基础强化北师大版9年级数学上册期末试卷及完整答案详解（易错题）

北师大版9年级数学上册期末试卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题24分）一、单选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、已知x1，x2是一元二次方程2x2－3x＝5的两个实数根，下列结论错误的是（）A．2－3x1＝5 B．（x1－x2）（2x1＋2x2－3）＝0C．x1＋x2＝ D．x1x2＝2、若实数满足，则的值是（）A．1 B．-3或1 C．-3 D．-1或33、如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（

）A． B． C． D．4、如图，在四边形ABCD中，，且AD＝DC，则下列说法：①四边形ABCD是平行四边形；②AB＝BC；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，则四边形ABCD的面积为24，其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5、如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（）A． B． C．3 D．46、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、多选题（6小题，每小题2分，共计12分）1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法正确的是（）A．∠ABC=90° B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD2、等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为（）A．15 B．16 C．17 D．183、在直角坐标系中，已知点A(6，﹣3)，以原点O为位似中心，相似比为，把线段OA缩小为OA′，则点A′的坐标为（

）A．(﹣2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(2，1) D．(2，﹣1)4、用配方法解下列方程，配方错误的是（

）A．化为 B．化为C．化为 D．化为5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形中相似的为（）A．△BEA与△ACD B．△FED与△DEB C．△CFD与△ABG D．△ADF与△EFD6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E．下列结论不正确的是（

）A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC第Ⅱ卷（非选择题76分）三、填空题（8小题，每小题2分，共计16分）1、已知关于的方程的一个根是，则____．2、关于的方程，k=_____时，方程有实数根．3、如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，AD＝5，P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠（1）当四边形ADPD′是正方形时，CD′的长为___．（2）当CD′的长最小时，PC的长为___．4、如图，矩形的两边，的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数的图象经过点E，与交于点F．若，则反比例函数的表达式为______．5、已知，则的值为_____．6、如图，AB，CD相交于O点，△AOC∽△BOD，OC：OD=1：2，AC=5，则BD的长为______．7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，点P在边AC上，以2cm/s的速度从点A向点C移动，点Q在边CB上，以1cm/s的速度从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是_____秒．8、如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的BC边与x轴重合，顶点A在y轴的正半轴上，线段OB，OC（）的长是关于x的方程的两个根，且满足CO＝2AO．(1)求直线AC的解析式；(2)若P为直线AC上一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，设△CPQ的面积为S（），点P的横坐标为a，求S与a的函数关系式；(3)点M的坐标为，当△MAB为直角三角形时，直接写出m的值．2、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．（1）如图①，当时，求的值；（2）如图②，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG．

3、如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．（1）求证：△ADG∽△ABF；（2）若，AF＝6，求GF的长．4、如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于点N，量得MN＝38m，求AB的长．5、如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．(1)求证：△ABN≌△MAD；(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．6、定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．

-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可．【详解】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2-3x=5的两个实数根，∴，故A正确，不符合题意；这里a=2，b=-3，c=-5，∴，，∵，∴，∴，故B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．故选：D．【考点】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握根与系数的关系，，是解题的关键．2、A【解析】【分析】设x2-3x=y．将y代入原方程得到关于y的一元二次方程y2+2y-3=0即可，解这个方程求出y的值，然后利用根的判别式检验即可.【详解】设x2-3x=y．将y代入原方程，得y2+2y-3=0，解之得，y=1或y=-3．当y=1时，x2-3x=1，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=9+4=13＞0，有两个不相等的实数根，当y=-3时，x2-3x=-3，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=9=12＜0，无解．故y=1，即x2-3x=1．故选A．【考点】本题考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.3、C【解析】【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，当P点位于E点时，，即，则，∵,∴,即,∵∴,∵点为的中点，∴,故选：C．【考点】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．4、D【解析】【分析】由，可知四边形ABCD是平行四边形，可判断①的正误；由AD＝DC，可知平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质可判断②③④⑤的正误．【详解】解：∵，∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；∵AD＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，AC平分∠BAD，故②③④正确；∵AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面积＝，故⑤正确；∴正确的个数有5个，故选D．【考点】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质．解题的关键在于证明四边形ABCD是菱形．5、D【解析】【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论．【详解】点A的坐标为（m，2n），∴，∵D为AC的中点，∴D（m，n），∵AC⊥轴，△ADO的面积为1，∴，∴，∴，故选：D．【考点】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．6、A【解析】【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：四边形是平行四边形，A、当时，它是菱形，选项不符合题意，B、当时，它是菱形，选项不符合题意，C、当时，它是矩形，选项不符合题意，D、当时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意，故选：．【考点】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理．二、多选题1、ABC【解析】【分析】矩形的性质：矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线相等且互相平分，根据矩形的性质逐一判断即可.【详解】解：四边形ABCD为矩形，故符合题意，而不一定成立，故不符合题意；故选：．【考点】本题考查的是矩形的性质，熟悉矩形的性质是解题的关键．2、BC【解析】【分析】分3为底边长或腰长两种情况考虑：当3为底时，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系即可求得的值；当3为腰时，则a、b中有一个为3，a+b=8即可求出b，再利用根与系数的关系即可求得的值．【详解】解：当3为腰时，此时a＝3或b＝3，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；当3为底时，此时a＝b，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；综上所述，m的值为16或17．故答案为：BC．【考点】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，分3为底边长或腰长两种情况讨论是解题的关键．3、BD【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k解答．【详解】解：∵点A的坐标为（−6，3），以原点为位似中心将△ABO缩小，位似比为，∴点A的对应点的坐标为：（−6×，3×）或（−6×（−），3×（−）），即（−2，1）或（2，−1），故选：BD．【考点】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．4、BD【解析】【分析】根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1，(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方即可得到结论．【详解】A.化为，正确，不符合题意；B.化为，错误，符合题意；C.化为，正确，不符合题意；D.化为，错误，符合题意．故选：BD．【考点】此题考查了配方法解一元二次方程，属于基础题，熟练掌握配方法的一般步骤是解题关键．5、ABCD【解析】【分析】根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断．【详解】解：根据题意得：∠BAE＝∠ADC＝∠AFE＝90°∴∠AEF＋∠EAF＝90°，∠DAC＋∠ACD＝90°∴∠AEF＝∠ACD∴△BEA∽△ACD；∵∠AEB＝∠FEA，∠AFE＝∠EAB＝90°，∴△AFE∽△BAE，∴，又∵AE＝ED，∴而∠BED＝∠BED，∴△FED∽△DEB；∵ABCD，∴∠BAC＝∠GCD，∵∠ABE＝∠DAF，∠EBD＝∠EDF，且∠ABG＝∠ABE＋∠EBD，∴∠ABG＝∠DAF＋∠EDF＝∠DFC；∵∠ABG＝∠DFC，∠BAG＝∠DCF，∴△CFD∽△ABG；∵△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵AG＝DG，∴∠DAF＝∠ADG，∴∠DAF＝∠EFD，∴△ADF∽△EFD．故选：ABCD．【考点】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．6、ABD【解析】【分析】先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DA=DC，则∠DAC=∠C，再利用等角的余角相等得到∠EAB=∠DAC，从而有∠EAB=∠C，再加上公共角即可判断△BAE∽△ACE．【详解】解：∵∠BAC=90°，D是BC中点，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠CAD+∠BAD=90°，∴∠EAB=∠DAC，∴∠EAB=∠C，而∠E是公共角，∴△BAE∽△ACE∴C选项正确，ABD选项错误，故选ABD．【考点】此题主要考查学生对相似三角形判定定理的掌握和应用．三、填空题1、【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义将x=1代入即可求出a的值．【详解】解：∵关于的方程的一个根是∴解得：a=-1故答案为：．【考点】此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．2、【解析】【分析】由于最高次项前面的系数不确定，所以进行分类讨论：①当时，直接进行求解；②当时，方程为一元二次方程，利用根的判别式，确定k的取值范围，最后综合①②即可求出满足题意的k的取值范围．【详解】解：①当时，方程化为：，解得：，符合题意；②当时，∵方程有实数根，∴，即，解得：，∴且；综上所述，当时，方程有实数根，故答案为：．【考点】题目主要考查方程的解的情况，包括一元一次方程及一元二次方程的求解，分情况讨论方程的解是解题关键．3、

【解析】【分析】（1）根据四边形是正方形，得到从而得到再利用勾股定理求解即可得到答案；（2）如图：连接，运用矩形的性质和折叠的性质求出的最小值，再设，则，最后在中运用勾股定理解答即可【详解】解：（1）如图所示，∵四边形是正方形∴∵∴∵四边形ABCD是矩形∴，∠B=90°∴（2）如图：连接，当点在上时，有最小值．∵四边形是矩形，，，∴，，∴．由折叠性质，得，，∴的最小值．设，则．在中，，即，解得，∴的长为．故答案为：．【考点】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质确定的最小值成为解答本题的关键．4、【解析】【分析】利用勾股定理计算出，则，设，则，，，利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，解得，所以，即可求出的值，从而得到反比例函数的表达式．【详解】解：如图连接AE，∵矩形的两边，的长分别为3、8，E是的中点，，，，设，则，是的中点，，，，在反比例函数的图象上，，解得，，，反比例函数的表达式是．故答案为．【考点】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理的应用，表示出点的坐标是解题的关键．5、1【解析】【分析】由比例的性质，设，则，，，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，设，∴，，，∴，故答案为：1．【考点】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质进行解题．6、10【解析】【分析】根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【详解】∵△AOC∽△BOD，∴，即，解得：BD=10．故答案为10．【考点】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键．7、1【解析】【分析】设P、Q运动的时间是秒，根据已知条件得到cm，cm，则cm，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设P、Q运动的时间是秒，则cm，cm，cm∵△PQC的面积为3cm2，∴，即，解得或（不合题意，舍去），∴当△PQC的面积为3cm2时，P、Q运动的时间是1秒．故答案为：1【考点】本题考查了一元二次方程应用——动点问题，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．8、【解析】【详解】解：如图所示，连接EG，由旋转可知△ABF≌△ADE，∴DE=BF，AE=AF，∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG=FG，设CE=x，则DE=5-x=BF，FG=EG=BF+BG=8-x，∵∠C=90°，∴CE2+CG2=EG2即x2+22=(8−x)2解得x=，∴CE的长为，故答案为：.【考点】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程.四、解答题1、(1)；(2)；(3)m的值为－3或－1或2或7；【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解求出OB和OC的长度，然后得到点B，点C坐标和OA的长度，进而得到点A坐标，最后使用待定系数法即可求出直线AC的解析式；（2）根据点A，点B坐标使用待定系数法求出直线AB的解析式，根据直线AB解析式和直线AC解析式求出点P，Q，D坐标，进而求出PQ和CD的长度，然后根据三角形面积公式求出S，最后对a的值进行分类讨论即可；（3）根据△MAB的直角顶点进行分类讨论，然后根据勾股定理求解即可．(1)解：解方程得，，∵线段OB，OC（）的长是关于x的方程的两个根，∴OB＝1，OC＝6，∴，，∵CO＝2AO，∴OA＝3，∴，设直线AC的解析式为，把点，代入得，解得，∴直线AC的解析式为；(2)解：设直线AB的解析式为y=px+q，把，代入直线AB解析式得，解得，∴直线AB的解析式为，∵PD⊥x轴，垂足为D，PD与直线AB交于点Q，点P的横坐标为a，∴，，，∴，，∴，当点P与点A或点C重合时，即当a=0或时，此时S=0，不符合题意，当时，，当时，，当时，，∴；(3)解：∵，，，∴，，，当∠MAB=90°时，，∴，解得，当∠ABM=90°时，，∴，解得m=7，当∠AMB=90°时，，∴，解得，，∴m的值为－3或－1或2或7．【考点】本题考查解一元二次方程、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式、勾股定理，正确应用分类讨论思想是解题关键．2、（1）=；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定定理，得△CEF∽△ADF，可得=，进而即可得到结论；（2）由AD∥CB，点E是BC的中点，得△EFC∽△DFA．CF：AF=EC：AD，由FG//AB，得CG：BG=CF：AF，进而即可得到结论．【详解】（1）∵，∴=．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴=，∴==，∴==；（2）∵AD∥CB，点E是BC的中点，∴△EFC∽△DFA．∴CF：AF=EC：AD=1：2，∵FG⊥BC，∴FG//AB，∴CG：BG=CF：AF=1：2，∴CG=BG．【考点】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理以及平行线分线段成比例定理，掌握相似三角形的对应边成比例，是解题的关键．3、（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得∠DAG=∠BAF，再由∠ADE=∠B，即可证明△ADG∽△ABF；（2）由△ADG∽△ABF，可得，即可得到，则GF=AF-AG=2．【详解】解：（1）∵AF平分∠BAC，∴∠DAG=∠BAF，∵∠ADE=∠B，∴△ADG∽△ABF；（2）∵△ADG∽△ABF，∴，∵，，∴，∴GF=AF-AG=2．【考点】本题主要考查了角平分线的定义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件．4、．【解析】【分析】先根据可判断出，再根据相似三角形的对应边成比例列出方程解答即可．【详解】解：，，，，，即，．的长为．【考点】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．5、(1)见解析(2)S四边形BCMN＝4－8【解析】【分析】（1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用AAS证得两三角形全等即可；（2）利用全等三角形的性质求得AD=BN=2，AN=4，从而利用勾股定理求得AB的长，利用S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD求得答案即可．(1)证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD.∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN与△MAD中，，∴△ABN≌△MAD(AAS)．(2)解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD.∵AD＝2，∴BN＝2.又∵AN＝4，∴在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB＝2.∴S矩形ABCD＝2×2＝4.又∵S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4.∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝4－8.【考点】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，了解矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分是解答本题的关键，难度不大．6、∴抛物线的解析式为y＝x（2）①∵A（1，2），B（7，2），当抛物线经过点A时，a＝2，当抛物线经过点B时，2＝49a，∴a＝，∵若G与△ABC有交点，∴≤a≤2．②由题意当a＝时，y＝x2，当y＝8时，8＝x2，∴x＞0，∴x＝14，∴当反比例函数y＝经过点（14，8）时k的值最大，此时k＝112，∴k的最大值为112【考点】本题考查二次函数综合题、待定系数法、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊点解决问题，属于中考压