组讨论中的表现，包括是否能够积极参与讨论，是否能够提出有建设性的意见，是否能够与组员有效沟通。

-小组成果：评估小组讨论的成果，如小组是否能够成功构建三角函数模型，是否能够运用模型解决实际问题。

-小组反馈：鼓励学生之间相互评价，提高学生的自我反思能力。

3.作业评价

-作业批改：对学生的作业进行认真批改，关注学生的解题思路、计算过程和最终答案的正确性。

-作业点评：在批改作业的同时，给予学生具体的点评和建议，指出他们的优点和不足，帮助他们改进学习方法。

-作业反馈：及时将作业反馈给学生，让他们了解自己的学习进度，鼓励他们在后续学习中继续努力。

4.期末评价

-期末考试：通过期末考试，全面评估学生对三角函数模型知识的掌握程度，包括概念理解、模型构建、应用能力等。

-试卷分析：对期末考试试卷进行详细分析，找出学生在学习过程中存在的问题，为下一阶段的教学提供参考。

5.学生自我评价

-鼓励学生进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现，如学习态度、学习方法、学习效果等。

-学生可以通过填写自我评价表或与教师进行一对一交流，表达自己的学习感受和改进方向。

6.教师评价

-教师应定期对学生的学习情况进行总结和评价，关注学生的整体进步和个体差异。

-教师可以通过课堂观察、作业批改、测试成绩等方式，全面了解学生的学习情况，为教学调整提供依据。典型例题讲解1.例题：

已知一个物体在水平方向上做简谐运动，其位移随时间t变化的函数为s(t)=0.1cos(2πt)，求物体在t=0.5秒时的位移。

解答：

将t=0.5秒代入位移函数中，得到：

s(0.5)=0.1cos(2π*0.5)

=0.1cos(π)

=-0.1m

因此，物体在t=0.5秒时的位移为-0.1米。

2.例题：

一个摆钟的摆动周期为2秒，求摆钟摆角θ=45°时的摆线长度L。

解答：

根据单摆周期公式T=2π√(L/g)，其中g为重力加速度，取g≈9.8m/s²。

代入周期T=2秒，得到：

2=2π√(L/9.8)

√(L/9.8)=1/π

L/9.8=1/π²

L=9.8/π²

L≈0.993m

因此，摆钟摆角θ=45°时的摆线长度约为0.993米。

3.例题：

一辆汽车在直线上以恒定加速度a=2m/s²匀加速运动，初始速度v0=5m/s，求汽车在t=3秒时的速度v。

解答：

根据匀加速直线运动的速度公式v=v0+at，代入已知值得到：

v=5+2*3

v=5+6

v=11m/s

因此，汽车在t=3秒时的速度为11m/s。

4.例题：

一个电子在垂直电场中受到的电场力为F=qE，其中q为电子电荷量，E为电场强度。若电子从静止开始加速，求电子加速到速度v时所获得的动能Ek。

解答：

根据动能公式Ek=1/2mv²，其中m为电子质量，v为电子速度。电子在电场中加速，电场力做功等于电子的动能增加，即qE*h=1/2mv²，其中h为电子加速过程中的位移。

由于电子从静止开始加速，位移h可以用v²/2a表示，其中a为加速度。代入得到：

qE*(v²/2a)=1/