组合数学与创新思维试题及答案

组合数学与创新思维试题及答案组合数学与创新思维试题一、选择题（每题3分，共30分）1.从5名男生和3名女生中选出3人分别担任班长、学习委员、文体委员，要求至少有1名女生，则不同的选法种数为（）A.36B.84C.108D.1262.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，且1和2不相邻，这样的五位数共有（）A.72B.84C.96D.1083.某班有10名学生，他们约定每两人之间互通一封信，每两人之间通一次电话，则通信的总次数与通话的总次数之差为（）A.0B.30C.45D.904.设S={1,2,3,4,5,6}，A⊆S，若A中至少含有2个元素，且A中所有元素之和为偶数，则这样的集合A的个数为（）A.15B.16C.31D.325.将8本书分成3堆，每堆至少1本，且各堆书数互不相同，则不同的分法种数为（）A.21B.28C.35D.426.某人从楼下到楼上，每步可跨1级或2级台阶，共有10级台阶，则上楼的不同走法种数为（）A.89B.144C.233D.3777.在1,2,…,100这100个自然数中，能被2或3整除的数的个数为（）A.67B.68C.74D.838.设凸n边形的对角线中，任意三条对角线不共点，则这些对角线将凸n边形分成的区域的个数为（）A.C(n,4)+C(n,2)+1B.C(n,4)+C(n,2)C.C(n,4)+nD.C(n,4)+C(n-1,2)9.已知集合A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，则从A到B的不同映射（函数）个数为（）A.12B.24C.64D.8110.用红、黄、蓝三种颜色给1×n的方格涂色，每个方格涂一种颜色，要求相邻方格颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A.3×2^{n-1}B.2^{n+1}-2C.3^n-3×2^{n-1}+3D.2^n二、填空题（每题4分，共32分）11.从5双不同的鞋子中任取4只，取出的4只鞋子中至少有2只配成一双的取法种数为______。12.将6名教师分配到3所学校，每校至少1人，则不同的分配方案种数为______。13.设a,b,c,d,e,f是1,2,3,4,5,6的一个排列，若a<c<e且b<d<f，则这样的排列的个数为______。14.用0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，且这个四位数能被5整除，则这样的四位数的个数为______。15.设f(n)是满足1≤a₁<a₂<…<a_k≤n的正整数序列{a₁,a₂,…,a_k}的个数，则f(5)-f(4)=______。16.甲、乙、丙3人轮流值日，每人值1天，3天中甲值2天，乙值1天，则不同的值日顺序有______种。17.在平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任意三条不共点，则这n条直线将平面分成的区域数为______。18.用1×2的小矩形覆盖2×n的大矩形，覆盖方法种数为______。三、解答题（共58分）19.（10分）某次聚会有8人参加，如果每两人握手一次，共握手多少次？如果每两人互赠一张名片，共赠送多少张名片？两者有何区别？请用组合数学原理解释。20.（12分）从1到100的自然数中，既不能被2整除，也不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？21.（12分）设n≥2，求证：C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+…+nC(n,n)=n×2^{n-1}。（至少用两种方法证明）22.（12分）一个圆周上有n个点（n≥3），用弦连接这些点，要求任意两条弦在圆内不相交，且将圆分成若干区域，求这样的连接方式将圆分成的区域的最大个数。23.（12分）某校有3个不同的兴趣小组，每个学生最多参加2个小组，且每个小组至少有1名学生参加。已知有5名学生，问有多少种不同的参加方案？请尝试用多种方法求解，并比较不同方法的优劣。参考答案一、选择题1.C2.A3.A4.A5.A6.A7.A8.A9.D10.A二、填空题11.13012.54013.1514.6015.1616.317.(n²+n+2)/218.f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(1)=1,f(2)=2,即斐波那契数列三、解答题19.解：-握手次数：从8人中选2人握手，与顺序无关，故为C(8,2)=28次。-赠送名片次数：每两人互赠一张，即有序对，故为A(8,2)=8×7=56张。-区别：握手是无序的（组合问题），赠送名片是有序的（排列问题），组合与排列的核心区别在于元素的顺序是否影响结果。20.解：设S={1,2,…,100}，A={x∈S|2|x}，B={x∈S|3|x}，C={x∈S|5|x}。|A|=50，|B|=⌊100/3⌋=33，|C|=20；|A∩B|=⌊100/6⌋=16，|A∩C|=⌊100/10⌋=10，|B∩C|=⌊100/15⌋=6；|A∩B∩C|=⌊100/30⌋=3。由容斥原理，|A∪B∪C|=50+33+20-16-10-6+3=70。故既不能被2、3、5整除的数有100-70=30个。21.证明：方法一（组合意义法）：左边=C(n,1)+2C(n,2)+…+nC(n,n)表示从n个元素中选1个并指定为“代表”，或选2个并指定1个为“代表”，…，选n个并指定1个为“代表”的总方法数。另一方面，从n个元素中先选1个“代表”（n种选法），其余n-1个元素每个可选可不选（2^{n-1}种），故总方法数为n×2^{n-1}，得证。方法二（公式变形法）：由组合恒等式kC(n,k)=nC(n-1,k-1)，左边=ΣkC(n,k)=nΣC(n-1,k-1)=n×2^{n-1}（因ΣC(n-1,k-1)=2^{n-1}），得证。22.解：设f(n)为n个点的最大区域数。当新增第n+1个点时，将其与前n个点连线，这些弦将原区域分割。新增的区域数等于新增的弦与原弦的交点数+1（新增弦将自身所在区域分割）。递推关系：f(n+1)=f(n)+C(n,2)+1（新增弦与前n-1个点形成C(n,2)个交点，将弦分成C(n,2)+1段，每段对应一个新增区域）。初始条件：f(3)=4（3个点形成1个三角形，分圆内为1个区域，共2个区域？修正：n=3时，3个点两两连线，将圆分成4个区域，故f(3)=4）。由递推：f(n)=f(3)+Σ_{k=3}^{n-1}[C(k,2)+1]=4+[ΣC(k,2)]+(n-3)=4+C(n-1,3)+(n-3)=C(n,3)+C(n,1)+1。故最大区域数为C(n,3)+C(n,1)+1=(n³-5n+6)/6+n+1=(n³+5n+12)/6？修正递推：正确递推：n个点时，新增第n个点，与前n-1个点连线，这些弦将圆分成n-1段弧，每弧对应一个新增区域，且新增弦之间两两相交，新增交点C(n-1,2)个，将新增弦分成C(n-1,2)+1段，每段对应一个新增区域，故f(n)=f(n-1)+(n-1)+C(n-1,2)+1=f(n-1)+C(n,2)。初始f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,f(4)=8,f(5)=16?不对，f(4)=8（4个点两两连线，无三线共点，分圆内11个区域？修正标准结论：n条直线分平面区域为(n²+n+2)/2，圆内弦类似，但圆周上n点，弦分区域最大数为C(n,4)+C(n,2)+1。验证：n=3，C(3,4)=0,C(3,2)=3,0+3+1=4，正确；n=4，C(4,4)=1,C(4,2)=6,1+6+1=8，正确（4个点两两连线，1个交点，分圆内8个区域）；n=5，C(5,4)=5,C(5,2)=10,5+10+1=16，正确。故答案为C(n,4)+C(n,2)+1。23.解：方法一（分类计数法）：情况1：每个小组人数分别为1,1,3（C(5,3)×A(3,3)=10×6=60）；情况2：每个小组人数分别为1,2,2（C(5,1)×C(4,2)×A(3,3)/2=5×6×6/2=90）；情况3：某小组2人，另两个小组各1人（与情况2重复，已包含）；情况4：某小组3人，另两个小组各1人（与情况1重复）；情况5：某小组4人，另两个小组各1人（但每人最多2个小组，此情况不违反，但4人组需从5人选4人，C(5,4)×A(3,3)=5×6=30，但需检查是否满足“每人最多2个小组”：4人组的学生只参加1个小组，另1人参加2个小组，符合条件，故需补充）；情况6：某小组5人（违反“每人最多2个小组”，排除）。修正：正确分类应按学生参加的小组数：-每人参加1个小组：3组人数分配1,1,3或1,2,2，如上60+90=150；-有1人参加2个小组，其余3人各参加1个小组：选1人参加2个小组（C(5,1)），选2个小组给他（C(3,2)=3），剩余3人分配到剩下的1个小组（C(4,3)=4，因1人已固定2组，剩余3人只能去第3组），故3×5×4=60。总计150+60=210。方法二（排除法）：总方案（无限制，每人可参加0-3组，每组至少1人）：每学生有2^3-1=7种选组方式（不选空组），但需每组至少1人，用容斥：总方案=7^5-C(3,1)×6^5+C(3,2)×5^5-C(3,3)×4^5=16807-3×7776+3×3125-1024=16807-23328+9375-1024=1828，错误，因“每人最多2个小组”未考虑。正确排除：先算每人可参加1或2个小组（3^5-3×2^5+3×1^5=243-96+3=150，即每人至少1组，最多2组），再减去有组无人：150-[C(3,1)×(2^5-2×1^5)+C(3,2)×(1^5-1^5)+C(3,3)×0]=150-[3×30+0+0]=150-90=60，错误，复杂。方法三（生成函数法）：设3组为A,B,C，每人可选：1组（A,B,C）或2组（AB,BC,CA），共6种选择，但每组至少1人。生成函数：(x+x²+x³)^3（每组对应一个因子，指数为人数，但需考虑组合），更准确：每个学生对应多项式x_A+x_B+x_C+x_AB+x_BC+x_CA，总人数为5，每组至少1人。展开后找x_A^{a}x_B^{b}x_C^{c}x_AB^{d}x_BC^{e}x_CA^{f}，其中a+d+e=5（A组人数），b+d+f=5，c+e+f=5，且a,b,c≥1（每组至少1人），d,e,f≥0。复杂，不如分类法直观。最优解：分类法正确，情况1（每人1组）：1,1,3或1,2,2，共60+90=150；情况2（1人2组，其余1组）：选1人（5种），选2组（3种），剩余3人去剩下1组（1种），共5×3×1=15？之前错误，剩余3人应分配到剩下1个小组，故只有1种方式，共5×3=15。总计150+15=165？