《信号与系统》课件第3章 2

第3章傅里叶级数与傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数展开3.2傅里叶变换3.3小结习题

3.1周期信号的傅里叶级数展开

3.1.1周期信号的傅里叶级数

1.三角函数形式的傅里叶级数

按照傅里叶级数的定义，周期函数f(t)可由三角函数的线性组合来表示，若f(t)的周期为T1，角频率，频率

，则傅里叶级数展开表达式为(3.1)式中:n为正整数。各次谐波成分的幅度值按以下公式计算：直流分量为余弦分量的幅度为正弦分量的幅度为式中:n=1,2,…。为方便起见，通常积分区间t0~t0+T1取为0~T1或

必须指出，并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开。被展开的函数f(t)需要满足如下的一组充分条件，这组条件称为“狄利克雷（Dirichlet）条件”：

(1)在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；

(2)在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；

(3)在一周期内，信号是绝对可积的，即

等于有限值（T1为周期）。~通常我们遇到的周期性信号都能满足狄利克雷条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。

式(3.1)表明：任何周期信号只要满足狄利克雷条件就可以分解成直流分量和许多正弦、余弦分量。这些正弦、余弦分量的频率必定是基频f1(f1=1/T1)的整数倍。通常把频率为f1的分量称为基波，频率为2f1,3f1,…

的分量分别称为二次谐波、三次谐波……显然，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。

2.指数形式的傅里叶级数

周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，下面我们来推导指数形式的傅里叶级数。已知(3.2)和欧拉公式：(3.3)(3.4)把欧拉公式代入式(3.2)，得到(3.5)令(3.6)考虑到an是n的偶函数，bn是n的奇函数，由式(3.6)可知:(3.7)将上述经过代入式(3.5)，得(3.8)令F(0)=a0，考虑到(3.9)得到f(t)的指数形式傅里叶级数:若将和代入式(3.6)，则可以得到指数形式傅里叶级数的系数F(nω1)（简写作Fn）为式中:n为从－∞到+∞的整数。(3.10)

例3.1

设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ，脉冲幅度为E，重复周期为T1（显然，角频率ω1=2πf1=2π/T1），如图3.1所示。求f(t)的三角形式和指数形式傅里叶级数。图3.1周期矩形信号的波形解此信号在一个周期内的表达式为利用式（3.1），可以把周期矩形信号f(t)展开成三角形式傅里叶级数:根据式（3.3）、式（3.4）可以求出各系数，其中直流分量为余弦分量的幅度为或写作式中：Sa为抽样函数，它等于由于f(t)是偶函数，由式（3.4）可知:

bn=0

这样，周期矩形信号的三角形式傅里叶级数为或若将f(t)展开成指数形式的傅里叶级数，由式(3.10)可得所以3.1.2周期信号的频谱

由前面的讨论可知，将周期信号分解为傅里叶级数，提供了在频域中认识信号特征的重要手段。因为当周期信号分解为傅里叶级数后，得到的是直流分量(有时为零)和无穷多正弦分量的和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反映周期信号中各频率分量的分布情况，可将其各频率分量的振幅和相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是“频谱图”。频谱图包括振幅频谱和相位频谱,前者表示各复指数级数Fn的幅度随频率变化的关系；后者表示谐波分量的相位jn随频率变化的关系。若无特别说明，本书所说的频谱一般是指振幅频谱。例3.1中的周期矩形脉冲信号的频谱如图3.2所示。图3.2周期信号的频谱(T1=4τ)图3.2中，每根垂直线称为谱线，其所在位置nω1为该次谐波的角频率，每根谱线的高度即为该次谐波的振幅(或相位)值。归纳起来，上述周期信号的振幅谱具有下列特点：

(1)频谱图由频率离散的谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量。这样的频谱称为不连续频谱或离散频谱。

(2)频谱中的谱线只能在基波频率ω的整数倍频率上出现。(3)频谱中各谱线的高度随谐波次数的增高而逐渐减小。当谐波次数无限增多时，谐波分量的振幅趋于无穷小。以上三个特点分别称为周期信号频谱的离散性、谐波性和收敛性。这些特点虽然是由具体的信号得出的，但除了少数特例外，大多数信号的频谱都具有这些特点。

在实际工作中，信号的振幅谱和相位谱可通过频谱分析仪测量得到。

下面再来讨论信号的重复周期T和脉冲持续时间τ（脉冲宽度）与频谱的关系。图3.3画出了T相同而脉宽不同的两种情况下的频谱（这里只画了正频率部分）。由图3.3可见，当保持周期T不变，脉宽τ减小时，频谱的幅度随之减小，相邻谱线的间隔不变，频谱包络线第一个过零点包含的频率分量增多，频谱幅度的收敛速度相应变慢。图3.3T相同而脉宽不同的频谱图3.4画出了脉冲宽度τ不变而周期T不同的情况下的频谱图。随着T的增大，频谱幅度随之减小，谱线间隔变小，谱线变密。周期越大，谱线越密。但其频谱包络的过零点坐标并不改变。图3.4脉冲宽度τ不变而周期T不同的频谱图由上述周期信号的频谱图可以看出，信号功率的主要部分集中在的低频分量上，那些次数较高的频率分量实际上可以忽略不计。因此，通常把这段频率范围称为矩形信号的有效带宽，或称为“频带宽度”，简称“带宽”，记作Δω，即~或者可见，信号的频带宽度与信号的持续时间成反比，信号持续时间越长，其频带越窄；反之，信号脉冲越窄，其频带越宽。从这个角度讲，如果我们需要传输时间很短的脉冲信号，就需要能将该信号中的诸多频率成分都顺利传输过去的系统，这对系统的要求是较高的。表3-1列出了常见信号的频带宽度。3.1.3吉布斯现象

一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，选取有限项级数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，也就是说，其方均误差愈小。

已知周期函数f(t)的傅里叶级数为(3.11)若取傅里叶级数的前（2N+1）项来逼近周期函数f(t)，则有限项傅里叶级数为(3.12)这样用SN(t)逼近f(t)引起的误差函数为

εN(t)=f(t)－SN(t)

(3.13)

下面以图3.5（a）所示的对称方波为例，说明取不同的项数时有限级数对原函数的逼近情况，这样可以比较直观地了解傅里叶级数的含义，并观察到级数中各种频率分量对波形的影响。图3.5对称方波有限项傅里叶级数的波形在图3.5（a）中，对称方波的傅里叶级数中系数分别为

bn=0

a0=0

于是图3.5示出了对称方波f(t)的傅里叶级数在取有限项时的波形，其中图3.5（b）是只取基波分量一项的波形，即的波形；图3.5（c）是取基波和三次谐波两项之和的波形，即的波形；图3.5（d）是取基波、三次谐波和五次谐波这三项之和的波形，即的波形。在图3.6中画出了矩形波和锯齿波所呈现的吉布斯现象。从图3.6可以看出：（1）傅里叶级数所取项数n(=N)越多，相加后波形越逼近原信号f(t)，两者的方均误差越小。显然，当N→∞，SN波形必然等于f(t)。（2）当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，而低频分量主要影响脉冲的顶部。所以，f(t)波形变化越剧烈，所包含的高频分量越丰富；变化越缓慢，所包含的低频分量越丰富。

（3）当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。

从图3.6还可以看出一种现象：选取傅里叶有限级数的项数越多，在所合成的波形SN中出现的峰起越靠近f(t)的不连续点。当选取的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象通常称为吉布斯（Gibbs）现象。图3.6吉布斯现象

3.2傅里叶变换

3.2.1基本信号的傅里叶变换

我们知道，当周期T1无限增大时，周期信号就转化为非周期信号，如图3.7(a)和(c)所示。

所以，我们可以把非周期信号看成是T1趋于无限大的周期信号。上节已经指出，当周期T1增大时，谱线的间隔

变小，若周期T1趋于无限大，则谱线的间隔趋于无限小，这样，离散谱线就变成连续频谱了。这就是说，按第3.1节所表示的频谱将失去应有的意义。但是，从物理概念上考虑，既然成为一个信号，必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含的能量是不变的，所以不管周期增大到什么程度，频谱的分布依然存在。或者从数学角度看，在极限情况下，无限多的无穷小量之和，仍可等于一有限值，此有限值的大小取决于信号的能量。

基于上述原因，对非周期信号不能采用第3.2节中频谱的表示方法，必须引入一个新的量——“频谱密度函数”。下面由周期信号的傅里叶级数推导出傅里叶变换，并说明频谱密度函数的意义。设有一周期信号f(t)及其复数频谱F(nω1)如图3.7(a)和(b)所示，将f(t)展成指数级数形式，有:(3.14)两边乘以T1，得(3.15)对于非周期信号，重复周期T1→∞时，重复频率ω1→0,谱线间隔Δ(nω1)→dω，而离散频率nω1变成连续频率ω。在这种极限情况下，F(nω1)→０，但不趋于零，而趋于有限值，且变成一个连续函数，通常记作F(ω)或F(jω)，即(3.16)式中：为单位频带的频谱值，即频谱密度的概念。因此F(ω)称为原函数f(t)的频谱密度函数，或称为频谱函数。若以的幅度为高，以间隔ω1为宽画一个小矩形(如图3.7（b）所示)，则该小矩形的面积等于ω=nω1频率处的频谱值F(nω1)。这样，式(3.16)在非周期信号的情况下将变成:即(3.17)同样，傅里叶级数为(3.18)考虑到谱线间隔Δ(nω1)=ω1，式(3.18)可改写为(3.19)在前述极限的情况下，式(3.19)中各量应作如下改变：

nω1→ω

Δ(nω1)→dω

于是，傅里叶级数变成积分形式:(3.20)式(3.17)、式(3.20)是用周期信号的傅里叶级数通过极限的方法导出的非周期信号频谱的表示式，称为傅里叶变换。通常式(3.17)称为傅里叶正变换，式(3.20)称为傅里叶逆变换，为书写方便，习惯上采用如下符号：傅里叶正变换(3.21)傅里叶逆变换(3.22)有时为简单起见，也可记作

，F(ω)是f(t)的频谱函数，它一般是复函数，可以写作:(3.23)式中：|F(ω)|为F(ω)的模，它代表信号中各频率分量的相对大小；j(ω)为F(ω)的相位函数，它表示信号中各频率分量之间的相位关系。为了与周期信号的频谱相一致，本书习惯上也把|F(ω)|－ω与j(ω)－ω曲线分别称为非周期信号的幅度频谱与相位频谱。由图3.7(d)可以看出，它们都是频率ω的连续函数，在形式上与相应的周期频谱包络曲线相同。可见，非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。所不同的是，由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时，由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度趋于无限小。所以频谱不能再用幅度表示，而要改用密度函数来表示。在上面的讨论中，利用了周期信号取极限变成非周期信号的方法，由周期信号的傅里叶级数导出傅里叶变换，从而将离散谱演变为连续谱。在3.2.3节中我们还将看到这一情况还可以反过来进行，亦即出非周期信号演变成周期信号，从连续谱引出离散谱。这表明周期信号与非周期信号、傅里叶级数与傅里叶变换、离散谱与连续谱在一定条件下可以互相转化并统一起来。

必须指出，在前面推导傅里叶变换时并未严格遵循数学上的步骤。(3.24)另外，借助奇异函数(如冲激函数)的概念，可使许多不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等存在傅里叶变换。下面我们给出一些常用信号的傅里叶变换。从理论上讲，傅里叶变换也应该满足一定的条件才能存在，这种条件类似于傅里叶级数的狄利克雷条件，不同之处仅仅在于时间范围由一个周期变成无限的区间。傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积条件，即要求:

例3.2

求如图3.8(a)所示的矩形脉冲信号（也称门信号）的傅里叶变换。图3.8门信号的波形与频谱解由傅里叶变换的公式，可得因为F(ω)在这里是实函数，通常用一条F(ω)曲线即可表示其频谱图，如图3.8(b)所示。若表示成幅度频谱和相位频谱，则门信号的幅度频谱和相位频谱分别为和门信号还可表示成如图3.9所示的频谱图。图3.9门信号的频谱从上述频谱图中我们可以看出，门函数频谱的绝大多数能量集中在（即）的范围内。一般把从零频率到F(ω)的第一个过零点所对应的频率之间的频段称为信号的带宽，则矩形脉冲信号的带宽为

或。

例3.3

求如图3.10(a)所示的单边指数信号的傅里叶变换。解已知单边指数信号的数学表达式为 利用傅里叶变换公式得因为F(ω)不是实数，所以通常将其频谱图分别表示为幅度频谱和相位频谱。

由，可见F(ω)的取值为 由,可见j(ω)的取值为幅度频谱和相位频谱分别如图3.10(b)和(c)所示。图3.10单边指数信号的波形及频谱图

例3.4

求直流信号的傅里叶变换。

解我们知道直流信号f(t)=E,－∞<t<+∞不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。

直流信号可以看成τ→∞时的门信号，如图3.11(a)和（b）所示，求τ→∞时门函数的傅里叶变换即可得直流信号的傅里叶变换:即

频谱图如图3.11(c)所示。从图3.11中可以发现，在时域中“无限宽”的直流信号的频谱在频域中却是“无限窄”的。图3.11直流信号的波形及频谱

例3.5

求图3.12(a)所示冲激函数的频谱。图3.12冲激信号的波形及频谱解由傅里叶变换的定义我们可以直接得到频谱图如图3.12(b)所示。比较例3.4和例3.5，我们可以发现如图3.13所示的傅里叶变换对的关系。我们发现一个“无限宽”的信号和一个“无限窄”的信号构成了一一对应的关系，这并非巧合，3.2.2节中我们还将详细说明傅里叶变换的这一性质。图3.13频谱的比较

例3.6

求符号函数

的傅里叶变换。

解符号函数也不满足绝对可积条件，需要进行一定的变换才可以求出傅里叶变换。

方法之一为设计一个双边函数f1(t)=sgn(t)e－α|t|，求其傅里叶变换F1(ω),再求极限得到F(ω)。则我们可以得到符号函数的频谱为其幅度频谱和相位频谱分别为符号函数的频谱图如图3.14所示。图3.14符号函数的波形与频谱

例3.7

求单位阶跃函数的傅里叶变换。

解冲激函数积分是有限值，其傅里叶变换可以用定义求得。而u(t)不满足绝对可积的条件，其傅里叶变换不能用

定义求。我们可以得到单位阶跃函数与符号函数的关系为

，则分别求等式右端两项的傅里

叶变换再相加，即可得到单位阶跃函数u(t)的傅里叶变换为

，其变换过程如图3.15所示。图3.15单位阶跃信号与符号函数的关系3.2.2傅里叶变换的性质

傅里叶变换对建立了时间函数f(t)与频谱函数F(ω)之间的对应关系。其中一个函数确定之后，另一函数便随之被唯一地确定。在3.2.1节中我们计算了很多典型信号的傅里叶变换，其实已经在不经意间利用了一些傅里叶变换的性质，如例3.7就利用了傅里叶变换的线性性质，而且，我们还发现了时域和频域信号的一一对应关系，还记得那个“极胖”的直流信号与“极瘦”的冲激信号的对应关系吗？在这一小节我们就将集中介绍这些性质。除了上述几个我们已经接触到的性质之外，本节还将介绍其他的傅里叶变换性质，其中包括傅里叶变换的卷积性质，它是利用傅里叶变换分析系统的基础，在频域分析中有重要的地位。

1.线性

若,则(3.25)式中:ai为常数;n为正整数。

2.时—频对称性

例3.4和例3.5的结果告诉我们以下傅里叶变换对的对应

关系：

由于信号的时域波形与其频谱之间存在着一定的对称关系，因此可将式(3.25)的关系写成更为一般的公式。

若

则

(3.26)证明如下：

因为显然将变量t与ω互换，可以得到所以(3.27)证明完毕。若f(t)是偶函数，则式(3.27)可变成(3.28)从式(3.27)看出，若f(t)的频谱为F(ω)，则信号F(t)的频谱为2πf(－ω)。当f(t)为偶函数时，由式(3.28)可知，这种对称关系得到简化，即f(t)的频谱为F(ω)，那么形状为F(t)的波形，其频谱形状必为f(ω)。显然，矩形脉冲的频谱形状为Sa函数，而Sa形脉冲的频谱必然为矩形函数;同样，直流信号的频谱为冲激函数，而冲激函数的频谱必然为常数，等等，如图3.16所示。图3.16时间函数与频谱函数的对称性举例

3.时域与频域中的宽度对应关系

回顾1.2节的内容，我们知道在时域中，当a>0时，信号f(t)可以进行压缩与扩展为f(at)或。那么若，f(at)或的傅里叶变换又与F(ω)有什么关系呢?

因为令x=at，当a>0时有:(3.29)当a<0时有:(3.30)综合上述两种情况，便可得到尺度变换特性表示式为(3.31)对于a=－1这种情况，式(3.31)变成为了说明尺度变换特性，在图3.17中画出了矩形脉冲的几种情况。图3.17尺度变换的举例说明由上可见，信号在时域中压缩(a>1)等效于在频域中扩展；反之，信号在时域中扩展(a<1)则等效于在频域中压缩。对于a=－1的情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶。上述结论是不难理解的，因为信号的波形压缩a倍，信号随时间变化快a倍，所以它所包含的频率分量就增加a倍，也就是说频谱展宽a倍。根据能量守恒原理，各频率分量的大小必然减小a倍。

回顾一下带宽的公式，，可以看出脉冲的宽度与频带宽度成反比，这一结论与宽度对应关系是一致的。

4.时域与频域中的时延对应关系

1.2节还提到，时域信号f(t)还可以经过时延，时延后的

信号可用f(t±t0)来表示。那么时延后，信号的频谱有何变化呢？

因令x=t－t0，那么所以

(3.32)

同理可得

(3.33)

从式(3.32)可以看出，信号f(t)在时域中沿时间右移（延时）t0等效于频谱乘以因子e－jωt0，也就是说，信号右移后，其幅度不变，而相位谱产生附加变化(－ωt0)。··

例3.8

求图3.18所示三脉冲信号的频谱。图3.18三脉冲信号解令f0(t)表示矩形单脉冲信号，由例3.2知f0(t)的频谱函数F0(ω)为

·因为f(t)=f0(t)+f0(t+T)+f0(t－T)，由时移特性知f(t)的频谱函数F(ω)为·其频谱如图3.19所示。图3.19中所示的频谱表明，有限个脉冲信号的频谱具有梳齿形状。这一特点是信息检测和通信电路的设计依据。

另一方面，通信系统中经常用到频谱搬移技术，如将低频的声音信号调制至高频，通过发射装置发射出去。由于高频信号可以在空气中传播很远，我们可以在远处利用收音机接收到高频信号，再利用收音机里面的解调装置得到声音信号。频谱搬移即频谱在频域内进行移动，如F(ω±ω0)，那么它又和f(t)有何关系呢？图3.19三脉冲信号的频谱我们可以证明若，则证明如下：因为·所以(3.34)同理(3.35)式中:ω0为时常数。可见，若时间信号f(t)乘以ejω0t，等效于f(t)的频谱F(ω)沿频率轴向右移。频谱搬移技术在通信系统中得到了广泛应用，诸如调幅、同步调解、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移是通过将信号f(t)乘以所谓载频信号cos(ω0t)或sin(ω0t)实现的。下面分析这种相乘作用引起的频谱搬移。因为可以导出：(3.36)(3.37)所以，时间信号f(t)乘以cos(ω0t)或sin(ω0t)，等效于f(t)的频谱F(ω)一分为二，沿频率轴向左和右各平移ω0。

例3.9

已知f(t)=cos(ω0t)，利用频移定理求余弦信号的

频谱。

解已知直流信号的频谱是位于ω=0点的冲激函数，也即,利用频移定理，根据式(3.36)容易求得可见，周期余弦信号的傅里叶变换完全集中于±ω0点，是位于±ω0点的冲激函数，频谱中不包含任何其他成分。这与直观感觉一致。

5.卷积定理

卷积定理是在通信系统和信号处理研究领域中应用最广的傅里叶变换性质之一，在以后各章的学习中将认识到这一点。设则时域卷积定理为(3.38)证明：由定义例如，设gτ(t)为如图3.20所示的门信号，f(t)为两个门信号的卷积，即则其对应的频谱函数为·其过程如图3.20所示。显然，f(t)为三角脉冲，其频谱的主要能量也集中在低频分量。系统的零状态响应等于系统冲激响应与输入信号的卷积，即

y(t)=h(t)*f(t)

根据卷积定理，设，，则系统零状态响应的傅里叶变换为

Y(ω)=H(ω)F(ω)

(3.39)

式(3.39)表明，时域内的卷积对应为频谱的相乘。也就是说，我们可以不再从时域中计算卷积，而是可以先求系统的冲激响应和输入信号的傅里叶变换，再将它们求乘积，得到的结果进行傅里叶反变换即可。图3.20卷积定理举例利用乘积计算代替卷积的确将复杂的计算过程简化了，然而，通过计算我们发现，还需要在时域中求解系统的冲激响应，而且，傅里叶反变换也不是一件轻松的事。

必须指出，上述卷积定理的主要贡献不在于求解系统的响应，而在于明了LTI系统对输入信号的作用关系，从而揭示系统的频率响应。我们可以看到，单位冲激响应h(t)在时域中表征了系统的参数及结构，作用如同描述系统的微分方程，那么，它的频谱H(ω)也就在频域中表征了系统的全部特性。我们可以将其与系统直接联系起来，即避免求解系统的时域冲激响应，具体方法将在下一章介绍。

类似地，又可以得到频域卷积定理：

设则时域相乘对应频域卷积，即(3.40)

6.时域微分、积分特性

若则(3.41)

证明如下：由将上式两边对t求导，得这说明函数在时域中的微分等效为在频域中乘以jω。进一步推广得(3.42)例如，因故有再如从而得

例3.10

求图3.21所示的一阶RC电路的输入、输出信号的傅里叶变换之比UC(ω)/E(ω)。图3.21简单的RC电路解现求得系统的微分方程为RCuC′(t)+uC(t)=e(t)，将等式两边同时进行傅里叶变换，得

RCjωUC(ω)+UC(ω)=E(ω)

整理得有时把时域微分特性和积分特性结合起来分析问题更为方便。时域积分特性表述如下： 若则(3.43)证明：因为由卷积定理，的频谱为当信号f(t)的变换F(0)=F(ω)|ω=0=0，即面积

时,有：例如，已知，则这就证明了单位阶跃信号的傅里叶变换。 现把傅里叶变换的主要性质列于表3-2中，以便查阅。3.2.3周期信号的傅里叶变换

到目前为止，我们学会了求周期信号的傅里叶级数和非周期信号的傅里叶变换。本节将讨论周期信号的傅里叶变换。之所以要研究周期信号的傅里叶变换，是因为在时域中，信号统一在同一自变量t下，我们可以方便地利用周期的变换在周期信号和非周期信号之间切换，然而，傅里叶级数和傅里叶变换却相差甚远，它们的自变量不同，一个是离散的nω1，一个是连续的ω，我们无法在频域中研究周期信号与非周期信号的频谱关系。因此，我们试图将周期信号与非周期信号在频域中也统一起来，研究两者在频域中的关系。虽然周期信号不满足绝对可积条件，但是在允许冲激函数存在并认为它是有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制了，在这种意义上周期信号的傅里叶变换是存在的。在频移定理的应用举例中(例3.9)已给出余弦信号的傅里叶变换，现在我们来研究一般周期信号的傅里叶变换。

我们知道周期信号的傅里叶级数可表示为(3.44)式中：Fn为f(t)的傅里叶级数的系数，

将式(3.44)两边都取傅里叶变换，得

于是，我们得到了周期信号的频谱为(3.45)

例3.11

试求如图3.22所示周期冲激信号

的傅里叶变换。

解因为δT(t)是周期函数，所以可以把它展开成傅里叶级数:式中，，。(3.46)结果表明，冲激序列的频谱图(见图3.22)仍为均匀冲激串，间隔为ω1，强度为。这说明，该周期信号的频谱不具有收敛性。图3.22周期冲激信号及其频谱3.3小结

本章集中介绍了信号的频谱，这是现代信号分析理论的基础。我们先从周期信号的傅里叶级数开始，得到了非周期信号的傅里叶变换，最后又回到了周期信号上，介绍了周期信号傅里叶变换的求法，将这些时域信号的分析都落在了傅里叶变换上，使信号的时域分析与频域分析对应起来。另外，本章还介绍了傅里叶变换的性质，这些性质是计算傅里叶变换、分析信号的频谱及下一章系统分析的基础。本章的重点在于掌握傅里叶变换的计算，学会分析信号的频谱及性质的应用等。总之，学习本章应把注意力集中在“信号”两个字上，那么，“系统”又怎么理解呢？那将是下一章讨论的内容。本章的内容是下一章的铺垫，我们将在频域中研究系统，将会研究系统在频域中有何特性，将其称为“频率特性”、“频率响应”或干脆称其为“频响”。习题

3-1对连续时间周期信号:求基波频率ω0和傅里叶级数系数Fk，并表示成指数形式的傅里叶级数。

3-2一连续时间周期信号的一个周期如下(基波频率ω0=π)：利用傅里叶级数分析式计算系数Fk。

3-3设f1(t)是一连续时间周期信号，其基波频率为ω1，傅里叶级数系数为Fk1，已知

f2(t)=f1(1－t)+f1(t－1)

问f2(t)的基波频率ω2与ω１是什么关系。求f2(t)的傅里叶级数系数Fk2与系数Fk1之间的关系。

3-4已知下列关系：

r(t)=e(t)*h(t)

和

g(t)=e(3t)*h(3t)

并且e(t)的傅里叶变换是E(ω)，h(t)的傅里叶变换是H(ω)，利用傅里叶变换性质证明g(t)为

g(t)=Ar(Bt)

求出A和B的值。

3-5设e(t)的傅里叶变换为

E(ω)=δ(ω)+δ(ω－π)+δ(ω－5)

并令

h(t)=u(t)－u(t－2)

(1)e(t)是周期信号吗？

(2)e(t)*h(t)是周期信号吗？

(3)两个非周期信号的卷积有可能是周期信号吗？

3-6求题3-6图所示对称周期矩形信号的傅里叶级数(三角形式与指数形式