解析卷-北师大版9年级数学上册期中试题【重点】附答案详解

北师大版9年级数学上册期中试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题20分）一、单选题（7小题，每小题2分，共计14分）1、如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（

）A． B． C． D．2、如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是（）A．5 B．10 C．6 D．83、若关于x的一元二次方程有实数根，则字母k的取值范围是（

）A． B．且 C． D．且4、若m，n是方程x2－x－2022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2022）（－n2＋2n＋2022）的值为（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．20205、若实数满足，则的值是（）A．1 B．-3或1 C．-3 D．-1或36、若一元二次方程的两根为，，则的值是（

）A．4 B．2 C．1 D．﹣27、对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个二、多选题（3小题，每小题2分，共计6分）1、等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为（）A．15 B．16 C．17 D．182、下列关于x的方程没有实数根的是（

）A．x2-x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0C．(x-1)(x＋2)＝0 D．(x-1)2＋1＝03、用公式解方程正确的是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题80分）三、填空题（10小题，每小题2分，共计20分）1、从分别标有A、B、C的3根纸签中随机抽取一根，然后放回，再随机抽取一根，两次抽签的所有可能结果的树形图如下：那么抽出的两根签中，一根标有A，一根标有C的概率是__________．2、一菱形的对角线长分别为24cm和10cm，则此菱形的周长为________，面积为________．3、如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为_____．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．5、对任意实数a，b，定义一种运算：，若，则x的值为_________．6、如图所示,大正方形ABCD内有一小正方形DEFG,对角线DF长为6cm,已知小正方形DEFG向东北方向平移3cm就得到正方形D'E'BG',则大正方形ABCD的面积为____.7、已知关于的方程的一个根是，则____．8、如图，中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件，能使成为菱形．你添加的条件是__________（不再添加辅助线和字母）9、若代数式有意义，则x的取值范围是_____．10、若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________．四、解答题（6小题，每小题10分，共计60分）1、已知关于x的一元二次方程x2+x＝k．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；（2）当k＝6时，求方程的实数根．2、在菱形中，，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针得到线段，连接，.（1）如图1，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系；（2）如图2，当点在上时，线段，，之间有怎样的数量关系？请写出结论并给出证明；（3）当点在直线上时，若，，，请直接写出线段的长.3、如图，AD是△ABC的中线，过点A、B分别作BC、AD的平行线，两平行线相交于点E．(1)求证：AE=CD；(2)当AB、AC满足什么条件时，①四边形AEBD是矩形？请说明理由；②四边形AEBD是菱形？请说明理由；③四边形AEBD是正方形？请说明理由．4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．5、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，点P，Q同时出发，设运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示：AP＝；DP＝；BQ＝；CQ＝．（2）当t为何值时，四边形APQB是平行四边形？（3）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？6、阅读例题，解答问题：例：解方程．解：原方程化为．令，原方程化成解得，（不合题意，舍去）．．．∴原方程的解是，请模仿上面的方法解方程：．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，当P点位于E点时，，即，则，∵,∴,即,∵∴,∵点为的中点，∴,故选：C．【考点】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．2、A【解析】【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、BP，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【详解】解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，则P是AC中点，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴PQ∥AD，而点Q是AB的中点，故PQ是△ABD的中位线，即点P是BD的中点，同理可得，PM是△ABC的中位线，故点P是AC的中点，即点P是菱形ABCD对角线的交点，∵四边形ABCD是菱形，则△BPC为直角三角形，,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故选：A．【考点】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．3、D【解析】【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，解得且k≠0．故选：D．【考点】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．4、B【解析】【详解】解：∵m、n是方程x2-x-2022=0的两个根，∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022，∴m2-m=2022，n2-n=2022，∴（m2－2m－2022）（－n2＋2n＋2022）=（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022)=(2022-m-2022)((-2022+n+2022)=-mn=2022，故选：B．【考点】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022是解此题的关键．5、A【解析】【分析】设x2-3x=y．将y代入原方程得到关于y的一元二次方程y2+2y-3=0即可，解这个方程求出y的值，然后利用根的判别式检验即可.【详解】设x2-3x=y．将y代入原方程，得y2+2y-3=0，解之得，y=1或y=-3．当y=1时，x2-3x=1，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-1）=9+4=13＞0，有两个不相等的实数根，当y=-3时，x2-3x=-3，△=b2-4ac=（-3）2-4×1×3=9=12＜0，无解．故y=1，即x2-3x=1．故选A．【考点】本题考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.6、A【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解.【详解】根据题意得，，所以．故选A．【考点】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质.7、C【解析】【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【详解】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b2-4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac＞0，∴-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，∴c（ac+b+1）=0，若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=，∴2ax0+b=±，∴b2-4ac=（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：C．【考点】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．二、多选题1、BC【解析】【分析】分3为底边长或腰长两种情况考虑：当3为底时，由a=b及a+b=8即可求出a、b的值，利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系即可求得的值；当3为腰时，则a、b中有一个为3，a+b=8即可求出b，再利用根与系数的关系即可求得的值．【详解】解：当3为腰时，此时a＝3或b＝3，把x＝3代入方程x2﹣8x﹣1+m＝0得9﹣24﹣1+m＝0，解得m＝16，此时方程为x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5；当3为底时，此时a＝b，Δ＝82﹣4（﹣1+m）＝0，解得m＝17，此时方程为x2﹣8x+16＝0，解得x1＝x2＝4；综上所述，m的值为16或17．故答案为：BC．【考点】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义，分3为底边长或腰长两种情况讨论是解题的关键．2、ABD【解析】【分析】将选项中的式子转换为一元二次方程一般式，根据根的判别式可得结果．【详解】解：A、x2-x＋1＝0，，方程没有实数根，此选项符合题意；B、x2＋x＋1＝0，，方程没有实数根，此选项符合题意；C、(x-1)(x＋2)＝0，，方程有实数根，此选项不符合题意；D、原式整理为：，，方程没有实数根，此选项符合题意；故选：ABD．【考点】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．3、AC【解析】【分析】求出的值，再代入公式求出即可．【详解】∴方程有两个不相等的实数根∴，∴，故选AC．【考点】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．三、填空题1、【解析】【分析】依据树状图分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【详解】解：由树状图得：两次抽签的所有可能结果一共有9种情况，一根标有，一根标有的有，与，两种情况，一根标有，一根标有的概率是．故答案为：．【考点】本题考查的是用画树状图法求概率．画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．2、

52cm

120cm2【解析】【分析】根据菱形对角线互相平分且垂直得到边长，从而计算出周长，再根据面积公式计算出面积．【详解】解：∵菱形的对角线长分别为24cm和10cm，∴对角线的一半长分别为12cm和5cm，∴菱形的边长为：=13cm，∴菱形的周长为：13×4=52cm，面积为：×10×24=120cm2．故答案为：52cm，120cm2．【考点】此题主要考查学生对菱形的性质的理解及运用，属于基础题，关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．3、（﹣1，5）【解析】【详解】【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【详解】如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′，∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM+∠EOH=90°∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，，∴△OGM≌△EOH（ASA），∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2），∴O′（﹣，），∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5），故答案是：（﹣1，5）．【考点】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键.4、或##或【解析】【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．【详解】如图，连接，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，，，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，，如图，在中，，在中，故答案为：或．【考点】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．5、2或-3##-3或2【解析】【分析】根据题意得到关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：∵，∴，∴，解得或，故答案为：2或-3．【考点】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．6、

cm2【解析】【分析】先求出BD的长，再根据勾股定理求出AB的长，进而可得出结论.【详解】∵DF＝6cm，已知小正方形DEFG向东北方向平移3cm就得到正方形D′E′BG′，∴BD＝6＋3＝9．∵四边形ABCD是正方形，∴2AB2＝BD2，即AB2＝BD2＝＝（cm2）.【考点】本题考查的知识点是平移的性质，解题关键是利用正方形性质进行解答.7、【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义将x=1代入即可求出a的值．【详解】解：∵关于的方程的一个根是∴解得：a=-1故答案为：．【考点】此题考查的是根据一元二次方程的解，求参数的值，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．8、或或或或【解析】【分析】题中实在平行四边形基础上进行菱形的判定，从边、角、对角线三个方面思考：①邻边相等的平行四边形是菱形；②角上面没有；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；相应添加条件即可．【详解】在基础上，从边上添加有四种：①；②；③；④；从对角线上添加有：，故答案为：或或或或．【考点】本题考查菱形的判定，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的性质，并清楚是在谁的基础上进行判定是解决问题的关键．9、﹣3≤x≤且x≠．【解析】【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0；分母中有字母，分母不为0．【详解】解：若代数式有意义，必有，解①得解②移项得两边平方得整理得解得③∴解集为﹣3≤x≤且x≠．故答案为：﹣3≤x≤且x≠．【考点】本题考查了二次根式的概念：式子（a≥0）叫二次根式，（a≥0）是一个非负数．注意：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．10、8【解析】【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为4，∴这个正方形的面积=×4²=8．故答案为：8．【考点】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键．四、解答题1、（1）k＞﹣；（2）x1＝﹣3，x2＝2．【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得△=12-4×1（-k）=1+4k＞0，然后解不等式即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝12﹣4×1（﹣k）＝1+4k＞0，解得：k＞﹣；（2）把k＝6代入原方程得：x2+x＝6，整理得：x2+x﹣6＝0，分解因式得：（x+3）（x﹣2）＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝2．【考点】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程．2、（1）AM=DF；（2），证明见解析；（3）1或5【解析】【分析】（1）可通过证明，即可利用全等三角形的性质得出结论；（2）通过作辅助线，构造等边三角形DMN，再通过全等证明出DF=EN，利用等边三角形得出DN=DM，DA=DB，求出AM=BN，即可证明题中三线段之间的关系；（3）分别讨论当E点在线段BD和DB的延长线上两种情况，利用全等以及等边三角形的相关结论即可求出DF的长．【详解】解：（1）AM=DF；理由：∵菱形ABCD中，∠ABC=120°，可得△BCD和△ABD都是等边三角形；∴BD=BA，∠DBA=60°，又由旋转可知ME=MF，∠EMF=60°，得△MEF也是等边三角形，∴EF=EM，∠MEF=60°，∴∠MEA=∠FED，可证：；∴AM=DF．（2）结论：证明：过点作交延长线于.∵四边形是菱形∴，∴∵∴∴是等边三角形∴，∵∴，∴是等边三角形∴∵，∴是等边三角形∴，，∴∴∴即：∵，∴∴.（3）1或5当E点在线段BD上时，由（2）知，，∵AB=6，∴BD=AD=6，∵BD=2BE，AD=3AM，∴BE=3,AM=2,∴DF=5；当E点在线段DB的延长线上时，如图所示：作MN∥AB与DE交于点N，∵∠MDN=∠DAB=60°，利用平行线的性质可得出∠DMN=60°，则△DMN是等边三角形，∴MN=MD，又由∠DMN=∠EMF，∴∠EMN=∠FMD,∵ME=MF，∴，∴DF=EN∵EN=EB-BN=BD-AM=3-AD=3-2=1；综上可得：DF的长为1或5．【考点】本题涉及到了几何图形的动点问题，综合考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质等内容，要求学生理解相关概念与性质，能利用相关知识进行边角之间的转化，本题难点在于作辅助线，考查了学生的综合分析的能力，对学生推理分析能力有较高要求．3、(1)见解析(2)①AB=AC；理由见解析；②AB⊥AC；理由见解析；③AB=AC且AB⊥AC；理由见解析【解析】【分析】（1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再根据AD是△ABC的中线，即可证得．（2）根据特殊四边形AEBD的性质，反推回关于AB、AC的条件，再正向证明即可．(1)证明：∵AE//BD，AD//BE，∴四边形AEBD是平行四边形，∴AE=BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴AE=CD．(2)（2）①AB=AC∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∴ADCD，∴∠BDA=90°．∵四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是矩形，②AB⊥AC∵AB⊥AC，AD是△ABC的中线，∴BD=AD．∵四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是菱形．③AB=AC且AB⊥AC∵AB=AC且AB⊥AC，∴△ABC是等腰直角形∵AD是△ABC的中线，∴BD=AD，BD⊥AD，∵四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是正方形．【考点】本题考查了中线的性质，平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定等知识点的应用．4、(1)见解析(2)菱形BNDM的周长为52【解析】【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；（2）由菱形的性质得出BM=BN=DM=DN，OB=BD=12，OM=MN=2，由勾股定理得BM的长，即可得出答案．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠DMO=∠BNO，∵MN是