2025年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（八）（理科）

第1页（共3页）2025年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案（八）（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i2．设全集U=R，已知集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则（∁UA）∩B=（）A．（0，1] B．[﹣1，1] C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，2]3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a3+a7=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（）A．9 B．8 C．7 D．64．若，则sin（π+2α）=（）A． B． C． D．5．“x＜0”是“﹣1＜x＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知x，y满足线性约束条件：，则目标函数z=y﹣3x的取值范围是（）A． B．（﹣3，﹣1） C． D．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里8．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，得到图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=sin（x+） D．y=sin（x+）9．在△ABC中，若，且=2，则A=（）A． B． C． D．10．已知命题p：∀x∈R，x+≥2；命题q：∃x0∈[0，]，使sinx0+cosx0=，则下列命题中为真命题的是（）A．p∨（￢q） B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q11．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C． D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的最小正周期为．14．设函数f（x）=，则函数f（x）的值域是．15．△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为．16．若函数f（x）=﹣x3+x2+2ax在[，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆心，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程是（t为参数），求a，b的值．18．已知函数f（x）=2sinxsin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．19．已知数列{an}满足a1=﹣1，nan+1=Sn+n（n+1）（n∈N*），Sn是数列\{an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且AA'=2．（1）试在棱CC'上确定一点M，使A'M⊥平面AB'D'；（2）当点M在棱CC'中点时，求直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．22．设f（x）=ex﹣2ax﹣1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值；（Ⅱ）当x≥0时，ex≥ax2+x+1，求a的取值范围．

参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，复数的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据两个复数代数形式的乘除法法则，虚数单位i的幂运算性质，求出复数，可得它的共轭复数．【解答】解：复数==2﹣i，故它的共轭复数为2+i，故选：A．2．设全集U=R，已知集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则（∁UA）∩B=（）A．（0，1] B．[﹣1，1] C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1]∪[1，2]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，根据全集U=R，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：集合A={x||x|≤1}=[﹣1，1]，B={x|log2x≤1}=（0，2]，∵全集U=R，∴∁UA=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）∴（∁UA）∩B=（1，2]，故选：C3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a3+a7=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的性质化简a3+a7=﹣6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式Sn，配方后即可得到Sn取最小值时n的值．【解答】解：由等差数列的性质可得a3+a7=2a5=﹣6，解得a5=﹣3．又a1=﹣11，设公差为d，所以，a5=a1+4d=﹣11+4d=﹣3，解得d=2．则an=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，所以Sn==n2﹣12n=（n﹣6）2﹣36，所以当n=6时，Sn取最小值．故选D．4．若，则sin（π+2α）=（）A． B． C． D．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】利用两角差的正弦函数公式化简已知等式，得：（cosα﹣sinα）=，两边平方后，利用二倍角公式可求sin2α的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．【解答】解：∵，可得：（cosα﹣sinα）=，∴两边平方可得：1﹣2sinαcosα=，解得：sin2α=，∴sin（π+2α）=﹣sin2α=﹣．故选：A．5．“x＜0”是“﹣1＜x＜0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由﹣1＜x＜0⇒x＜0；反之不成立．即可判断出关系．【解答】解：由﹣1＜x＜0⇒x＜0；反之不成立．∴“x＜0”是“﹣1＜x＜0”的必要不充分条件．故选：B．6．已知x，y满足线性约束条件：，则目标函数z=y﹣3x的取值范围是（）A． B．（﹣3，﹣1） C． D．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=y﹣3x得y=3x+z，作出不等式组，对应的平面区域如图，平移直线y=3x+z，由图象可知当直线y=3x+z，过点B时，直线y=3x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（1，0）．代入目标函数z=y﹣3x，得z=0﹣3=﹣3，∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3．当直线y=3x+z，过点A时，直线y=3x+z的截距最大，此时z最大，由，解得A（，）．代入目标函数z=y﹣3x，得z==，∴目标函数z=y﹣3x的最大值是．目标函数z=y﹣3x的取值范围是（﹣3，]故选：C．7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A．192里 B．96里 C．48里 D．24里【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意得：每天行走的路程成等比数列{an}、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出a1，由等比数列的通项公式求出答案即可．【解答】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得=378，解得a1=192，∴第此人二天走192×=96里，∴第二天走了96里，故选：B．8．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有点向左平移个单位长度，得到图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x﹣） B．y=sin（2x+） C．y=sin（x+） D．y=sin（x+）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可求得答案．【解答】解：∵函数y=sinx（x∈R），图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx，图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y=sin（x+）=sin（x+），x∈R．故选：C．9．在△ABC中，若，且=2，则A=（）A． B． C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得c=2b，结合a2﹣b2=bc，可得a2=7b2，由余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．【解答】解：∵在△ABC中，==2，由正弦定理可得：=2，即：c=2b，∵=b（a×+b×），∴整理可得：a2﹣b2=bc，∴a2﹣b2=b×2，解得：a2=7b2，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．故选：A．10．已知命题p：∀x∈R，x+≥2；命题q：∃x0∈[0，]，使sinx0+cosx0=，则下列命题中为真命题的是（）A．p∨（￢q） B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】判断两个命题的真假，然后利用复合命题的真假判断选项即可．【解答】解：对于命题p：当x≤0时，x+≥2不成立，∴命题p是假命题，则￢p是真命题；对于命题q：sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]，则q是真命题，所以（￢p）∧q．故选：D．11．已知函数f（x）=x+，g（x）=2x+a，若∀x1∈[，1]，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．（﹣∞，2] D．[2，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】首先将问题转化为在所给定义域上f（x）的最小值不小于g（x）的最小值，然后分别利用函数的单调性求得最值，最后求解不等式即可求得最终结果．【解答】解：满足题意时应有：f（x）在的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，f（x）在的最小值为f（1）=5，当x2∈[2，3]时，g（x）=2x+a为增函数，g（x）在x2∈[2，3]的最小值为g（2）=a+4，据此可得：5⩾a+4，解得：a⩽1，实数a的取值范围是（﹣∞，1]，故选：A．12．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C． D．3【考点】7F：基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数的最小正周期为π．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可．【解答】解：函数的最小正周期为：=π．故答案为：π．14．设函数f（x）=，则函数f（x）的值域是（0，1）∪[﹣3，+∞）．【考点】34：函数的值域．【分析】可根据不等式的性质，根据x的范围，可以分别求出和﹣x﹣2的范围，从而求出f（x）的值域．【解答】解：①x＞1时，f（x）=；∴；即0＜f（x）＜1；②x≤1时，f（x）=﹣x﹣2；∴﹣x≥﹣1；∴﹣x﹣2≥﹣3；即f（x）≥﹣3；∴函数f（x）的值域为（0，1）∪[﹣3，+∞）．故答案为：（0，1）∪[﹣3，+∞）．15．△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为2．【考点】HP：正弦定理．【分析】利用三角形面积计算公式、正弦定理可得a，再利用正弦定理即可得出．【解答】解：=sin120°，解得c=2．∴a2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，解得a=2，∴2R===4，解得R=2．故答案为：2．16．若函数f（x）=﹣x3+x2+2ax在[，+∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，利用导函数值大于0，转化为a的表达式，求出最值即可得到a的范围．【解答】解：函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2++2a．当x∈[，+∞）时，f′（x）的最大值为f′（）=2a+，令2a+＞0，解得a，所以a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆心，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程是（t为参数），求a，b的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）列出关于θ符方程，通过三角函数求解θ，即可求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）直线PQ的参数方程是消去参数t，得到普通方程，利用第一问的结果，即可求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）ρ=4sinθ代入，得sinθcosθ=cos2θ．所以cosθ=0或tanθ=1，取，．再由ρ=4sinθ得ρ=4，或．所以l与C交点的极坐标是，或．…（Ⅱ）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得P，Q的直角坐标分别是（0，2），（1，3），代入解得a=﹣1，b=2．…18．已知函数f（x）=2sinxsin（x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0，]时，求f（x）的值域．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）运用两角和差公式和二倍角公式，化简整理，再由周期公式和正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由x的范围，可得2x﹣的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可得到值域．【解答】解：（1）f（x）=2sinxsin（x+）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=+sin（2x﹣）则函数f（x）的最小正周期T==π，由2k≤2kπ+，k∈Z，解得，kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，则f（x）的值域为[0，1+]．19．已知数列{an}满足a1=﹣1，nan+1=Sn+n（n+1）（n∈N*），Sn是数列\{an}的前n项和．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）nan+1=Sn+n（n+1）（n∈N*），n≥2时，（n﹣1）an=Sn﹣1+n（n﹣1），相减可得：an+1﹣an=2，又a1=﹣1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）bn==，利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）nan+1=Sn+n（n+1）（n∈N*），n≥2时，（n﹣1）an=Sn﹣1+n（n﹣1），∴nan+1﹣（n﹣1）an=an+2n，化为：an+1﹣an=2，又a1=﹣1，∴数列{an}是等差数列，公差为2，首项为﹣1．∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．（2）bn==，∴数列{bn}的前n项和Tn=﹣+++…+，=++…++，∴=﹣+﹣=﹣2×﹣，可得：Tn=﹣．20．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BL：独立性检验；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X0123P．…21．在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，底面ABC是边长为2的正三角形，D'是棱A'C'的中点，且AA'=2．（1）试在棱CC'上确定一点M，使A'M⊥平面AB'D'；（2）当点M在棱CC'中点时，求直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AC边中点为O，则OB⊥AC，连接OD'，建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出当CM=时，A'M⊥平面AB'D'．（2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1，），求出平面A′BM的一个法向量，利用向量法能求出直线AB'与平面A'BM所成角的正弦值．【解答】解：（1）取AC边中点为O，∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴OB⊥AC，连接OD'，∵D'是边A'C'的中点，∴OD'⊥AC，OD'⊥OB，建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD'为z轴如图所示的空间直角坐标系…则有O（0，0，0），A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），B'（，0，2），A'（0，﹣1，2），D'（0，0，2），C'（0，1，2），设M（0，1，t），则=（0，2，t﹣2），=（0，1，2），=（，1，2）…若A'M⊥平面AB'D'，则有A'M⊥AD'，A'M⊥AB'，∴，解得t=，即当CM=时，A'M⊥平面AB'D'．…（2）当点M在棱CC'中点时，M（0，1，），∴=（﹣），=（0，2，﹣），设平面A